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高考数学几何模块20个易混易错全归纳
内容导览 易混易错01 对斜二测法规则掌握不牢致错 2
易混易错02 不能确定棱锥的外接（内切、棱切）球球心致错 3
易混易错03 线面位置关系考虑不全面致错 3
易混易错04 对垂直的性质定理、判定定理理解不透彻致错 4
易混易错05 忽略建系的条件致错 6
易混易错06 忽略异面直线所成角的范围致错 8
易混易错07混淆“线面角”和“直线方向向量与平面法向量的夹角”致错 8
易混易错08 忽略斜率公式的应用条件致错 10
易混易错09 求直线方程忽略截距为零致错 10
易混易错10 判断直线的位置关系考虑不全面致错 11
易混易错11 忽略圆的一般方程的限制条件致错 12
易混易错12 处理直线与圆的位置关系时忽略对斜率的讨论致错 12
易混易错13 两圆相切忽略内切、外切的区分致错 13
易混易错14 曲线方程变形不等价致错 13
易混易错15 忽略圆锥曲线定义中的限制条件致错 14
易混易错16 忽略圆锥曲线焦点的位置致错 15
易混易错17 求离心率范围时忽略离心率本身范围致错 15
易混易错18 求轨迹方程时忽略变量的取值范围 16
易混易错19直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全出错 17
易混易错20恒成立意义不明导致定点致错 18
易混易错01 对斜二测法规则掌握不牢致错
辨析：直观图还原原图时容易混淆长度的“变”与“不变”，即与轴平行(重合)的线段长度不变，与轴平行(重合)的线段长度直观图是原图的一半.
【典例1】（25-26高三上·上海部分中学期中联考）如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，那么的面积为 ．
【跟踪训练1】（25-26高三上·湖南长沙·期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（ ）.
A．5 B． C． D．10
【跟踪训练2】（2026·山东·一模）水平放置的，用斜二测画法得到直观图，如图所示，若，则的面积等于___________．
易混易错02 不能确定棱锥的外接（内切、棱切）球球心致错
辨析：在求棱锥的外接球的相关问题中，关键是球心和半径的确定.球心的确定本质上是过棱锥的任意两个表面图形外接圆的圆心的垂线的交点，半径是球心到棱锥任意一个顶点的距离.
【典例】（25-26高三上·河南·期中联考）已知在四棱锥中，底面为边长为4的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）
【跟踪训练1】（2026·宁夏吴忠·一模）在三棱锥中，，，，若，，，都在球的球面上，则球的表面积为______
【跟踪训练2】（2025·广东佛山·一模）两个有共同底面的正三棱锥与，它们的各顶点都在球的球面上，，且二面角的大小为，则球的表面积为 .
易混易错03 线面位置关系考虑不全面致错
辨析：确定空间中点线面位置关系，热点是线线、线面位置关系，空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线,可采用直接法或反证法；对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决，确定位置关系时要考虑到所有可能,一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断。
【典例】（2025·四川成都联考）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
【跟踪训练1】（25-26高三上·上海·月考）若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则与相交
【跟踪训练1】（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知两条不同的直线，两个不同的平面，下列命题中一定正确的是（ ）.
A．若是一对异面直线，且，则.
B．若，则.
C．若，，，，则.
D．若，，则.
【跟踪训练2】（多选）（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则或
C．若，则
D．若与所成角相等，则
易混易错04 对垂直的性质定理、判定定理理解不透彻致错
辨析：1.证明线面垂直，需要证明平面外的直线与平面内的两条相交直线垂直.经常忽视的是两条直线相交的条件.
2.由面面垂直的性质定理证题时，一定要注意一个平面内的一条直线必须垂直于两个平面的交线，才会垂直于另一个平面.
【典例】（25-26高三上·湖南衡阳·期中联考）如图，在三棱台中，平面平面，，．

(1)证明；
(2)求直线DF与平面DBC夹角的正弦值．
【跟踪训练1】（25-26高二上·陕西渭南·期中）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点.

(1)求证：平面ADEF；
(2)求证：平面BDE.
【跟踪训练2】（河南周口市天立高级中学等学校2025-2026学年高三下学期开学数学试题）已知正三棱柱的底面边长为为中点．
(1)若，证明：平面；
(2)若与交于点与交于点，直线与平面夹角的余弦值为，求三棱柱的体积．
易混易错05 忽略建系的条件致错
辨析：利用空间坐标系处理空间角、空间距离问题，是高考中的重点题目，但在建立坐标系以前必须先证明要用到的垂直关系，而不能相当然的利用图中的直线作为空间坐标系的坐标轴.
【典例】（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为．
(1)证明：平面；
(2)求面与面所成的二面角的正弦值．
【跟踪训练1】（25-26高三上·上海松江·期末）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，是边长为2的正三角形，侧面底面ABCD．
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离．
【跟踪训练2】（25-26高三下·重庆北碚·开学考试）如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面．
(1)求证：；
(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
易混易错06 忽略异面直线所成角的范围致错
辨析：求解异面直线所成角相关问题时，要注意两点：一是几何法所做的角和异面直线所成角相等或互补；二是异面直线的方向向量所成角一异面直线所成角也是相等或互补的关系，而区分的依据都是异面直线所成角的范围.
【典例】（25-26高三上·江苏无锡·月考）《九章算术》中将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
【跟踪训练1】（25-26高二下·上海·月考）正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上，则异面直线与所成角的余弦值为_____________________
【跟踪训练2】（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在三棱锥中，，，，平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为____.
易混易错07混淆“线面角”和“直线方向向量与平面法向量的夹角”致错
辨析：若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos<,>|。容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值.
