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提分小卷：选择题+填空题
限时训练01（A组+B组）
（考试时间：40分钟 试卷满分：73分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为集合，，所以.
故选：C.
2．在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】复数，
其在复平面内所对应的点位于第四象限，
故选：D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，又，
所以，
故选：D.
4．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数的图象向左平移个单位得到：
，
所以，
故选：A.
5．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【解析】由余弦定理得，
所以的面积为．
故选：A．
6．在《红楼梦》中，史湘云邀众姐妹和贾宝玉一起作诗.共编写了十首不同的咏菊诗，假设分配贾宝玉作《访菊》《种菊》两首，薛宝钗作《忆菊》、《画菊》两首，剩下六首诗分别由林黛玉、史湘云、探春三人创作，且每人至少创作一首，至多创作三首，则不同的分工方案共有（ ）
A．150种 B．360种 C．450种 D．800种
【答案】C
【解析】第一类，将6首诗按的数量分给3人，有种；
第二类，将6首诗按的数量分给3人，有种，
所以不同的分工方案共有种．
故选：C.
7．已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将三棱锥补成长方体，如图，
设长方体的长、宽、高分别为，
由于三棱锥的棱长满足，，，
根据长方体面对角线的性质，可得，即，
所以长方体的体对角线长为，因此三棱锥的外接球直径，所以，
所以外接球的表面积.
故选：A
8．已知点在函数的图像上，若恒成立，且在区间上单调，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为在区间上单调，所以，可得，
解得，且，所以，
又点在函数的图像上，所以是函数的一个对称中心，
又恒成立，即是函数的一条对称轴，所以，
若，则，此时，可得，满足条件，
若，则，此时，可得，不满足条件，
所以，又恒成立，所以，
即，即，又，所以，则.
故选：B
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．2025年9月20日，四川省城市足球联赛（简称“川超”）开幕式暨揭幕战观众达21448人.为了解各年龄层对“川超”的关注程度，随机选取了200名年龄在［10，50］的观众进行调查，并绘制如下的频率分布直方图，则（ ）
A．
B．该场观众年龄众数的估计值为35
C．该场观众年龄分位数的估计值为36
D．该场观众年龄平均数的估计值为34
【答案】ABD
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，高度最高矩形的底边中点对应横坐标为35，即众数为35，故B正确；
对于C，所求即为中位数，前２个矩形面积之和为，
前3个矩形面积之和为，则中位数在30到40之间.
设中位数为，则，即中位数为35，故C错误；
对于D，平均数为，
故D正确.
故选：ABD
10．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线的焦点为，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．与之间的距离为4
【答案】ABC
【解析】由抛物线的光学性质可知，直线过焦点，设直线，代入得，则，故A正确；
点与均在直线上，则点的坐标为，由得，则点的坐标为，则，故B正确；
由抛物线的定义可知，，故C正确；
与平行，与之间的距离，故D错误，
故选：ABC．
11．已知函数的定义域为，导函数为，满足（为自然对数的底数），且，则（ ）
A． B．
C．单调递增 D．在处取得极小值
【答案】ACD
【解析】设，则，
可设，则，解得，
故，即，
令，则，故在上单调递增，
∴，即，则，A正确；
因为在上单调递增，C选项正确；
∵，令，解得，
则在上单调递减，在上单调递增，
∴在处取得极小值，， B选项错误，D选项正确；
故选：ACD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）
12．已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为______.
【答案】
【解析】因为，，
所以向量在向量上投影向量为
.
13．柳编技艺在我国已有上千年的历史，如今柳编产品已经选入国家非物质文化遗产名录．如图，若柳条编织的米斗可近似看作上底面圆半径为2，下底面圆半径为1，体积为的圆台，则该圆台的侧面积为 .
【答案】
【解析】设圆台的高为，又圆台的上底面圆半径，下底面圆半径，
则圆台的体积，
解得，
所以圆台的母线，
所以圆台的侧面积.
14．已知为双曲线的左、右焦点，点在第一象限且在双曲线的渐近线上，为线段与双曲线的交点，且，若，则双曲线的离心率为_____．
【答案】4
【解析】如图，连接，因为为线段的中点，且，
所以是线段的中点．
又，所以
因为
所以，因此.
又，所以
在中，由余弦定理知.
所以.
所以
由，得．
所以双曲线离心率为4．
（考试时间：60分钟 试卷满分：73分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．若复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
故选：D
2．集合，集合，若，则（ ）
A．3 B．-3 C． D．9
【答案】C
【解析】．
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意；
.
故选 C.
3．在中，为的中点，则（ ）
A．0 B．16 C．40 D．32
【答案】D
【解析】在中，由，得，则，
由为的中点，得，
所以.
