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限时训练02（A组+B组）
（考试时间：60分钟 试卷满分：73分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．已知是虚数单位，若复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．的展开式中常数项为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，内角所对的边分别是．若，且，则的面积为（ ）
A．3 B．
C． D．
6．某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ）
A．35 B．36
C．42 D．50
7．已知是椭圆的左右焦点，点在直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知正实数，满足，则的大小关系不可能的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．数列是公差为2的等差数列
10．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于A，B两点，点A在第一象限，过点A，B作C的准线的垂线，垂足分别为，，则（ ）
A．的方程为 B．为正三角形
C． D．的面积为
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的图象关于点中心对称
B．若曲线的图象向左移动个单位后关于轴对称，则的最小值为2
C．若，则在单调递增
D．若在上恰有三个零点，则
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）
12．已知向量，满足，且，，则________．
13．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，，为圆锥的母线，，且二面角为.若的面积等于，则圆锥的体积为______.
14．若函数有两个极值，则实数的取值范围为__________.
（考试时间：60分钟 试卷满分：73分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．已知命题，；命题，，则（ ）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
2．若（）为纯虚数，则（ ）
A． B．2
C． D．4
3．已知等比数列与等差数列，满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足，则点集所表示的区域的面积是（ ）
A．8 B．
C．4 D．
5．已知随机变量，且，则当时，的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
6．世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张 小赵 小李 小罗 小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译 安保 礼仪 服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）种.
A．120 B．60
C．24 D．36
7．我们曾学习过碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730年衰减为原来的一半），即经过年后，碳14的含量（为碳14的初始含量，为常数），则碳14含量由原来的衰减为大约需要经过（ ）（参考数据：）
A．2292年 B．2456年
C．2674年 D．2838年
8．已知函数的定义域为，，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．函数是奇函数 D．函数是偶函数
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9．下列说法正确的有（ ）
A．已知，若，则
B．若样本数据的方差为1，则数据的方差为2
C．已知样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则
D．若，是两个随机事件，，，，则
10．在中，三个内角所对的边分别为，若，，的面积为1，则（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在棱长为2的正方体中，点是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点是棱的中点，则以下结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积是定值
B．存在点，使得平面
C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
D．若平面，则点的轨迹长度为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）
12．设等差数列，的前项和分别为，，，则________．
13．求值：___________．
14．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为，若该圆台上下底面的圆周均在同一个球的球面上，则此球的表面积为_________________．
所以该球的表面积.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)限时训练02（A组+B组）
（考试时间：60分钟 试卷满分：73分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．已知是虚数单位，若复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】先利用复数的除法，求出复数，再求共轭复数，然后判定所在象限.
【详解】由题意知，，则，
故复数在复平面内对应的点为，在第四象限.
2．集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】解出集合，中的元素，再由集合的并运算即可求解.
【详解】因为，所以，
因为，所以，即，
所以，
所以.
3．已知直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件，必要条件的定义，结合两条直线平行的条件即可求出答案.
【详解】当，直线，此时，故“”是“”的充分条件，
由，得，解得，故“”是“”的必要条件，
故“”是“”的充要条件.
故选：C.
4．的展开式中常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】二项展开式的通项公式为，
整理得：，
令，解得：，
展开式中常数项为：.
5．在中，内角所对的边分别是．若，且，则的面积为（ ）
A．3 B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据正弦定理化角为边，然后根据余弦定理求出，然后根据向量的数量积定义求出，最后根据三角形面积公式求出结果.
【详解】根据正弦定理得，化简得.
根据余弦定理知，，所以.
因为，所以.
因为，所以，解得，
所以的面积为.
故选：D.
6．某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ）
A．35 B．36
C．42 D．50
【答案】D
【分析】以舱的人数为分类依据，将5人分配到A、B、C三个舱中，分别计算各类分组与排列的方法数，最后求和得到总安排数.
【详解】有四类不同的安排情形：
①甲单独在舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在舱，
有种不同的安排方法；
②甲单独在舱，其余四人平均分成两组每组人，安排在舱，
有种不同的安排方法；
③舱安排人，其余三人分成两组，一组人，一组人，安排在舱，
有种不同的安排方法；
④舱安排人，其余二人分成两组，安排在舱，
有种不同的安排方法；
综上，不同的安排方法共有种.
【点睛】本题是分类加法计数原理+分组分配问题，核心方法是按特殊元素或位置分类，结合均匀或不均匀分组与排列计算.
7．已知是椭圆的左右焦点，点在直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】结合图像，得到，再在中，求得，从而得到，代入直线的方程可得到，由此可求得椭圆的离心率.
