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2024级高二（下）数学期中复习
专题二 随机变量及其分布
一、单选题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．冯老师教高二4班和5班两个班的数学，这两个班的人数相等．某次联考中，这两个班的数学成绩均近似服从正态分布，其正态密度函数的图像如图所示，其中是正态分布的期望，是正态分布的标准差，且，，关于这次数学考试成绩，下列结论正确的是（ ）
A．4班的平均分比5班的平均分高
B．相对于5班，4班学生的数学成绩更分散
C．4班108分以上的人数约占该班总人数的
D．5班112分以上的人数与4班108分以上的人数大致相等
【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了正态分布的性质和概率的求法，是中档题．
结合正态分布的特征对选项一一判断即可．
【解答】
解：由题意结合正态分布的密度曲线可得4班的数学平均成绩为98，5班的数学平均成绩为100，故A错误，
由图象可得4班的数学成绩的标准差为5，5班的数学成绩的标准差为6，相对于5班，本次考试中4班不同层次学生的成绩更稳定，故B错误，
4班108分以上的人数约占该班总人数的概率为，故C错误，
5班112分以上的人数约占该班总人数的概率为，
又这两个班的人数相等，所以5班112分以上的人数与4班108分以上的人数相等，故D正确，
故选：
2．某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一节课，则数学不排第一节，物理不排最后一节的情况下，化学排第四节的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查条件概率的概念与计算，古典概型及其计算，排列与组合的综合应用，属于中档题．
设事件A：数学不排第一节，物理不排最后一节，设事件B：化学排第四节，分别求出，，然后利用条件概率公式计算即得所求．
【解答】
解：设事件A：数学不排第一节，物理不排最后一节；事件B：化学排第四节．
对于事件A：物理排在第一节时，共有种排法；
物理不排在第一节时，共有种排法．
对于事件A，B同时发生时，共有种排法，
故，，
故数学不排第一节，物理不排最后一节的情况下，化学排第四节的概率是：
故选：
3．通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检．单检，是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测；混检，是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本．混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等．调查研究显示，在群体总阳性率较低低于时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本．根据流行病学调查结果显示，某城市居民感染新冠病毒的概率为若对该城市全体居民进行核酸检测，记采用“10合1”混检方式共需检测X次，采用“5合1”混检方式共需检测Y次，已知当时，N，据此计算的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查期望计算，属于较难题．
分别求出进行10合1混检和采用5合1混检每个个体平均检测，即可求出比值．
【解答】
解：由于一个城市的总人口数很大，而总体阳性率较低，
所以我们可以认为阳性个体均匀分布，
若进行10合1混检，对任意一个10人组进行检测，总检测次数有两种结果：1次和11次，
概率分别为和，
故这10人组检测次数的期望为，
相当于每个个体平均检测次，
同理，采用5合1混检，每个个体平均检测次，
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
4．甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件B为“取出的两球都是红球”，事件C为“取出的两球为一红一白”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】由题意知，，，，，，，故选
5．某次数学考试，多选题计分标准如下：①每小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；②部分选对得部分分若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分若每道多选题有两个或三个正确选项等可能，在完成某道多选题时，甲同学在选定了一个正确选项后又在余下的三个选项中随机选择1个选项，乙同学在排除了一个错误选项后又在余下的三个选项中随机选择2个选项，若甲、乙两位同学的得分分别记为X和Y，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】，，，则X的分布列为
X 0 4 6
P
由此可得，，，，则Y的分布列为
Y 0 4 6
P
由此可得，故A，D正确，B，C错误．
6．一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球1个，黑球2个，则下列选项正确的有（ ）
A．从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望
B．每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的黑球次数为，则数学期望
C．从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望
D．每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的黑球的个数为Y，则数学期望