【典例】（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点．
(1)若分别为的中点，求证：平面PAB；
(2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．
【跟踪训练】（25-26高三上·吉林长春·期中）如图，在四棱锥中，平面，，E为棱的中点，平面与棱相交于点F，且，.

(1)求证：；
(2)已知点M在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
易混易错08 忽略斜率公式的应用条件致错
辨析：当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，而是该直线垂直于轴（平行于轴或与轴重合）.因此，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.
【典例1】（25-26高三上·山西·月考）已知两点，，当时，直线的倾斜角的取值范围是 .
【跟踪训练1】（25-26高二上·贵州六盘水·月考）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【跟踪训练2】（25-26高二上·天津南开·开学考试）下图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为___________.
易混易错09 求直线方程忽略截距为零致错
辨析：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．
【典例】（25-26高三上·江西赣州·期末）经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【跟踪训练】（25-26高三上·湖北·开学考试）与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．6条
易混易错10 判断直线的位置关系考虑不全面致错
辨析：1.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直；若不相等，则进行第二步．
(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．
(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．
2.若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况．
3.根据直线平行求参数时一定要检验重合的情况.
【典例】（25-26高三上·广东深圳·期末）已知直线与平行，则实数的值为（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【跟踪训练1】（多选）（25-26高二上·江苏·期末）已知直线，，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则直线，之间的距离为
C．直线过定点
D．若直线在两坐标轴的截距相等，则或
【跟踪训练2】(多选)（25-26高二上·河北邯郸·期末）已知直线：，：，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．存在，使得
C．直线过定点 D．直线过定点
易混易错11 忽略圆的一般方程的限制条件致错
辨析：不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．
【典例】（25-26高三上·青海西宁·期末）点在圆外，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
易混易错12 处理直线与圆的位置关系时忽略对斜率的讨论致错
辨析：（1）过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．
（2）设直线的点斜式时一定要分析斜率不存在的情况，以防考虑问题不全面而出错.
【典例】（25-26高三上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆，上存在两点关于直线对称.
(1)求的半径；
(2)过坐标原点的直线被截得的弦长为2，求的方程.
【跟踪训练1】（25-26高二上·江苏南京·月考）已知在平面直角坐标系中，，点满足，记点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)若经过点的直线与相交于点，且，求直线的方程；
(3)已知.若直线经过点且与相交于两点，线段的中点为与的交点为，证明：为定值，并求出该定值.
易混易错13 两圆相切忽略内切、外切的区分致错
辨析：1.判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：
①化成圆的标准方程，写出圆心和半径；
②计算两圆的圆心距d；
③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．
2．由圆的位置关系求参数：求解此类问题，一般根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径的和或差的绝对值的大小关系列出关系式,求出参数的值或取值范围,注意相切和相离均包括两种情况。应用几何法判断两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．
【典例】（多选）（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知圆和圆，则（ ）
A．两圆可能无公共点
B．若两圆相切，则
C．直线可能为两圆的公切线
D．当时，若为两圆的公切线，则或
【跟踪训练】（25-26 高三上·四川内江·期中）已知两个圆，，若两圆相切，则半径为 ．
易混易错14 曲线方程变形不等价致错
辨析：在用几何法求参数范围时，对曲线方程化简时一定要注意等价化简，即不能造成x、y的取值范围的变大或缩小.
【典例】（24-25高二上·江苏宿迁·开学考试）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练1】（24-25高二上·广东深圳·期中）已知直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围为_____
【跟踪训练2】（25-26高二上·江苏扬州·阶段练习）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
易混易错15 忽略圆锥曲线定义中的限制条件致错
辨析：在应用圆锥曲线的定义判断轨迹类型时，一定要注意三种圆锥曲线定义中的限制条件，如椭圆要满足曲线上动点到两焦点距离之和是大于焦距的常数；双曲线要满足曲线上动点到两焦点距离之差的绝对值是小于焦距的常数；二抛物线则要满足定点不在定直线上.
【典例1】（24-25高二上·北京·阶段练习）下列说法正确的个数是（ ）
①动点满足，则P的轨迹是椭圆
②动点满足，则P的轨迹是双曲线
③动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线
④动点满足，则P的轨迹是圆和一条直线（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【典例2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练1】（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
易混易错16 忽略圆锥曲线焦点的位置致错
辨析：由于建系的方案不同，三种圆锥曲线的标准方程是不同的，椭圆、双曲线分为焦点在x,y轴两种情况，二抛物线则有四种方程，故我们在处理圆锥曲线方程相关问题时，一定要先定位，即分析焦点位置，不确定要讨论，在定量，即求或的值．
【典例】（25-26高三上·天津和平·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为2，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【跟踪训练1】（24-25高三上·江苏无锡·期中）求长轴长是短轴长的倍，且过点的椭圆的标准方程（ ）
A． B．
C．或 D．
【跟踪训练2】（25-26高二上·江苏南通·期末）写出符合下列两个条件的一个双曲线的标准方程为 .
①实轴长为4；②渐近线方程为
易混易错17 求离心率范围时忽略离心率本身范围致错
辨析：注意椭圆离心率的范围： 01.
【典例】（25-26高三上·北京·期中）椭圆上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是 .
【跟踪训练1】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知双曲线，若圆上存在点使得的中点在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
易混易错18 求轨迹方程时忽略变量的取值范围
辨析：求轨迹方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致错．
【典例】（25-26高三上·湖南长沙·期中）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（25-26高二上·广东惠州·月考）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【跟踪训练1】（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）（24-25高二下·云南·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练2】一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　）
A． B．
C． D．
易混易错19直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全出错
辨析：在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形．
【典例】（25-26高三上·北京·阶段练习）若直线与双曲线恰好有一个交点，则直线的斜率的所有可能值为 .
