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2024级高二（下）数学期中复习
专题一 二项式定理
一、单选题
1．下列选项中与最接近的数为（ ）
A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15
2．的展开式中，的系数是（ ）
A．－2 B．2 C．12 D．16
3．设总项数为9的数列满足，从中任取2项，这两项均为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．已知，则下列描述正确的是（ ）
A．
B．的展开式中，所有含的偶数次项的二项式系数和为
C．被7整除所得的余数是4
D．
5．已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有( )
A．
B．展开式中常数项为160
C．展开式系数的绝对值的和1458
D．若r为偶数，则展开式中和的系数相等
6．若，则
A． B．
C． D．
三、填空题
7．若，求__________．
8．二项式的展开式中，所有有理项系数为有理数，x的次数为整数的项的系数之和为_______；把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法共有__________种．用数字作答
9．已知R，其中是关于x的多项式，则__________；
若，则除以81的余数为__________．
四、解答题
10．已知二项式 的展开式中， ． 给出下列条件：
①第二项与第三项的二项式系数之比是； ②各项二项式系数之和为512； ③第7项为常数项；
从上面三个条件中选择一个合适的条件补充在上面的横线上，并完成下列问题．
（1）求实数的值；
（2）展开式中系数最大的项；
（3）求的展开式中的常数项．
11．设函数，
（1）①当时，求的展开式中二项式系数最大的项；
②若，且，求；
（2）利用二项式定理求的值
12．（1）求被20除所得的余数；
（2）设，其中，求的值；
（3）求证：.
（4）证明：；
2024级高二（下）数学期中复习
专题一 二项式定理
命题：周康新 做题：徐卫东 审核：严振君
一、单选题
1．下列选项中与最接近的数为（ ）
A．1．12 B．1．13 C．1．14 D．1．15
【答案】B
【详解】
从选项可知精确到0．01即可．
所以原式．
2．的展开式中，的系数是（ ）
A．－2 B．2 C．12 D．16
【答案】B
【分析】从个因式中，个因式选择，个因式选择常数相乘即可得到含的项，即可得解．
【详解】在中，
个因式选择，个因式选择常数即可得到含的项，故的系数．
故选：B
3．设总项数为9的数列满足，从中任取2项，这两项均为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0．4
【分析】先写出二项式的通项公式，依题意中的项对应于的系数，推得中含有因子2，该项即为偶数，分析得到中为偶数的项有8个，而为奇数的有1个，借助于古典概型概率公式和组合数公式计算即得．
【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为，其中，，
由题意，中的项对应于的系数．而通项中的系数为，故只要中含有因子2，该项即为偶数．
当时，即时，是偶数，故该项系数为偶数．此时可取，共8项．
当时，即时，．此时，是奇数．
综上所述，数列共9项，其中8项为偶数，1项为奇数．
故从9项中任取2项的总取法数为，取出的2项均为偶数的取法数为，
由古典概型概率公式，可得所求概率为．
故选：C．
二、多选题
4．已知，则下列描述正确的是（ ）
A．
B．的展开式中，所有含的偶数次项的二项式系数和为
C．被7整除所得的余数是4
D．
【答案】ABC
【分析】利用赋值法判断A；根据所有含的奇数次项的二项式系数和与所有含的偶数次项的二项式系数和相等，可判断B；根据被7整除得余数，可判断C；对两边求导，再赋值即可判断D．
【详解】对于A，令，
得，
令，得，
故，A正确；
对于B，所有含的奇数次项的二项式系数和，
与所有含的偶数次项的二项式系数和相等，都为，故B正确；
对于C，，
故只需考虑被7整除得余数，
因为，
被7整除的余数为4，故C正确；
对于D，，
两边求导得，
再令，得，故D错误．
5．已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有( )
A．
B．展开式中常数项为160
C．展开式系数的绝对值的和1458
D．若r为偶数，则展开式中和的系数相等
【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题．
由题意令，可得a的值；二项式展开，分析可得结论．
【解答】
解：令，可得的展开式中各项系数的和为，，故A正确；
，故展开式中常数项为，故B不正确；
的展开式中各项系数绝对值的和，即项的各系数和，为，故C正确；
根据，
可得若r为偶数，则展开式中和的系数相等，故D正确，
故选：
6．若，则
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查二项式定理，利用二项式定理求特定项的系数，考查计算能力，属于较难题，
令，可判断A，根据展开式特点可判断B，求导令，可判断C； ， 展开式中含 项的系数为 ，进而可判断
【解答】解：令，得 ，所以A正确;
的展开式中，不存在x的次数为奇次幂的项，所以B正确;
因为 ，
等式两边同时求导得，
令，得，
即，所以C错误;
因为 ，
因为 展开式中含 项的系数为 ，
展开式中含 项的系数为 ，所以D正确．
三、填空题
7．若，求__________．
【答案】
【难度】0．85
【详解】令，
又，
，
故．
8．二项式的展开式中，所有有理项系数为有理数，x的次数为整数的项的系数之和为 ；把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法共有 种．用数字作答
【答案】 ； 144
【解析】【分析】
本题主要考查二项式定理和排列组合．
先求出通项公式，再从中找出有理项，求出系数之和，不相邻问题用插空法．
【解答】
解：因为二项式的展开式的通项为，
因为，所以，
故所有有理项的系数之和为： ；
展开式中有4项有理项，把展开式中的项重新排列，有理项不相邻的排法为：
第一步，3项非有理项的全排列有种排法，
第二步，在4个空中插入4项有理项，有种排法，
所以有理项互不相邻的排法共有： 种．
9．已知R，其中是关于x的多项式，则 ：若，则除以81的余数为 ．
【答案】 ； 32
【解析】【分析】
本题考查二项式定理的应用，属于中档题．
利用，展开求出a，b，即可得的值;由，展开，即可求余数．
【解答】
解：因为，
所以，
所以，，所以
若，即，则，
所以
，
故所求的余数为
故答案为：
四、解答题
10．已知二项式 的展开式中， ． 给出下列条件：
①第二项与第三项的二项式系数之比是； ②各项二项式系数之和为512； ③第7项为常数项；
从上面三个条件中选择一个合适的条件补充在上面的横线上，并完成下列问题．
（1）求实数的值；
（2）展开式中系数最大的项；
（3）求的展开式中的常数项．
【答案】（1）选择见解析，
（2）或
（3）
【难度】0．65
【分析】（1）先看条件①②③分别可以得到什么结果，然后分别选取求解即可；
（2）由（1）知，利用二项式系数的性质，即可求解；
（3）根据（1）知，然后将前面括号打开，利用二项式 展开式的通项公式为分别求常数项计算即可．
【详解】（1）因为二项式 展开式的通项公式为，
选①，由题知，解得，
选②，令，得到，解得，
选③，由题知，解得．
（2）由（1）知，所以二项式系数最大的项为第项或第项，
又二项式 展开式的通项公式为，
所以展开式中二项式系数最大的项为或．
（3）由（1）知，又，
因为展开式的通项公式为，
由，得到，由，得到，
所以的展开式中的常数项为．
11．设函数，
（1）①当时，求的展开式中二项式系数最大的项；
②若，且，求；
（2）利用二项式定理求的值
【答案】解：①当时，的展开式中共有5项，二项式系数最大的项为第三项，
；
②且，解得，，
的通项公式为
，且，
的系数为，解得；
的通项公式为，
，，1，2，，6；

