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提分小卷：解答题
限时训练01（A组+B组+C组）
（考试时间：50分钟 试卷满分：77分）
解答题（本大题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（13分）
2025年我国多地推广“碳普惠”体系，鼓励市民参与绿色出行获取低碳积分．某社区随机抽取100名居民调查绿色出行情况，得到如下列联表（绿色出行定义为“日常通勤采用公交、骑行、步行”）：
参与绿色出行 不参与绿色出行 总计
青年群体（40岁） 35 15 50
中老年群体（40岁） 20 30 50
总计 55 45 100
(1)依据小概率值的独立性检验，分析参与绿色出行是否与年龄群体有关？
(2)若市民甲前一天参与了绿色出行，则后一天参与绿色出行的概率为；若前一天没有参与绿色出行，则后一天参与绿色出行的概率为．如果市民甲第一天参与了绿色出行的概率为，分别求出他在第二天、第三天参与了绿色出行的概率．
附：
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
【解析】（1）零假设：参与绿色出行与年龄群体无关，
则，
根据小概率值的独立性检验，不成立，
所以参与绿色出行与年龄群体有关．
（2）设“市民甲第天参与了绿色出行”，“市民甲第天没有参与绿色出行”，．
由题意知：，
∴，
∴，
∴．
∴市民甲第二天参与了绿色出行的概率为，第三天参与了绿色出行的概率为．
16．(15分)
记的内角，，的对边分别为，，，且满足．
(1)求；
(2)设点为边的中点，，的面积为，求，．
【解析】（1）因为，
所以，
所以，
即.
因为，所以，
所以，则，
又因为，则，
所以，解得.
（2）由题得，
所以，
所以.
又因为，则①
由，得，②
由①②得.
17．(15分)
如图，在三棱台中，平面，．
(1)证明：．
(2)为的中点，是上一点，若平面，求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）∵平面，平面，∴，
∵，平面，
∴平面，
因为平面，∴，
∵，∴；
（2）由（1）可以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，
所以，，
设，，
则，所以，
所以，
设平面的一个法向量，
由题意，即，令，则，
又，解得，所以．
设直线与平面所成的角为，
则．
18．(17分)
已知为抛物线上一点.
(1)求的准线方程；
(2)若点与关于轴对称，过点且斜率为2的直线交于另一点，设.
（i）求数列的前项和；
（ii）求的面积.
【解析】（1）由题意知，则，
所以的准线方程为.
（2）由（1）知的方程为，
（i），
所以，
所以，
所以数列是以为首项，以4为公差的等差数列，
所以，所以.
（ii）将代入得，
则，
法一：
直线的方程为，
点到直线的距离，
，
的面积.
法二：
.
19．(17分)
已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设，若对任意，恒成立，求实数的取值范围；
(3)当时，函数有两个零点，，求证：.
【解析】（1）函数，其定义域为，∴.
当时，恒成立，∴在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由题意，∴即.
∵，∴不等式可化为，即.
设，则当时，；当时，；当时，.
，当时，，在上单调递增.
当时，，，故，
当时，，，，在上恒成立，
即在上恒成立.
设，，则，
在上单调递增，，
∴，
综上实数a的取值范围是.
（3）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增.
函数有两个零点，，不妨设，则.
要证，只要证，，，只要证.
又∵，∴只要证.
设，，
则.
当时，，，，
∴，∴单调递减，∴.
，即，
∴.
（考试时间：60分钟 试卷满分：77分）
解答题（本大题共13小题，满分81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.(13分)
已知为等差数列的前项和，，.
(1)求；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
【解析】（1）因为数列是等差数列，
所以由，
所以公差为，
所以；
（2），
所以，因此
.
16．（15分）
如图，在三棱柱中，平面，，，，D为棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)若E为棱BC的中点，求三棱锥的体积．
【解析】（1）由题意可知在三棱柱中，，，所以为等边三角形，所以，
又，，故，
可得，因此，
又因为平面，平面，所以，即，
又，所以平面；
（2）由（1）可知,由平面，平面，
所以，则为直角三角形，
由平面，平面，所以，即，
所以在中，,
则在中，,
所以的面积为.