【跟踪训练1】（25-26高二上·江西南昌·月考）已知抛物线，斜率为的直线绕定点旋转，下列说法正确的是（ ）
A．直线与抛物线只有一个公共点时，一定是相切
B．当直线与抛物线有两个公共点时，斜率的范围是
C．当直线与抛物线只有一个公共点时，或，
D．当直线与抛物线没有公共点时，斜率的范围是
【跟踪训练2】(多选)（24-25高二下·河北衡水·期末）已知曲线C：，直线，，，为C上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．面积的最大值为2
B．当时，C上有且仅有两个点到的距离为1
C．若曲线C与有两个不同的交点，则
D．当时，
易混易错20恒成立意义不明导致定点致错
辨析：直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线的方程，问题就归结为用参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个方程必有一组常数解．解决定点与定值问题，不能仅靠研究特殊情况来说明．
【典例】（25-26高三上·陕西榆林·月考）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点.
【跟踪训练】（25-26高二上·江西南昌·期末）双曲线经过两点和．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线交双曲线于两点，为左焦点，直线交双曲线于另一点，直线交双曲线于另一点，求直线过定点．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)高考数学几何模块20个易混易错全归纳
内容导览 易混易错01 对斜二测法规则掌握不牢致错 2
易混易错02 不能确定棱锥的外接（内切、棱切）球球心致错 4
易混易错03 线面位置关系考虑不全面致错 6
易混易错04 对垂直的性质定理、判定定理理解不透彻致错 9
易混易错05 忽略建系的条件致错 13
易混易错06 忽略异面直线所成角的范围致错 18
易混易错07混淆“线面角”和“直线方向向量与平面法向量的夹角”致错 20
易混易错08 忽略斜率公式的应用条件致错 23
易混易错09 求直线方程忽略截距为零致错 25
易混易错10 判断直线的位置关系考虑不全面致错 27
易混易错11 忽略圆的一般方程的限制条件致错 29
易混易错12 处理直线与圆的位置关系时忽略对斜率的讨论致错 30
易混易错13 两圆相切忽略内切、外切的区分致错 32
易混易错14 曲线方程变形不等价致错 33
易混易错15 忽略圆锥曲线定义中的限制条件致错 36
易混易错16 忽略圆锥曲线焦点的位置致错 38
易混易错17 求离心率范围时忽略离心率本身范围致错 40
易混易错18 求轨迹方程时忽略变量的取值范围 42
易混易错19直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全出错 45
易混易错20恒成立意义不明导致定点致错 49
易混易错01 对斜二测法规则掌握不牢致错
辨析：直观图还原原图时容易混淆长度的“变”与“不变”，即与轴平行(重合)的线段长度不变，与轴平行(重合)的线段长度直观图是原图的一半.
【典例1】（25-26高三上·上海部分中学期中联考）如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，那么的面积为 ．
【答案】
【解析】因为轴，所以在中，（易错点），
对斜二测画法规则理解不透，不能判断出
又三角形的面积为16，所以.∴，
所以（易错点）.
平行于y轴的线段在画直观图时其长度减半
如图作于，
因为，所以.
所以.
秒解：因为，所以的面积为
.
【跟踪训练1】（25-26高三上·湖南长沙·期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（ ）.
A．5 B． C． D．10
【答案】D
【解析】由题直观图的面积为，
原图的面积等于直观图面积的倍，
所以原图的面积为，故D正确.
【跟踪训练2】（2026·山东·一模）水平放置的，用斜二测画法得到直观图，如图所示，若，则的面积等于___________．
【答案】4
【解析】由题意，作出直观图对应的原图，
可得，
所以的面积等于.
易混易错02 不能确定棱锥的外接（内切、棱切）球球心致错
辨析：在求棱锥的外接球的相关问题中，关键是球心和半径的确定.球心的确定本质上是过棱锥的任意两个表面图形外接圆的圆心的垂线的交点，半径是球心到棱锥任意一个顶点的距离.
【典例】（25-26高三上·河南·期中联考）已知在四棱锥中，底面为边长为4的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）
【答案】
【解析】如图所示，在四棱锥中，设和正方形的外接圆的圆心分别为，分别过作两个平面的垂线交于点，则由外接球的性质知，点即为外接球的球心(易错点).
需注意，球心与球的各截面圆的圆心连线与相应截面垂直
取线段的中点，连接，，，，则四边形 为矩形.在等边三角形中，可得，则，即
在正方形中，由，可得，在中，可得，设外接球半径为，则，所以四棱锥外接球的表面积.故选.
【跟踪训练1】（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A．
【跟踪训练1】（2026·宁夏吴忠·一模）在三棱锥中，，，，若，，，都在球的球面上，则球的表面积为______
【答案】
【解析】在三棱锥中，，
则AB，AC，AP两两垂直，
三棱锥与以AB，AC，AP为棱的长方体有相同的外接球，
因此球半径，
所以球的表面积为.
【跟踪训练2】（2025·广东佛山·一模）两个有共同底面的正三棱锥与，它们的各顶点都在球的球面上，，且二面角的大小为，则球的表面积为 .
【答案】
【解析】由题意可知，外接球的球心，且平面，即为外接球的直径，
设平面，则为等边三角形的中心，取的中点，连接，，
则，，故二面角的平面角为.
设，，，，，
则，，又，，
则，
又，，解得，即球的表面积为.
易混易错03 线面位置关系考虑不全面致错
辨析：确定空间中点线面位置关系，热点是线线、线面位置关系，空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线,可采用直接法或反证法；对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决，确定位置关系时要考虑到所有可能,一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断。
【典例】（2025·四川成都联考）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
【答案】A
【解析】对于，若，，则或，故错误；
对于，若，，，则，故正确；
对于，若，，只有当垂直于与的交线时，故C错误（易错点）；
若不是垂直于与的交线，则与可能相交、平行或
对于，若，，，则或与相交，故错误.