【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查了古典概型和离散型随机变量的期望，属于较难题．
对选项A，的可能取值为0，1，2，3，求出概率，再由公式求得；对选项B，，再由二项分布的期望公式求得；对选项C，X的可能取值为1，2，3，求出概率，再由公式求得；对选项D，Y的可能取值为0，1，2，求出概率，再由公式求得
【解答】
解：对选项A，从该口袋中任取3个球，取出的红球个数的可能取值为0，1，2，3，
则，，，，则，故A正确；
对选项B，每次从该口袋中任取一个球，是黑球的概率为，则取出的黑球次数为，则数学期望，故B正确;
对选项C，从该口袋中任取3个球，取出的球的颜色有X种，X的可能取值为1，2，3，则，，则，则，故C错误；
对选项D，每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，拿出黑球的个数Y的可能取值为0，1，2，则，，，则，故D正确；
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
7．已知某家族有A、B两种遗传性状，该家族某位成员出现A性状的概率为，出现B性状的概率为，A、B两种遗传性状都不出现的概率为则该成员在出现A性状的条件下，出现B性状的概率为___________．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查条件概率的概念与计算，属于中档题．
首先需要定义事件，根据题意得出和，利用概率公式计算出，最后根据条件概率公式计算即可．
【解答】
解：记事件A为该家族某位成员出现A性状，事件B为该家族某位成员出现B性状，由题意得：
，，又，
则，且，
则，因此，
则
故答案为：
8．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数，其中A的各位数字中，，出现0的概率为，出现1的概率为若启动一次出现的数字为，则称这次试验成功．若成功一次得2分，失败一次得分，则81次这样的重复试验的总得分X的方差为___________．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查相互独立事件同时发生的概率，二项分布及方差，考查计算能力，属于中档题．
根据相互独立事件同时发生的概率得出启动一次出现的数字为的概率，设100次重复试验中成功次，，由二项分布的方差公式得出，结合，计算即可．
【解答】
解：启动一次出现的数字为的概率
设100次重复试验中成功次，则，
所以的方差
得分，
所以
故答案为：
9．甲、乙两人玩游戏，规则如下：第局，甲赢的概率为第局，乙赢的概率为每一局没有平局．规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多两次时游戏结束．则游戏结束时，甲、乙两人玩的局数的数学期望为 ．
【答案】
【解析】解：设甲、乙两人玩的局数为，其数学期望为，
由题设，游戏至少进行两局，
若，则比分为，且，
否则前两局的比分为，从此刻开始知道游戏结束，进行的局数的期望跟比分为时相同，总局数的期望为，故，故，故答案为：
四、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
10．2019年新中国成立70周年之际，某地的相关部门随机选取了该地的100名市民调查他们更倾向于以何种方式欢庆佳节，以便更好组织庆祝活动，将他们的年龄分成6段：…，，并绘制了如图所示的频率分布直方图．
（1）现从年龄在内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X表示年龄在内的人数，求X的分布列和数学期望；
（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有k名市民的年龄在的概率为…，当最大时，求k的值．
【答案】解：的频率，
的频率，
的频率，
比值为1：2：5，
8人中，按分层抽样的结果：各段人数分别为1，2，
之间的人数有2人，
从8人中随机抽取3人，，1，
，，，
分布列为：
X 0 1 2
P
设在抽取的20名市民中，年龄在内的人数为Y，Y服从二项分布．由频率分布直方图可知，年龄在内的频率为，所以，
所以…，
设…，，
若，则，；
若，则，
所以当时，最大，即当最大时，
【解析】本题考查频率直方图，分层抽样，有样本估计总体和离散型随机变量的分布列，二项分布及二项分布项的最值问题，属于拔高题．
比值为1：2：5，8人中，按分层抽样的结果：各段人数分别为1，2，之间的人数有2人，从8人中随机抽取3人，，1，然后分别计算求解；
样本在之间的频率为，用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，任一名被查者年龄在之间的概率都是，其中有k名市民的年龄在的概率为，然后利用比值方法判定单调性，进而求得最大值时k的值．
11．某学校组织学科创新能力知识竞赛，参赛选手随机从三类问题中各抽取一个问题回答，类问题回答正确的得分依次是2分、3分、5分，回答错误得0分.已知甲同学能正确回答类问题的概率依次为，乙同学能正确回答类问题的概率都为，总分最高的选手获胜，且甲、乙同学能正确回答问题的概率与顺序无关.
(1)求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率；
(2)记为甲同学的总得分，求的分布列及期望；
(3)已知乙同学在比赛中获胜，求甲同学的总得分不低于5分的概率.
【答案】(1)
(2)
0 2 3 5 7 8 10
期望为
(3)
【分析】（1）根据条件，利用互斥事件和相互独立事件的概率公式，即可求解；
（2）根据条件，求出可能的取值及相应的概率，即可得分布列，再由期望的计算公式，即可求解；
（3）先求出乙同学的总得分的可能取值及相应的概率，设事件表示乙获胜，事件表示甲的总分不低于5分，利用相互独立事件同时发生的概率公式求出，再由条件概率公式，即可求解.
【详解】（1）设事件D表示乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确，
.