，
设①，
①式两边求导得：
②；
②的两边同乘x得：
③；
③式两边求导得：
④；
④中令，得
即

【解析】本题考查了二项式定理的展开式应用问题，也考查了函数的导数应用问题，考查了赋值法求值问题，是综合性题目．
①时，的展开式中二项式系数最大的项为第三项，求出即可；②由二项式的展开式的通项公式，结合题意求出m的值即可求解；
根据题意，运用组合数的性质以及二项式定理和求导，再利用赋值法即可求得结果．
12．（1）求被20除所得的余数；
（2）设，其中，求的值；
（3）求证：.
（4）证明：；
【答案】（1）9
由知，
因为a，，
所以
因此
（3），且，
展开后至少有4项．
…，
故
专题一 二项式定理 第10页，共10页
专题一 二项式定理 第1页，共10页2024级高二（下）数学期中复习
专题一 二项式定理
一、单选题
1．下列选项中与最接近的数为（ ）
A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15
2．的展开式中，的系数是（ ）
A．－2 B．2 C．12 D．16
3．设总项数为9的数列满足，从中任取2项，这两项均为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．已知，则下列描述正确的是（ ）
A．
B．的展开式中，所有含的偶数次项的二项式系数和为
C．被7整除所得的余数是4
D．
5．已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有( )
A．
B．展开式中常数项为160
C．展开式系数的绝对值的和1458
D．若r为偶数，则展开式中和的系数相等
6．若，则
A． B．
C． D．
三、填空题
7．若，求__________．
8．二项式的展开式中，所有有理项系数为有理数，x的次数为整数的项的系数之和为_______；把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法共有__________种．用数字作答
9．已知R，其中是关于x的多项式，则__________；
若，则除以81的余数为__________．
四、解答题
10．已知二项式 的展开式中， ． 给出下列条件：
①第二项与第三项的二项式系数之比是； ②各项二项式系数之和为512； ③第7项为常数项；
从上面三个条件中选择一个合适的条件补充在上面的横线上，并完成下列问题．
（1）求实数的值；
（2）展开式中系数最大的项；
（3）求的展开式中的常数项．
11．设函数，
（1）①当时，求的展开式中二项式系数最大的项；
②若，且，求；
（2）利用二项式定理求的值
12．（1）求被20除所得的余数；
（2）设，其中，求的值；
（3）求证：.
（4）证明：；
专题一 二项式定理 第4页，共4页
专题一 二项式定理 第1页，共4页

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