【跟踪训练1】（25-26高三上·上海·月考）若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则与相交
【答案】C
【解析】对于A，若，，则平行或异面，故A错误.
对于B，若，则平行或异面或相交，故B错误.
对于C，，过作平面，使得，
因为，故，而，故，故，故C正确.

对于D，若，则与相交或异面，故D错误.
故选：C.
【跟踪训练1】（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知两条不同的直线，两个不同的平面，下列命题中一定正确的是（ ）.
A．若是一对异面直线，且，则.
B．若，则.
C．若，，，，则.
D．若，，则.
【答案】A
【解析】A，过直线作平面分别交于，由线面平行的性质可得：，
即，因为，所以，同理可得过作平面交于，即可得，
因为异面，所以是内的相交直线，根据面面平行的判定定理，可得，故A正确；
B，若，则可能相交、异面，即不一定平行，故B错误；
C，面面垂直的性质定理要求，题中没有这个条件，当不在内时，不能推出，故C错误；
D，若，，则可能平行、斜交，即不一定垂直，故D错误.
【跟踪训练2】（多选）（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则或
C．若，则
D．若与所成角相等，则
【答案】BC
【解析】对于A：若，则或，故A错误；
对于B：因为，，，所以或，且或。若，因为是不同的直线，
则与是内两条平行线，又，所以。同理，若，则。所以“或”必成立,故B正确。
对于C：若，则或，
若，则内必定存在直线使得，又，所以，所以；
若，又，所以，
综上可得，故C正确；
对于D：若且，此时与所成角均为，相等，
此时，故D错误.
故选：BC
易混易错04 对垂直的性质定理、判定定理理解不透彻致错
辨析：1.证明线面垂直，需要证明平面外的直线与平面内的两条相交直线垂直.经常忽视的是两条直线相交的条件.
2.由面面垂直的性质定理证题时，一定要注意一个平面内的一条直线必须垂直于两个平面的交线，才会垂直于另一个平面.
【典例】（25-26高三上·湖南衡阳·期中联考）如图，在三棱台中，平面平面，，．

(1)证明；
(2)求直线DF与平面DBC夹角的正弦值．
【解析】（1）过点作⊥于点，连接，
因为平面平面，交线为，平面，
所以⊥平面，（易错点）
两平面垂直时，要注意一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面
因为平面，所以⊥(易错点)
因为，所以，
又，所以，
又，在中，
由余弦定理得，
故，由勾股定理逆定理得⊥，
因为，平面，所以⊥平面，
又平面，所以⊥，
又三棱台中，，所以；

（2）过点作⊥于点，连接，
三棱台中，，
所以直线DF与平面DBC所成的角等于直线与平面DBC所成的角，
因为⊥平面，平面，所以⊥，
又，平面，所以⊥平面（易错点），
注意必须强调两直线相交，此时才有线面垂直
所以为直线与平面DBC所成的角，
由（1）知，，，
因为⊥平面，平面，所以⊥，
由勾股定理得，
所以，
所以
直线DF与平面DBC所成的角的正弦值为
【跟踪训练1】（25-26高二上·陕西渭南·期中）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点.

(1)求证：平面ADEF；
(2)求证：平面BDE.
【解析】（1）取的中点，连接，，
在中，，分别为，的中点，所以，且，
由已知，，所以，且，
所以四边形为平行四边形，可得，
又因为平面，且平面，
所以平面.
（2）在正方形中，，因为平面平面，且平面平面，
且平面，所以平面，
又因为平面，所以，
在直角梯形中，，，可得，
在中，，，
因为，所以，
因为，平面，
所以平面.

【跟踪训练2】（河南周口市天立高级中学等学校2025-2026学年高三下学期开学数学试题）已知正三棱柱的底面边长为为中点．
(1)若，证明：平面；
(2)若与交于点与交于点，直线与平面夹角的余弦值为，求三棱柱的体积．
【解析】（1）连接，，且，连接，
因为在正三棱柱中，
底面边长为2，，
所以侧面都是边长为2的正方形，
所以在正方形中，，
又因为，为中点，
所以为等腰三角形，是底边中线，
所以，
又因为，面，且，
所以面.
（2）法一：几何法
连接，由可得：，
记与平面所成角为，由于平面，
是在平面上的投影，则，
根据线面角的定义，，
在中，由且，则，
由勾股定理得：，
所以.
易混易错05 忽略建系的条件致错
辨析：利用空间坐标系处理空间角、空间距离问题，是高考中的重点题目，但在建立坐标系以前必须先证明要用到的垂直关系，而不能相当然的利用图中的直线作为空间坐标系的坐标轴.
【典例】（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为．
(1)证明：平面；
(2)求面与面所成的二面角的正弦值．
【解析】（1）设，所以，因为为中点，所以，因为，，所以是平行四边形， 所以，所以，
因为平面平面，所以平面，
因为平面平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面．
（2）
因为，所以，又因为，所以，
以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系(易错点).
本处易错点是不证明三线两两垂直，直接建立空间直角坐标系
因为，平面与平面所成二面角为60° ，
所以.
则，，，，，.
所以.
设平面的法向量为，则
，所以，令，则，则.
设平面的法向量为，
则，所以，
令，则，所以.
所以.
所以平面与平面夹角的正弦值为.
【跟踪训练1】（25-26高三上·上海松江·期末）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，是边长为2的正三角形，侧面底面ABCD．
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离．
【解析】（1）取中点，中点，连接，.