连接，因为，，所以，
因为平面，所以，即两两垂直，
所以以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设是平面的一个法向量，
则，解得，取,
所以点到平面的距离,
则三棱锥的体积.
17．(15分)
当前，全球贸易格局发生重大变化，随着中美贸易战的不断升级，越来越多的中国科技企业开始意识到自主创新的重要性，大大加强科技研发投入的力度，形成掌控高新尖端核心技术及其市场的能力.某企业为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）和年利润（单位：千万元）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如下：
30.5 15 15 46.5
表中，.
(1)根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
(2)已知年利润与，的关系为（其中为自然对数的底数），要使企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？
(3)科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过，不予奖励；若超过，但不超过，每件产品奖励10元；若超过，每件产品奖励20元.记为每件产品获得的奖励，求.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
附：若随机变量，则，.
【解析】（1）根据散点图可判断，更适合作为关于的回归方程类型，
因为呈线性变化，不合要求，故选，
对两边取对数，得，即，
由表中数据得：，，
，所以，
所以关于的回归方程为；
（2）因为，所以，
，令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以预计下一年投入千万元时，
年利润取得最大值为千万元.
（3）因为，，
所以
，
，
（元）.
18．（17分）
已知函数，其中．
(1)证明：当时，；
(2)当时，证明：对任意，；
(3)若是的极小值点，求实数的取值范围．
【解析】（1）设，则，
所以在上单调递增，当时，，
即.
（2）设，
因为当时，，由（1）可知，
所以
，
所以在上单调递增，即，
即，得证.
（3）由题意得，
令，，
（ⅰ）当，即时，取，
所以，当时，，结合（1）可知，
函数的定义域为，关于原点对称，
因为，
所以函数是偶函数，
故当时，，
因为，所以是的极小值点，符合题意；
（ⅱ）当时，因为，且在区间上连续可导，
又因为，
所以函数是定义在上的偶函数，
故存在，使得对任意，都有，
所以函数在区间上单调递减，
当时，，当时，，
所以是的极大值点，不符合题意；
所以实数的取值范围是.
19．（17分）
已知椭圆的焦距为，点在上，直线交于两点.
(1)求的方程；
(2)为坐标原点，，求的取值范围；
(3)若直线的斜率之积为，证明：直线过定点.
【解析】（1）设椭圆的焦距为，则，，所以焦点坐标为.
由椭圆的定义知，
.
所以，，所以.
所以椭圆的方程为.
（2）设 ，由点在椭圆上，得，
所以
因为，所以.
由，可得，
由点在椭圆上，得，
所以
因为，
所以.
所以.
因为
，
所以.
因为，所以.
所以的取值范围是.
（3）设.
当直线斜率不存在时，直线方程为，.
由点在椭圆上，得.
直线的斜率之积为，所以，
即，所以，所以或.
此时直线方程为.
当直线斜率存在时，直线方程为.
由，得.
，得.
.
直线的斜率之积为，
所以.
因为
；
.
所以，
所以，
所以，
所以，
所以或.
当时，直线恒过定点；
当时，直线，恒过定点与点重合，所以三点共线，不符合题意，舍去.
直线也过点.
综上所述，直线恒过定点.
（考试时间：70分钟 试卷满分：77分）
解答题（本大题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．(13分)
在中，角的对边分别是，且满足.
(1)证明：；
(2)若边上的中线长为2，求的面积的最大值.
【解析】（1）在中，由及正弦定理，
得，而，则，
即，而，所以，.
（2）令边的中点为，则，，
两边平方得，则，
即，当且仅当时取等号，
的面积，
所以的面积的最大值为.
16．(15分)
“村BA”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎．某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为．甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为．
(1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；
(2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得－1分．设该同学回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望；
【解析】（1）设B＝“甲同学所选的题目回答正确”，
“所选的题目为篮球、足球、排球相关知识的题目”（i＝1，2，3），
根据题意得，
；
所以
（2）由题意可知，X的可能取值为，
则，
，
，
，
所以X的分布列为：
X 1 5 9
P
所以.