【详解】由题意知，
由为等腰三角形，且，得，
过作垂直轴于，如图所示，
则在中，，故，
，
所以，即，代入直线的方程，
得，即，所以所求的椭圆离心率为.
故选：B.
8．已知正实数，满足，则的大小关系不可能的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】令，因为，所以，所以，所以，所以，选项与此矛盾.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．数列是公差为2的等差数列
【答案】AC
【分析】利用等比数列性质求得，然后结合求得，再求出公比后可得通项公式及前项和，然后判断各选项．
【详解】选项A，由等比数列性质得，由，解得或，
若，则，不合题意，
若，则，满足题意，A正确；
选项B，由选项A得，，
等比数列的通项公式应为形式，因此不是等比数列，B错；
选项C，由选项B得，，C正确；
选项D，由上知，，
，所以数列是公差为的等差数列，D错．
10．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于A，B两点，点A在第一象限，过点A，B作C的准线的垂线，垂足分别为，，则（ ）
A．的方程为 B．为正三角形
C． D．的面积为
【答案】ABD
【详解】抛物线的焦点在直线上，则，解得，
对于A，抛物线的准线l的方程为，A正确；
对于B，由，解得或，，
，为正三角形，B正确；
对于C，由选项B得，，，C错误；
对于D，点到直线的距离，，，D正确.
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的图象关于点中心对称
B．若曲线的图象向左移动个单位后关于轴对称，则的最小值为2
C．若，则在单调递增
D．若在上恰有三个零点，则
【答案】ABD
【分析】根据整体法，结合正弦函数的性质即可判断ACD，根据函数图像平移的性质即可判断B.
【详解】对于A,，令，
当，对称中心为,A选项正确．
对于B，将的图象向左移动个单位得到，
若的图像关于轴对称，则．
又因为，则的最小值为B选项正确．
对于C．，
令，，
即的单调递增区间为，
当时，，又因为C选项错误．
对于D．，因为在上恰有三个零点，
所以D选项正确．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）
12．已知向量，满足，且，，则________．
【答案】1
【分析】根据题意求模先平方再开方计算得到，再根据模长关系运算求解.
【详解】∵，∴，
又∵，，∴，∴，
∴．
故答案为：.
13．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，，为圆锥的母线，，且二面角为.若的面积等于，则圆锥的体积为______.
【答案】
【分析】作，垂足为，则为的中点，根据二面角的定义得到为二面角的平面角，设，由的面积建立的等式得到的值，从而得到圆锥的高的值，底面圆的半径的值，求出圆的面积，利用圆锥的体积公式求出体积.
【详解】如图，作，垂足为，则为的中点，
，，为二面角的平面角，
二面角为，，
在等腰三角形中，，
设，则，，
则，
，
的面积等于，解得，
则，，
圆的面积为，
圆锥的体积为.
故答案为：.
14．若函数有两个极值，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【分析】先确定函数的定义域，再求出函数的导数，根据导数与极值点关系计算即可.
【详解】函数的定义域为，
，
函数在有两个极值，
在有两个不相等的实数根，
即在有两个不相等的实数根，
令，对称轴为，
要使在有两个不相等的实数根，
则需满足，解得，
综上，实数的取值范围为.
（考试时间：60分钟 试卷满分：73分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．已知命题，；命题，，则（ ）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
【答案】B
【详解】当时，不成立，所以命题是假命题，是真命题；
根据指数函数和对数函数的图象可知，函数与在上有一个交点，
则，，即命题是真命题，是假命题.
2．若（）为纯虚数，则（ ）
A． B．2
C． D．4
【答案】D
【详解】，
因为为纯虚数，
所以，且，
所以.
3．已知等比数列与等差数列，满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】借助等比数列与等差数列性质计算可得、，再计算余弦即可得解.
【详解】设等比数列的公比为，
由，得，则，
设等差数列的公差为，
由，得，则，
所以．
4．在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足，则点集所表示的区域的面积是（ ）
A．8 B．
C．4 D．
【答案】D
【分析】根据题意，求得是等边三角形，不妨设，，且，求得，结合，确定区域形状，进而求得其面积.
【详解】由题意知，可得，
因为，所以，所以是等边三角形，
不妨设，，且
因为，可得，
即，所以，解得，
又，则，画出如下图形，
则平行四边形及其内部即为点集所表示的区域，
由可得，
由可得，
由可得，
所以，
点到直线的距离
所以平行四边形的面积为，
即点集所表示的区域的面积是.