因为为等边三角形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
平面，所以，
又底面是直角梯形，，所以.
又分别为，中点，所以，所以.
所以两两垂直.
故以为原点，建立如图空间直角坐标系，
因为，所以，，，.
所以，.
因为.
所以，所以.
（2）由（1）得，，，.
设平面的一个法向量为，
则，令，可得.
所以点到平面的距离为：.
【跟踪训练2】（25-26高三下·重庆北碚·开学考试）如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面．
(1)求证：；
(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）取的中点，连接，如图所示：
因为，所以，
又平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
由，，平面，
所以平面，又平面，
所以.
（2）由平面，，
所以以点为坐标原点，分别为轴，过点平行于的所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，

由（1）知平面，平面,
所以，所以为二面角的平面角，
又二面角的大小为，所以，
又的中点为，，所以，
在直角三角形中，
，
所以，
则，
设点，由，所以，①
则，又，
所以有，②
又，即，③
联立①②③解得：，
所以，所以，
设平面的一个法向量为，
由，
令，则，所以，
设直线与平面所成的角为，
所以
，
所以直线与平面所成角的正弦值为：.
易混易错06 忽略异面直线所成角的范围致错
辨析：求解异面直线所成角相关问题时，要注意两点：一是几何法所做的角和异面直线所成角相等或互补；二是异面直线的方向向量所成角一异面直线所成角也是相等或互补的关系，而区分的依据都是异面直线所成角的范围.
【典例】（25-26高三上·江苏无锡·月考）《九章算术》中将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
【答案】
【解析】由题意，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
由题意，设，则，
所以，，，，
所以，，
所以，
所以，，
设直线与所成角为，
则.
所以异面直线与所成角的余弦值为（易错点）．
本题容易错将答案写成或
【跟踪训练1】（25-26高二下·上海·月考）正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上，则异面直线与所成角的余弦值为_____________________
【答案】或
【解析】设外接球球心为，底面中心为，外接球半径，
因为底面边长为4，所以，
易知球心在直线上，则，解得或，
当时，又，解得，
因为，所以即为异面直线与所成的角.
在中，由余弦定理可得，
解得；
当时，又，解得，
因为，所以即为异面直线与所成的角.
在中，由余弦定理可得，
解得.
综上：直线与所成角的余弦值为或.
【跟踪训练2】（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在三棱锥中，，，，平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为____.
【答案】/
【解析】如图，取的中点，连接，.
因为，所以，，
所以为平面与平面所成二面角的平面角，
又，
所以，
则，所以为等边三角形，所以.
因为，
所以，
所以，
，
即，得，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
易混易错07混淆“线面角”和“直线方向向量与平面法向量的夹角”致错
辨析：若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos<,>|。容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值.
【典例】（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点．
(1)若分别为的中点，求证：平面PAB；
(2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．
【解析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，
与为等腰直角三角形且，
不妨设，..
E、F分别为BC、PD的中点，
，且.
，，
，∴四边形FGMN为平行四边形，
，
平面PAB，平面PAB，平面PAB；
（2）平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
，
设平面PCD的一个法向量为，
，，
取，，.
设AB与平面PCD所成角为，
则(易错点)
若对概念不清，容易错写成
即AB与平面PCD所成角的正弦值为.
【跟踪训练】（25-26高三上·吉林长春·期中）如图，在四棱锥中，平面，，E为棱的中点，平面与棱相交于点F，且，.

(1)求证：；
(2)已知点M在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
【解析】（1）因为平面，平面，
所以平面，又平面，平面平面，
所以，又，
所以.
（2）由平面，平面，所以，
所以，
得，有，所以，
建立如图空间直角坐标系.
，
则，
设，则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
所以，设直线与平面所成的角为，
则，
整理得，解得，即.
易混易错08 忽略斜率公式的应用条件致错
辨析：当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，而是该直线垂直于轴（平行于轴或与轴重合）.因此，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.
【典例1】（25-26高三上·山西·月考）已知两点，，当时，直线的倾斜角的取值范围是 .
【答案】
【解析】设直线的倾斜角为，则.
因为，，
当时，；（易错点）
要注意考虑斜率不存在的情形
当时，，或.
当时，直线的斜率，
所以，得；
当时，直线的斜率，
所以，得.
所以.
【跟踪训练1】（25-26高二上·贵州六盘水·月考）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
如图，设，当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率，
要使直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率需满足或.
所以直线的斜率的取值范围为.
故选：C.
【跟踪训练2】（25-26高二上·天津南开·开学考试）下图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】把看成动点到定点所在直线的斜率，如图：
当直线与半圆相切时，斜率最小，
设直线方程为：，
此时由圆心到直线的距离等于半径可得：，解得：或（舍去），
所以的最小值为.
易混易错09 求直线方程忽略截距为零致错
辨析：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．
【典例】（25-26高三上·江西赣州·期末）经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】当直线经过原点时，此时直线方程可设为，（易错点）
此时直线的截距均为0，故不能通过设截距式方程求得
代入点，解得，所以直线方程为即；
当直线不经过原点时，设所求直线的截距式方程为，
代入点，解得，所以直线方程为.
综上，经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是或.
故选：C.
【跟踪训练】（25-26高三上·湖北·开学考试）与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．6条
【答案】B
【解析】因为直线在两坐标轴上截距相等，所以
①当直线不经过原点时，设截距为，.
则直线过点，那么直线斜率为.
所以直线方程为.
因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径.
即，化简得，求解得或（舍去）.
此情况下有一条直线符合题意，直线方程为.
②当直线经过原点时，设直线方程为，即.
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径.
即，化简得，求解得.