（2）可能的取值有,
所以的分布列为：
0 2 3 5 7 8 10
（3）记为乙同学的总得分，可能的取值有，
则,，，
，，
，
设事件表示乙获胜，事件表示甲的总分不低于5分，
法一：因为，
则.
法二：，
，
12．现有外表相同，编号依次为1，2，3，，的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有k个红球，个白球．随机选择其中一个袋子，并从中依次不放回取出三个球．
（1）当时，
①假设已知选中的恰为2号袋子，求第三次取出的是白球的概率;
②求在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率;
（2）记第三次取到白球的概率为p，证明：
【答案】解：①记“已知选中的恰为2号袋子，第三次取出的是白球”为事件A，
则，故已知选中的恰为2号袋子，第三次取出的是白球的概率为；
②记“选中的是第k个袋子”为事件，则两两互斥，且，
记“第三次取出的是白球”为事件C，
则，
，
，
，
所以在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率为
，
故在第三次取出的是白球的条件下，恰好选中的是3号袋子的概率为；
证明：记“选中的是第k个袋子”为事件，
则两两互斥，且
记“第三次取出的是白球”为事件C，则，
所以
，得证．
【解析】本题考查古典概型，条件概率及全概率公式，等差数列的求和公式，属于难题．
①记“已知选中的恰为2号袋子，第三次取出的是白球”为事件A，
则，即可求解；
②记“选的是第k个袋子”为事件，两两互斥，且，记“第三次取出的是白球”为事件C，根据，
即可求解；
记“选中的是第k个袋子”为事件，两两互斥，且，记“第三次取出的是白球”为事件C，可得，根据等差数列的求和公式即可证明．
13．在电竞比赛中一般采用“双败淘汰制”，这是一种兼顾效率与公平的比赛赛制，基本原则是“失败2次才被淘汰”“越先淘汰所获名次越低”，且每场比赛只有胜负之分．现组织A，B，C，D共4个电竞队参加比赛，采用“双败淘汰制”，其流程如下：
第一轮：抽签随机分成2组比赛，每组比赛的胜者进入胜者组，败者进入败者组．第二轮：胜者组、败者组分别比赛，胜者组的胜者记为进入决赛，败者组的败者因失败2次被淘汰并获得第4名．第三轮：第二轮胜者组的败者与败者组的胜者比赛，胜者记为进入决赛，败者被淘汰并获得第3名．第四轮：决赛，若W获胜则比赛结束，W获得冠军，L获得第2名;若L获胜，则需加赛一场，加赛胜者获得冠军，败者获得第2名．
已知A队战胜其他3支队伍的概率均为
（1）求A队全胜夺冠的概率;
（2）设A队在整个赛事中参赛场次为随机变量X，求X的分布列及数学期望
【答案】解：若求A队全胜夺冠的概率，则A队全胜夺冠需满足：
第一轮：A队赢所在组比赛；
第二轮：胜者组比赛A队赢另一组胜者；
决赛：A队赢阶段3的胜者，
由于非A队间比赛结果不影响A队的胜率，总概率为各阶段胜率的乘积：
所以A队全胜夺冠的概率
的可能取值为2，3，4，5
当时，即A队第一轮输，第二轮在败者组中输，被淘汰，
；
当时，有3种情况：
第1种：A队第一轮赢、第二轮在胜者组中输、第三轮输；
第2种：A队第一轮输、第二轮在败者组中赢、第三轮输；
第3种：A队第一轮赢、第二轮赢、决赛赢，
；
当时，有3种情况：
第1种：A队第一轮赢、第二轮赢、决赛输，需加赛且加赛不论输赢；
第2种：A队第一轮赢、第二轮输、第三轮赢、决赛输；
第3种：A队第一轮输、第二轮赢、第三轮赢、决赛输，
；
当时：A队进入决赛且决赛赢且需加赛，有2种情况：
第1种：第一轮赢、第二轮输、第三轮赢、决赛赢；
第2种：第一轮输、第二轮赢、第三轮赢、决赛赢，
，
故X的分布列为：
X 2 3 4 5
P
的数学期望
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
专题二 随机变量及其分布 第1页，共9页2024级高二（下）数学期中复习
专题二 随机变量及其分布
命题：瞿红梅 做题：徐卫东 审核：严振君
一、单选题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．冯老师教高二4班和5班两个班的数学，这两个班的人数相等．某次联考中，这两个班的数学成绩均近似服从正态分布，其正态密度函数的图像如图所示，其中是正态分布的期望，是正态分布的标准差，且，，关于这次数学考试成绩，下列结论正确的是（ ）
A．4班的平均分比5班的平均分高
B．相对于5班，4班学生的数学成绩更分散
C．4班108分以上的人数约占该班总人数的
D．5班112分以上的人数与4班108分以上的人数大致相等
2．某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一节课，则数学不排第一节，物理不排最后一节的情况下，化学排第四节的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检．单检，是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测；混检，是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本．混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等．调查研究显示，在群体总阳性率较低低于时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本．根据流行病学调查结果显示，某城市居民感染新冠病毒的概率为若对该城市全体居民进行核酸检测，记采用“10合1”混检方式共需检测X次，采用“5合1”混检方式共需检测Y次，已知当时，N，据此计算的近似值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