17.（15分）
已知双曲线的焦距为2c，渐近线方程为，右焦点到直线的距离为．
(1)求的方程；
(2)已知直线交于B，C两点，的左顶点记为，若，求弦长|BC|．
【解析】（1）由题意知，，
解得，
所以的方程为
（2）联立，整理得，
由，可得，
设，则
因为，
又直线过点，且，
所以，所以①，（也可利用斜率相等或向量共线得出）
将①式代入得，消去得，
解得，
则

18．(17分)
如图所示，已知四棱锥，平面，点为的中点，，垂足分别为，，，．
(1)证明：；
(2)若平面EBD，设二面角的平面角为，且为钝角，求的最大值；
(3)若，点都在同一个球面上，且给定该球的半径时，三棱锥的体积有3个可能的值，求该球半径的取值范围．
【解析】（1），点为的中点，
，
又，，
，
、为等腰直角三角形，
由题意，可知，
如图，
取PE中点H，连接，
,，
平面，平面，，
平面，
平面，
.
（2）设与的交点为，
∵平面，平面平面，
平面，
，
点为的中点，
为的中点，
平面，平面，
，
又，，
，
如图所示，建立空间直角坐标系，
则，，，
设，，，
，
，
，
得，
同理：可得，
不妨设，，其中，，
过，从而，
由，，
得，则，
设平面与平面的法向量分别为，，
，即，
可得，
同理可得：，
，
且易知，满足θ为钝角，
而，当且仅当，时取等号，
故，
二面角的平面角的余弦值的最大值为.
（3）如图，
且，
,
平面，平面，
,
平面，平面，
，
由（2）知，，
关于平面对称，
设，则，其中且，
设的外心为，显然应在轴上，
设，
，
故有，整理得：，
同时在平面的垂直平分线恰为，
因此球心即为，过点且垂直于平面的直线与的交点，
故，
令，则且，代入及表达式，
得，
因此，令，
故，且，
且给定该球的半径时，三棱锥P-BCD的体积有3个可能的值，
等价于有3个不同的解，即有3个不同的解，
①当时，关于的方程，
在区间上有唯一解，
此时关于v的方程仅在区间有一解，不满足题意；
②当时，
关于的方程恰有两解，，
方程在区间有1解，有唯一解，
故共有2组解，不满足题意；
③当时，
关于的方程在，分别有一解，
此时关于v的方程在区间有一解，在有2解，
共3解，符合题意，
因此，即，
综上所述，该球半径的取值范围是；
解法二：令，则且，
代入的表达式为：，
则，结合，后同解法一的讨论．
方法二：（3），且，
故，
平面，平面，
，
平面，
平面，
，
由（2）知，，
关于平面对称，
设，则，其中且，
设球心，则，
化简整理得：，且，故，
下同方法一.
19.（17分）
已知函数，设，，…，，（）．
(1)证明：，并求；
(2)对于任意实数，求使成立的最大正整数；
(3)求使得，，成立的所有正整数的取值集合．
【解析】（1）由题意知：，
而，故；
接下来证明：，
，
而
，命题得证.
（2）由（1）知，且，
易得：，
，其中.
故，
所以原不等式可化为：，由题意知为正整数，
若为正奇数，可为负数，
对于任意实数时，不等式不成立，故必定为正偶数.
令 ，则有： ，
设，则令，则，
易知时，在上单调递增，且，
故当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故，
若求成立的最大正整数，
只需求成立时的最大整数m即可.
即成立时的最大整数m，
代入计算即可知使该不等式成立时的最大整数m为4，
时，显然成立，
故使成立的最大正整数为8.
（3）由题知：，，成立
等价于，成立，
即成立.
由（2）知：，
，
故当时，；
故当时，；
故当时，；
故当时，；
令，易得，
此时满足的只有或，
当时，，
，
令，则，
接下来证明：，
令，则，
而时，，，易知，
故在上单调递增，而，
故，所以，
进而，命题得证.
故在上单调递增，且，故，
即，可知在上单调递增，
且，故，此时的，满足题目要求；
当时，，
，令，
则，故在时单调递增，
即在时单调递增.
易知：，，根据零点存在定理可知，
在内存在一个零点，且单调递减，
而，故存在的区间，故原不等式不成立，
则此时不成立.