此情况下有两条直线符合题意，直线方程为.
综上，共有3条直线符合题目要求.
故选：B.
易混易错10 判断直线的位置关系考虑不全面致错
辨析：1.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直；若不相等，则进行第二步．
(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．
(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．
2.若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况．
3.根据直线平行求参数时一定要检验重合的情况.
【典例】（25-26高三上·广东深圳·期末）已知直线与平行，则实数的值为（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】A
【解析】由题意，，
时，方程是，的方程是，平行；
时，方程可化为，方程化为，两直线重合，舍去，（易错点）
忽视对m取值讨论，从而未剔除两直线重合这一情形出错
故选：A.
【跟踪训练1】（多选）（25-26高二上·江苏·期末）已知直线，，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则直线，之间的距离为
C．直线过定点
D．若直线在两坐标轴的截距相等，则或
【答案】BCD
【解析】对于，直线的斜率为，若，则直线的斜率为，
则，所以不垂直，故错误；
对于，若，所以可得，则直线，
由两平行直线距离公式可得，故正确；
对于，可化为，
所以直线恒过，故正确；
对于，当直线与轴无截距，不满足条件，
当，在两坐标轴的截距相等，分别令，
可求出与轴截距为和轴截距，即
解之可得或，故正确.
故选：
【跟踪训练2】(多选)（25-26高二上·河北邯郸·期末）已知直线：，：，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．存在，使得
C．直线过定点 D．直线过定点
【答案】AC
【解析】若，：，：，显然成立，
若，的斜率为，的斜率为，，所以，所以无论为何值，，故A正确，B错误；
的方程可化为，即，所以过定点，故C正确，
，所以过定点，故D错误.
故选：AC.
易混易错11 忽略圆的一般方程的限制条件致错
辨析：不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．
【典例】（25-26高三上·青海西宁·期末）点在圆外，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知：表示圆，
可得：，解得，（易错点）
要注意考虑方程表示圆的条件
又在圆外，所以，得，
所以k的取值范围为.
故选：C
【跟踪训练】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由圆，可得，
可得，解得，
又由点在圆外，则，解得，
综上可得：，所以实数的取值范围是.
故选：D.
易混易错12 处理直线与圆的位置关系时忽略对斜率的讨论致错
辨析：（1）过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．
（2）设直线的点斜式时一定要分析斜率不存在的情况，以防考虑问题不全面而出错.
【典例】（25-26高三上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆，上存在两点关于直线对称.
(1)求的半径；
(2)过坐标原点的直线被截得的弦长为2，求的方程.
【解析】（1）圆，即，
则圆心为，半径，
因为上存在两点关于直线对称，所以点在直线上，
所以，解得，
所以的半径；
（2）由（1）可得，圆心为，
因为过坐标原点的直线被截得的弦长为，所以圆心到直线的距离，
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离，符合题意；（易错点）
要注意考虑直线斜率不存在这一种情形，否则将漏解
若直线的斜率存在，设直线的方程为，则，解得，
所以直线的方程为，即；
综上可得直线的方程为或.

【跟踪训练1】（25-26高二上·江苏南京·月考）已知在平面直角坐标系中，，点满足，记点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)若经过点的直线与相交于点，且，求直线的方程；
(3)已知.若直线经过点且与相交于两点，线段的中点为与的交点为，证明：为定值，并求出该定值.
【解析】（1）解：设，因为点且，
所以，即，
所以的轨迹方程为.
（2）解：由（1）知，圆心为，半径为，
因为，设圆心到的距离，可得，解得，
当斜率不存在时，方程：，此时，满足题意；
当斜率存在时，设方程：，即，
则，解得，此时.
综上可得，直线的方程为或.
（3）解：当斜率不存在时，此时与圆相切，不符合题意，
所以斜率存在，设直线的斜率为，则，且
联立方程组，
整理得，
令，解得，
且，所以，
又由，解得，所以，
因为均在直线上，且
所以.
易混易错13 两圆相切忽略内切、外切的区分致错
辨析：1.判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：
①化成圆的标准方程，写出圆心和半径；
②计算两圆的圆心距d；
③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．
2．由圆的位置关系求参数：求解此类问题，一般根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径的和或差的绝对值的大小关系列出关系式,求出参数的值或取值范围,注意相切和相离均包括两种情况。应用几何法判断两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．
【典例】（多选）（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知圆和圆，则（ ）
A．两圆可能无公共点
B．若两圆相切，则
C．直线可能为两圆的公切线
D．当时，若为两圆的公切线，则或
【答案】ACD
【解析】由圆的圆心为，圆的圆心为，则圆和圆的圆心距为，
对于A，当，即时，两圆可能相离，即无公共点，故A正确；
对于B，当两圆外切时，，得；当两圆内切时，，得，故B错误（易错点）；
注意两圆相切包括外切与内切
对于C，当时，直线可能为两圆的公切线，故C正确；
对于D，结合选项B可得，当时，两圆外切，
则有，解得或，故D正确．
故选：ACD．
【跟踪训练】（25-26 高三上·四川内江·期中）已知两个圆，，若两圆相切，则半径为 ．
【答案】或
【解析】由题意知：两圆圆心分别为：，，半径分别为：，，
当两圆外切时：，解得：；
当两圆内切时：，解得：，负值舍去；
综上：或.
易混易错14 曲线方程变形不等价致错
辨析：在用几何法求参数范围时，对曲线方程化简时一定要注意等价化简，即不能造成x、y的取值范围的变大或缩小.
【典例】（24-25高二上·江苏宿迁·开学考试）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】曲线即为半圆：，（易错点）
要注意此曲线是半圆不是一个圆，且要注意区分是右半圆还是上半圆
其图象如图所示，
曲线与轴的交点为，
而直线为过的动直线，
当直线与半圆相切时，有，解得，
当直线过时，有，
因为直线与半圆有两个不同的交点，故，
故选：D.