4．甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件B为“取出的两球都是红球”，事件C为“取出的两球为一红一白”，则（ ）
A． B． C． D．
5．某次数学考试，多选题计分标准如下：①每小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；②部分选对得部分分若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分若每道多选题有两个或三个正确选项等可能，在完成某道多选题时，甲同学在选定了一个正确选项后又在余下的三个选项中随机选择1个选项，乙同学在排除了一个错误选项后又在余下的三个选项中随机选择2个选项，若甲、乙两位同学的得分分别记为X和Y，则（ ）
A． B．
C． D．
6．一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球1个，黑球2个，则下列选项正确的有（ ）
A．从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望
B．每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的黑球次数为，则数学期望
C．从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望
D．每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的黑球的个数为Y，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
7．已知某家族有A、B两种遗传性状，该家族某位成员出现A性状的概率为，出现B性状的概率为，A、B两种遗传性状都不出现的概率为则该成员在出现A性状的条件下，出现B性状的概率为___________．
8．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数，其中A的各位数字中，，出现0的概率为，出现1的概率为若启动一次出现的数字为，则称这次试验成功．若成功一次得2分，失败一次得分，则81次这样的重复试验的总得分X的方差为__________．
9．甲、乙两人玩游戏，规则如下：第局，甲赢的概率为第局，乙赢的概率为每一局没有平局．规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多两次时游戏结束．则游戏结束时，甲、乙两人玩的局数的数学期望为 ___________。
四、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
10．2019年新中国成立70周年之际，某地的相关部门随机选取了该地的100名市民调查他们更倾向于以何种方式欢庆佳节，以便更好组织庆祝活动，将他们的年龄分成6段：…，，并绘制了如图所示的频率分布直方图．
（1）现从年龄在内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X表示年龄在内的人数，求X的分布列和数学期望；
（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有k名市民的年龄在的概率为…，当最大时，求k的值．
11．某学校组织学科创新能力知识竞赛，参赛选手随机从三类问题中各抽取一个问题回答，类问题回答正确的得分依次是2分、3分、5分，回答错误得0分.已知甲同学能正确回答类问题的概率依次为，乙同学能正确回答类问题的概率都为，总分最高的选手获胜，且甲、乙同学能正确回答问题的概率与顺序无关.
（1）求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率；
（2）记为甲同学的总得分，求的分布列及期望；
（3）已知乙同学在比赛中获胜，求甲同学的总得分不低于5分的概率.
12．现有外表相同，编号依次为1，2，3，，的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有k个红球，个白球．随机选择其中一个袋子，并从中依次不放回取出三个球．
（1）当时，
①假设已知选中的恰为2号袋子，求第三次取出的是白球的概率;
②求在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率;
（2）记第三次取到白球的概率为p，证明：
13．在电竞比赛中一般采用“双败淘汰制”，这是一种兼顾效率与公平的比赛赛制，基本原则是“失败2次才被淘汰”“越先淘汰所获名次越低”，且每场比赛只有胜负之分．现组织A，B，C，D共4个电竞队参加比赛，采用“双败淘汰制”，其流程如下：
第一轮：抽签随机分成2组比赛，每组比赛的胜者进入胜者组，败者进入败者组．第二轮：胜者组、败者组分别比赛，胜者组的胜者记为进入决赛，败者组的败者因失败2次被淘汰并获得第4名．第三轮：第二轮胜者组的败者与败者组的胜者比赛，胜者记为进入决赛，败者被淘汰并获得第3名．第四轮：决赛，若W获胜则比赛结束，W获得冠军，L获得第2名;若L获胜，则需加赛一场，加赛胜者获得冠军，败者获得第2名．
已知A队战胜其他3支队伍的概率均为
（1）求A队全胜夺冠的概率;
（2）设A队在整个赛事中参赛场次为随机变量X，求X的分布列及数学期望
专题二 随机变量及其分布 第6页，共6页

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