5．已知随机变量，且，则当时，的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用正态分布的对称性，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】根据题意，随机变量，且，则有，解得.由，即，
所以，当且仅当，即时取等号.
6．世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张 小赵 小李 小罗 小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译 安保 礼仪 服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）种.
A．120 B．60
C．24 D．36
【答案】D
【分析】根据题意，小张和小赵只能从事前两项工作，由此分为2种情况讨论，结合排列组合，即可求解.
【详解】根据题意可分为2种情况讨论：
（i）若小张或小赵只有一人入选，则有种不同的选派方案；
（ii）若小张，小赵都入选则有种不同的选派方案，
综上可得，共有种不同的选派方案.
故选：D
7．我们曾学习过碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730年衰减为原来的一半），即经过年后，碳14的含量（为碳14的初始含量，为常数），则碳14含量由原来的衰减为大约需要经过（ ）（参考数据：）
A．2292年 B．2456年
C．2674年 D．2838年
【答案】B
【分析】利用半衰期的意义求出，再利用给定的模型列出方程组，结合对数运算求解即得.
【详解】依题意，当时，，即，解得，
设经过年碳14含量衰减为原来的，经过年碳14含量衰减为原来的，
则，即，所以
.
故选：B
8．已知函数的定义域为，，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．函数是奇函数 D．函数是偶函数
【答案】C
【分析】令求出可判断A，令可得，利用等差数列的求和公式求和后可判断B，求出后令，结合B中分析可得，据此可判断CD的正误.
【详解】对于A，令，则，故，故A错误；
对于B，令，则，
所以，故为等差数列，首项为零，公差为，
故，故B错误；
对于C，因为，，故，
故，同理，
在中令，
则，由B的分析可得，
所以，所以，
所以，所以，
所以函数是奇函数，故C正确；
对于D，由C的分析可得即，
故函数是奇函数，故D错误.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9．下列说法正确的有（ ）
A．已知，若，则
B．若样本数据的方差为1，则数据的方差为2
C．已知样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则
D．若，是两个随机事件，，，，则
【答案】ACD
【分析】对于A，根据正态分布的对称性即可求解；对于B，根据方差性质即可求解；对于C，根据残差的定义列等式变形即可；对于D，根据条件概率公式即可求解．
【详解】对于A，，
，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，样本点的残差为，
样本点的残差为，
由残差相等可得，可得，故C正确；
对于D，，，
，，故D正确．
10．在中，三个内角所对的边分别为，若，，的面积为1，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】由及结合降幂公式、和差化积公式得到，即可判断C；进而得到即可判断B；再结合及三角形的面积公式可求解判断A；结合求出，再结合正弦定理求解判断即可.
【详解】由知，，
化简可得，
根据和差化积公式可得：，
则，即，
由知，，
所以，即，故C正确；
由，得：，所以，故B不正确；
在中，由，知，故A正确；
由知，，
又，则，又，
由正弦定理得，，故D不正确.
11．如图，在棱长为2的正方体中，点是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点是棱的中点，则以下结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积是定值
B．存在点，使得平面
C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
D．若平面，则点的轨迹长度为
【答案】ACD
【分析】由等体积法可判断A，建系，由向量法逐项判断BCD.
【详解】对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
是定值，A正确；
以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
对于B，设，则，
若存在点，使得平面，则，
解得：不符合，故不存在点，使得平面，故B错误，
对于C，，易知平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，则，
因为，所以，
所以，所以，
即直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，故C正确；
对于D，，
则，
所以，又平面，
所以平面，若平面，则，
即，即，则，
即，如下图：取正方体的上底面，建立平面直角坐标系，
设直线与交于，线段（不包括端点）即为点的轨迹，
由直线方程为，直线方程为，可得，则
故D正确，
故选：ACD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）
12．设等差数列，的前项和分别为，，，则________．
【答案】
【分析】利用等差数列的性质以及等差数列的前项和公式，将转化为，求解即可.
【详解】因为等差数列，的前项和分别为，且，
所以．
故答案为：.
13．求值：___________．
【答案】
【详解】
.
14．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为，若该圆台上下底面的圆周均在同一个球的球面上，则此球的表面积为_________________．
【答案】
【分析】设圆台的上下底面圆心分别为，球心为，设，由球的性质可列方程，求出半径后再由球的表面积公式即可得解.
【详解】设圆台的上下底面圆心分别为，球心为，
在上下底面圆周上分别取点为，连接，如图，
因为圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为，
所以，，
设，则，所以，
所以，解得，所以该球的半径，
所以该球的表面积.
故答案为：.
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