【跟踪训练1】（24-25高二上·广东深圳·期中）已知直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围为_____
【答案】
【解析】由可得，整理可得，
所以，曲线表示圆在轴的上半部分，
当直线与圆相切时，，
结合图形可知，，则，
当直线过原点时，，
结合图形可知，当时，
直线与曲线有两个不同的交点.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【跟踪训练2】（25-26高二上·江苏扬州·阶段练习）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由可知直线过定点，
曲线两边平方得，
所以曲线C是以为圆心，半径为1且位于直线x轴上方的半圆，
当直线过点时，直线与曲线C有两个不同的交点，此时，
当直线与曲线C相切时，直线和圆有一个交点，圆心到直线的距离，两边平方解得，
所以结合图形可知直线与曲线C恰有两个交点，则.
故选：B.
易混易错15 忽略圆锥曲线定义中的限制条件致错
辨析：在应用圆锥曲线的定义判断轨迹类型时，一定要注意三种圆锥曲线定义中的限制条件，如椭圆要满足曲线上动点到两焦点距离之和是大于焦距的常数；双曲线要满足曲线上动点到两焦点距离之差的绝对值是小于焦距的常数；二抛物线则要满足定点不在定直线上.
【典例1】（24-25高二上·北京·阶段练习）下列说法正确的个数是（ ）
①动点满足，则P的轨迹是椭圆
②动点满足，则P的轨迹是双曲线
③动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线
④动点满足，则P的轨迹是圆和一条直线（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】①，表示点与点的距离和为2a=，
而两点的距离为2c=4，所以点轨迹是两点间的线段(易错点)，①错误.
当2a>2c时点的轨迹才是椭圆
②，表示点与点的距离和为，
而两点的距离为，，所以点的轨迹是椭圆，②错误.
③，动点满足到y轴的距离比到的距离小1，
当点在y轴左侧或在y轴上时则动点满足到直线的距离和到的距离相等(易错点)，则P的轨迹是抛物线；
转化为到定点的距离等于到定直线的距离，便符合抛物线的定义
当点在y轴右侧时，此时P的轨迹是射线，③不正确.
④，动点满足，
则或，
表示的是直线在圆外和圆上的部分；
表示一个圆，所以P的轨迹是圆和两条射线，④错误.（易错点）
所以正确的有0个.
故选：A
【典例2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为圆心，，所以，
因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，
所以，
所以，
所以Q点轨迹为双曲线，且，
所以，则点的轨迹方程为.

故选：B
【跟踪训练1】（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设动圆圆心为，半径为，
圆，即的圆心，半径；
圆，即的圆心，半径，
而，则点在圆内，由圆分别与圆外切，与圆内切，
得，整理得，
因此动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆，
长半轴长，半焦距，短半轴长，
所以所求轨迹方程为.
故选：B
易混易错16 忽略圆锥曲线焦点的位置致错
辨析：由于建系的方案不同，三种圆锥曲线的标准方程是不同的，椭圆、双曲线分为焦点在x,y轴两种情况，二抛物线则有四种方程，故我们在处理圆锥曲线方程相关问题时，一定要先定位，即分析焦点位置，不确定要讨论，在定量，即求或的值．
【典例】（25-26高三上·天津和平·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为2，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】当双曲线的焦点在轴上时，其方程可设为： ，
依题意，，因，故得，双曲线方程为：；
当双曲线的焦点在轴上时，其方程可设为： ，（易错点）
由于焦点位置未确定，故需分焦点在x轴上、在y轴上分类讨论
依题意，，因，故得，双曲线方程为：，即.
故选：D.
【跟踪训练1】（24-25高三上·江苏无锡·期中）求长轴长是短轴长的倍，且过点的椭圆的标准方程（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】C
【解析】由题意可知，，
若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为，
将点的坐标代入椭圆方程可得，解得，
此时，椭圆的标准方程为；
若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为，
将点的坐标代入椭圆方程可得，解得，
此时，椭圆的标准方程为.
综上所述，椭圆的标准方程为或.
故选：C.
【跟踪训练2】（25-26高二上·江苏南通·期末）写出符合下列两个条件的一个双曲线的标准方程为 .
①实轴长为4；②渐近线方程为
【答案】或
【解析】当双曲线焦点在x轴上时，由题意可知:，此时双曲线标准方程为.
当双曲线焦点在y轴上时，由题意可知：，此时双曲线标准方程为.
故答案为：或
易混易错17 求离心率范围时忽略离心率本身范围致错
辨析：注意椭圆离心率的范围： 01.
【典例】（25-26高三上·北京·期中）椭圆上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是 .
【答案】
【解析】当点位于短轴的端点时，最大，
要使椭圆上存在一点P满足，
只要最大时大于等于即可，
即当点位于短轴的端点时，，
所以，
又椭圆的离心率，(易错点)
若忽视此范围，则将得错解
【跟踪训练1】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知双曲线，若圆上存在点使得的中点在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】双曲线的渐近线为，即.
设，则.
因为点在双曲线的渐近线上，所以，即.
所以点在直线上.
因为点在圆上，所以直线与圆有公共点.
所以圆心到直线的距离不大于圆的半径，所以，.
设双曲线的焦距为，则，所以，所以.
所以双曲线的离心率的取值范围为.
故选：B.