综上，使得，，
成立的所有正整数的取值为，
即的取值集合为.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)提分小卷：解答题
限时训练01（A组+B组+C组）
（考试时间：50分钟 试卷满分：77分）
解答题（本大题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（13分）
2025年我国多地推广“碳普惠”体系，鼓励市民参与绿色出行获取低碳积分．某社区随机抽取100名居民调查绿色出行情况，得到如下列联表（绿色出行定义为“日常通勤采用公交、骑行、步行”）：
参与绿色出行 不参与绿色出行 总计
青年群体（40岁） 35 15 50
中老年群体（40岁） 20 30 50
总计 55 45 100
(1)依据小概率值的独立性检验，分析参与绿色出行是否与年龄群体有关？
(2)若市民甲前一天参与了绿色出行，则后一天参与绿色出行的概率为；若前一天没有参与绿色出行，则后一天参与绿色出行的概率为．如果市民甲第一天参与了绿色出行的概率为，分别求出他在第二天、第三天参与了绿色出行的概率．
附：
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
16．(15分)
记的内角，，的对边分别为，，，且满足．
(1)求；
(2)设点为边的中点，，的面积为，求，．
17．(15分)
如图，在三棱台中，平面，．
(1)证明：．
(2)为的中点，是上一点，若平面，求直线与平面所成角的正弦值．
18．(17分)
已知为抛物线上一点.
(1)求的准线方程；
(2)若点与关于轴对称，过点且斜率为2的直线交于另一点，设.
（i）求数列的前项和；
（ii）求的面积.
19．(17分)
已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设，若对任意，恒成立，求实数的取值范围；
(3)当时，函数有两个零点，，求证：.
（考试时间：60分钟 试卷满分：77分）
解答题（本大题共13小题，满分81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.(13分)
已知为等差数列的前项和，，.
(1)求；
(2)求数列的前项和.
16．（15分）
如图，在三棱柱中，平面，，，，D为棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)若E为棱BC的中点，求三棱锥的体积．
17．(15分)
当前，全球贸易格局发生重大变化，随着中美贸易战的不断升级，越来越多的中国科技企业开始意识到自主创新的重要性，大大加强科技研发投入的力度，形成掌控高新尖端核心技术及其市场的能力.某企业为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）和年利润（单位：千万元）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如下：
30.5 15 15 46.5
表中，.
(1)根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
(2)已知年利润与，的关系为（其中为自然对数的底数），要使企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？
(3)科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过，不予奖励；若超过，但不超过，每件产品奖励10元；若超过，每件产品奖励20元.记为每件产品获得的奖励，求.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
附：若随机变量，则，.
18．（17分）
已知函数，其中．
(1)证明：当时，；
(2)当时，证明：对任意，；
(3)若是的极小值点，求实数的取值范围．
19．（17分）
已知椭圆的焦距为，点在上，直线交于两点.
(1)求的方程；
(2)为坐标原点，，求的取值范围；
(3)若直线的斜率之积为，证明：直线过定点.
（考试时间：70分钟 试卷满分：77分）
解答题（本大题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．(13分)
在中，角的对边分别是，且满足.
(1)证明：；
(2)若边上的中线长为2，求的面积的最大值.
16．(15分)
“村BA”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎．某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为．甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为．
(1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；
(2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得－1分．设该同学回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望；
17.（15分）
已知双曲线的焦距为2c，渐近线方程为，右焦点到直线的距离为．
(1)求的方程；
(2)已知直线交于B，C两点，的左顶点记为，若，求弦长|BC|．
18．(17分)
如图所示，已知四棱锥，平面，点为的中点，，垂足分别为，，，．
(1)证明：；
(2)若平面EBD，设二面角的平面角为，且为钝角，求的最大值；
(3)若，点都在同一个球面上，且给定该球的半径时，三棱锥的体积有3个可能的值，求该球半径的取值范围．
19.（17分）
已知函数，设，，…，，（）．
(1)证明：，并求；
(2)对于任意实数，求使成立的最大正整数；
(3)求使得，，成立的所有正整数的取值集合．
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