故选：D
4．陕西历史博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作中的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线：的右支与轴及直线，围成的曲边四边形绕轴旋转一周得到的几何体，如图，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，则此双曲线的渐近线方程为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得， ，，且、都在双曲线上，
所以，解得，则双曲线的渐近线方程为.
故选：A.
5．如图，在棱长均相等的正三棱柱中，为三棱柱的顶点，为所在棱的中点，设与所成的角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如下图：连接，由为所在棱的中点，则，
故与所成的角的大小也为，即有,
设该正三棱柱棱长为，则，
则，故.
故选：C.
6．若定义在上的函数满足：当时，，的图象关于对称，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数的定义域为，且当时，，
所以在上单调递增.
由的图象关于对称，可得的图象关于对称，
即为偶函数，则，且函数在上单调递减，
于是，不等式可化为(i)或(ii)，
由（i）可得，解得；
由（ii）可得，解得.
故该不等式的解集为.
故选：B.
7．已知抛物线的焦点为，为的准线与轴的交点，，在抛物线上，若为等腰直角三角形，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得,,,
因为为等腰直角三角形,所以.
因为,所以,所以.所以抛物线方程为.
过点作轴的垂线,过点作轴的垂线,两者交于点.
由抛物线定义可知,所以.
所以最小时,取得最小值.
由图易知当为抛物线切线时取最小值,不妨设点在轴下方,
因为,所以.
设点,所以,
因为,所以，所以.
所以.
因为,所以.
即的最小值为,所以的最大值为.
故选：D.
8．记上的可导函数的导函数为，满足（）的数列称为函数的“牛顿数列”．若，数列为牛顿数列，且，，数列的前n项和为，则满足的所有n的和为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．12
【答案】C
【解析】由可得，根据牛顿数列的定义，，
将和代入上式，得，
则数列组成首项为，公比为2的等比数列，故，于是，
则，，则等价于，即，
因为递增数列，且，故满足条件的有4，5两个，它们的和为.
故选：C.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．某单位在定点帮扶贫困村A村的过程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高.村村民年这四年的人均年纯收入（单位：万元）与年份代号之间的一组数据如表所示.若与线性相关，且求得其线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ）
年份 2021 2022 2024 2025
年份代号 4 5 7 8
人均年纯收入 2.1 5.9
A．
B．2030年村人均年纯收入约为7万元
C．预估从2025年起，每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元
D．2025年的人均年纯收入残差值为0.1
【答案】AC
【解析】由表中数据可知，，
线性回归方程为，则，解得，故A正确；
由2030年对应，故2030年村人均年纯收入约为万元，故B错误；
线性回归方程为，直线的斜率为1，则从2025年起，预估每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元，故C正确；
2025年的人均年纯收入残差值为，故D错误.
故选：AC
10．已知函数，使得有三个零点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．a的取值范围为 B．
C．若，则 D．函数在三个零点处的切线斜率的倒数之和为0
【答案】ACD
【解析】对于A，因为有三个零点，得函数至少有两个极值点.
因为，所以有两个不相等的实数根.
所以，解得，所以A正确.
对于B，的两个不相等的实数根为.
由，且关于对称.
∴，与的大小关系不能判断，无法比较大小，所以B错误.
对于C，
，所以，所以，所以C正确.
对于D，由题得，其简图如下：
，
所以，
同理，
故
．所以D正确.
故选：ACD.
11．已知，则下列命题中正确的是 （ ）
A．当时，在上的值域为
B．当时，的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
C．当时，的值域为
D．若存在正偶数，使得对任意恒成立，则
【答案】BCD
【解析】当时，，
因为，所以，
所以，
所以，故A错误；
向左平移个单位长度得到，
化简得，
，
，故B正确；
当时，
，
又，得的值域为，故C正确；
令，得，
因为，，且，
所以，
存在正偶数，使得成立，当时，，
所以只需对任意恒成立，
即对任意恒成立，
由于，
所以，
解得：，故D正确.
故选：BCD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）
12．在中，，，请写出一个的值是 __ ，使得满足条件的三角形恰有两个．
【答案】3(答案不唯一)
【解析】要使三角形有两个解，需满足要使三角形有两个解，需满足：
代入，,得，
所以，.
因此，可以取3(也可取2到4之间的任意数）
13．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点从左下角图示处出发，每次可沿着网格移动1个单位长度，直至到达点时停止移动，则移动的最短路径的条数为______；若点选择移动最短的路径并最终移动到点处，事件：点移动过程中会经过点,事件：点前两次移动均为横向移动，则_________.