【跟踪训练2】（2026·浙江·模拟预测）已知椭圆，点分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆上位于第一象限内的两点，满足，则椭圆C离心率的取值范围是______．
【答案】
【解析】设，，
则由，可得，所以①．
又因为点，都在椭圆上，满足椭圆方程，所以②，
由方程组①②可得，化简得，
解得，因为，
所以，即，解得．
所以该椭圆的离心率的取值范围是．
易混易错18 求轨迹方程时忽略变量的取值范围
辨析：求轨迹方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致错．
【典例】（25-26高三上·湖南长沙·期中）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设，则，整理得，(易错点)
当时，点M与点A或点B重合，此时直线MA或MB不存在
所以动点的轨迹方程是.
故选：A.
【典例2】（25-26高二上·广东惠州·月考）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题设，圆的半径为，则，
所以，点的轨迹是以，为焦点，
所以，的双曲线的左支，
又，则，故，
动圆圆心的轨迹方程为.
故选：C
【跟踪训练1】（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）（24-25高二下·云南·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】的圆心为，半径，的圆心为，半径，由动圆与圆内切，设动圆半径为，求出，动圆与圆外切，求出，则有为定值，结合椭圆的定义得解.
【解析】
的圆心为，半径，
的圆心为，半径，
动圆与圆内切，设动圆半径为，，
动圆与圆外切，，
，，
，动圆的轨迹是以为焦点的椭圆，
，，
动圆的轨迹方程为.
故选：C.
【跟踪训练2】一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】圆与圆外切，如图，
，即，
，
由双曲线的定义，点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线的左支，其中，，
．
故所求轨迹方程为：．
故选：C．
易混易错19直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全出错
辨析：在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形．
【典例】（25-26高三上·北京·阶段练习）若直线与双曲线恰好有一个交点，则直线的斜率的所有可能值为 .
【答案】或
【解析】将代入双曲线方程中得到：，
展开整理得.
当时，即时，方程变为一次方程，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线恰好有一个交点. (易错点)
注意直线与双曲线恰有一个公共点时，直线与双曲线可能相切，也可能相交于一点（此时平行于渐近线）
当时方程是二次方程，
若直线与双曲线恰好有一个交点，则判别式，
展开得到：.
进一步化简为，则.
解得.
综上所得，直线的斜率的所有可能值或.
【跟踪训练1】（25-26高二上·江西南昌·月考）已知抛物线，斜率为的直线绕定点旋转，下列说法正确的是（ ）
A．直线与抛物线只有一个公共点时，一定是相切
B．当直线与抛物线有两个公共点时，斜率的范围是
C．当直线与抛物线只有一个公共点时，或，
D．当直线与抛物线没有公共点时，斜率的范围是
【答案】D
【解析】设直线的方程为，
即，由消去得：，
当时，直线与抛物线相交，只有一个公共点，故A错误；
当时，，
当时，解得或，此时方程组有两个相同的实数解，直线与抛物线相切，只有一个公共点，
所以直线与抛物线只有一个公共点时，直线的斜率分别为，故C错误；
当时，解得，此时方程组有两个不同的实数解，故直线与抛物线交于两点，故B错误；
当时，解得，此时方程组没有实数解，知直线与抛物线相离，没有公共点，故D正确.
故选：D.
【跟踪训练2】(多选)（24-25高二下·河北衡水·期末）已知曲线C：，直线，，，为C上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．面积的最大值为2
B．当时，C上有且仅有两个点到的距离为1
C．若曲线C与有两个不同的交点，则
D．当时，
【答案】ACD
【解析】A选项，若，则，
此时曲线为焦点在轴上的双曲线的一部分，其中为其渐近线，
若，则，此时曲线为单位圆的一部分，
若，则，无解，此时不合要求，
当则，
此时曲线为焦点在轴上的双曲线的一部分，其中为其渐近线，
画出曲线C：如下：
由于，与平行，
故取的中点，直线与垂直，且与（）交于点，
此时点与点重合时，到的距离最大，所以面积的最大，
其中直线为，
联立与（）得，故，
点到直线的距离为，
又，故的面积最大值为，A正确；
B选项，当时，，
由A知，到的距离为，
由于为到的距离最大，所以C上有且仅有1个点到的距离为1，B错误；
C选项，当过点时，，
且此时与相切，只有1个交点，
又为曲线C的渐近线，此时，
结合图形，可知若曲线C与有两个不同的交点，则，C正确；
D选项，当时，此时位于（）上，
故到焦点的距离减去到焦点的距离差为，
故，D正确.
故选：ACD
易混易错20恒成立意义不明导致定点致错
辨析：直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线的方程，问题就归结为用参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个方程必有一组常数解．解决定点与定值问题，不能仅靠研究特殊情况来说明．
【典例】（25-26高三上·陕西榆林·月考）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点.
【解析】（1）由题知，，，，
由的面积为，得，
又，代入可得，，∴椭圆的方程为.
（2）联立得，
设，，可得，，
由题知，
即，
即，解得，
∴直线的方程为，故直线恒过定点.
【跟踪训练】（25-26高二上·江西南昌·期末）双曲线经过两点和．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线交双曲线于两点，为左焦点，直线交双曲线于另一点，直线交双曲线于另一点，求直线过定点．
【解析】（1）设双曲线方程为：，代入两点可得：
，解得：，
又设双曲线方程为：，代入两点可得：
，解得：，显然这组解不成立，
综上双曲线的标准方程为；
（2）
设，由（1）知，
则直线方程为：，直线方程为：，
由直线方程与双曲线方程联立可得：
，消可得：，
整理得：，
即，
又因为，
则，
所以，
则，
即点，同理可得：点，
设直线的方程为：，把点的坐标代入可得：
，
，
同理，把点的坐标代入可得：，
即直线方程必过点，
即此方程就是直线方程，又因为直线过点，
则有，
则直线的方程必过定点.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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