【答案】
【解析】点移动到点的最短路径为沿网格共移动5次，其中向上移动两次，向右移动3次，
则不同的条数为从5次中选择两次向上移动，为；
若点选择移动最短的路径并最终移动到点处，即共移动8次，其中向上移动3次，向右移动5次，
事件：点移动过程中会经过点,即前5次向上移动两次，后3次向上移动1次，所以，
事件：点移动过程中会经过点,且点前两次移动均为横向移动，即第3,4,5次移动中向上移动两次，后3次向上移动1次，所以，
由条件概率知.
14．正三棱台的上 下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上 下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为__________.
【答案】
【解析】
如图，上底面边上的中线为，下底面边上的中线为.
根据内切球的性质可知，球与三个平面的切点分别在、、上.
考察截面 .
根据勾股定理易知，，.
圆与相切于,其中 分别为棱台上下底面的中心，为斜高，
因，，
由切线长定理，易得，，则,
上底面面积为，下底面面积为，
因此三棱台的表面积为.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)提分小卷：选择题+填空题
限时训练01（A组+B组）
（考试时间：40分钟 试卷满分：73分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
5．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．在《红楼梦》中，史湘云邀众姐妹和贾宝玉一起作诗.共编写了十首不同的咏菊诗，假设分配贾宝玉作《访菊》《种菊》两首，薛宝钗作《忆菊》、《画菊》两首，剩下六首诗分别由林黛玉、史湘云、探春三人创作，且每人至少创作一首，至多创作三首，则不同的分工方案共有（ ）
A．150种 B．360种 C．450种 D．800种
7．已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点在函数的图像上，若恒成立，且在区间上单调，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．2025年9月20日，四川省城市足球联赛（简称“川超”）开幕式暨揭幕战观众达21448人.为了解各年龄层对“川超”的关注程度，随机选取了200名年龄在［10，50］的观众进行调查，并绘制如下的频率分布直方图，则（ ）
A．
B．该场观众年龄众数的估计值为35
C．该场观众年龄分位数的估计值为36
D．该场观众年龄平均数的估计值为34
10．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线的焦点为，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．与之间的距离为4
11．已知函数的定义域为，导函数为，满足（为自然对数的底数），且，则（ ）
A． B．
C．单调递增 D．在处取得极小值
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）
12．已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为______.
13．柳编技艺在我国已有上千年的历史，如今柳编产品已经选入国家非物质文化遗产名录．如图，若柳条编织的米斗可近似看作上底面圆半径为2，下底面圆半径为1，体积为的圆台，则该圆台的侧面积为 .
14．已知为双曲线的左、右焦点，点在第一象限且在双曲线的渐近线上，为线段与双曲线的交点，且，若，则双曲线的离心率为_____．
（考试时间：60分钟 试卷满分：73分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．若复数，则（ ）
A． B． C． D．
2．集合，集合，若，则（ ）
A．3 B．-3 C． D．9
3．在中，为的中点，则（ ）
A．0 B．16 C．40 D．32
4．陕西历史博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作中的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线：的右支与轴及直线，围成的曲边四边形绕轴旋转一周得到的几何体，如图，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，则此双曲线的渐近线方程为（ ）

A． B． C． D．
5．如图，在棱长均相等的正三棱柱中，为三棱柱的顶点，为所在棱的中点，设与所成的角为，则（ ）
A． B． C． D．
6．若定义在上的函数满足：当时，，的图象关于对称，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线的焦点为，为的准线与轴的交点，，在抛物线上，若为等腰直角三角形，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．记上的可导函数的导函数为，满足（）的数列称为函数的“牛顿数列”．若，数列为牛顿数列，且，，数列的前n项和为，则满足的所有n的和为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．12
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．某单位在定点帮扶贫困村A村的过程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高.村村民年这四年的人均年纯收入（单位：万元）与年份代号之间的一组数据如表所示.若与线性相关，且求得其线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ）
年份 2021 2022 2024 2025
年份代号 4 5 7 8
人均年纯收入 2.1 5.9
A．
B．2030年村人均年纯收入约为7万元
C．预估从2025年起，每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元
D．2025年的人均年纯收入残差值为0.1
10．已知函数，使得有三个零点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．a的取值范围为 B．
C．若，则 D．函数在三个零点处的切线斜率的倒数之和为0
11．已知，则下列命题中正确的是 （ ）
A．当时，在上的值域为
B．当时，的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
C．当时，的值域为
D．若存在正偶数，使得对任意恒成立，则
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）
12．在中，，，请写出一个的值是 __ ，使得满足条件的三角形恰有两个．
13．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点从左下角图示处出发，每次可沿着网格移动1个单位长度，直至到达点时停止移动，则移动的最短路径的条数为______；若点选择移动最短的路径并最终移动到点处，事件：点移动过程中会经过点,事件：点前两次移动均为横向移动，则_________.
14．正三棱台的上 下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上 下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为__________.
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