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山东潍坊市2026届高三下学期4月高考模拟考试数学答案和解析
1.【答案】D 2.【答案】C 3.【答案】C 4.【答案】B
【解析】解：由题意，得，
，，
因为，则的最大内角为角
则，
因为，，故的最大内角为
5.【答案】D 【解析】解：甲每次投掷的得分：投中壶口得2分，概率为，投中壶耳得1分，概率为，
则未投中得0分，概率为
连续投掷3次，总得分不少于5分的情况有两种：
①3次投掷中，2次投壶口，剩余1次投壶耳，发生的概率为：
②3次投掷中，3次投壶口，发生的概率为：，
总得分不少于5分的概率为： 故选
6.【答案】C 【解析】解：由，，得，
由，得，
由，得，则，
因此，又，
解得，，则
7.【答案】A 【解析】解：函数在上单调递减，
当时，； 当时，； 当时，；
函数在R上单调递增，零点为，
当时，；当时，；当时，；
条件①：，或，当时，，满足条件①；
当时，，需，即；
当时，，需恒成立，因单调递增，由，此时，故条件①成立；条件②：，使，当时，，则，
即存在使，因在上单调递增，则，故需
综上可得：
8.【答案】D 【解析】由题意，椭圆中，，，则，右焦点，
设直线AB方程为，联立椭圆方程：消去y得，
设，，由韦达定理：
由得，代入，得：
将韦达定理代入化简得，即，直线，斜率为，方程为，
联立解得，由，，
则斜率： 代入，令，化简得
9.【答案】BCD 【解析】选项A分析：复数在复平面内对应的点对应复数，已知对应点为，则，故A错误。选项B分析：共轭复数的模等于原复数的模。，其模，因此，故B正确。
选项C分析：若，根据复数模的性质，可得，即，从而，故C正确。选项D分析：若，则复数复数模为0当且仅当复数为，即。两边取共轭得，故，D正确。
10.【答案】ABD 【解析】解：对于选项A： 由正四棱柱性质知侧棱底面，底面，根据线面垂直性质得，故直线与所成角为，A正确
对于选项建立空间直角坐标系，设，，，则，。作A关于上底面的对称点，则，。计算，当时取等号，B正确
对于选项C：因为且，所以点的轨迹是到点的距离为2的圆弧，弧长，C错误
对于选项D：为直角三角形，外心为AC中点，外接球心在直线上。设，球半径，。当中心或四个顶点时R最大，共5个点，D正确
11.【答案】ACD
【解析】解：点A的轨迹如图：
A.圆M在圆O外侧滚动，点A到原点O的距离d满足，点到原点的距离为4，且位于y轴正半轴，当圆M滚动到圆O正上方时，点A恰好位于，故A正确；
B.曲线C围成的区域面积介于半径为2和半径为4的圆面积之间，即，故B错误；
C.直线与圆有两个交点，与有两个交点，故曲线C与直线有三个交点，故C错误；
D.当圆M上的点A转到第一象限的角平分线上时，点的横坐标最大为，故D正确.
12.【答案】 【解析】解：由，可得P为BC的中点，则，
，故答案为：
13.【答案】3 【解析】解：由圆C方程可知圆心，半径，
点，则线段PC中点M的坐标为故
设AB中点为N，因为，，设，则，
由垂径定理得解得，
因AB垂直于CM，则N的横坐标为，则，
取，则
14.【答案】 ； 【解析】解：因为函数的定义域为，且，而，所以：当时，；当时，，
因此函数在和上单调递增，在上单调递减，且当时，；，所以作直线和函数的图象如下：
因此由图象知：要函数的图象与直线有三个不同交点，则，即m的取值范围是
因为函数的图象与直线交于A、B、C三点，其横坐标分别为、、，且，
所以由B为AC中点得：
设，，则
因为且，所以
因为，
所以由得：，即，即；
由得：，结合得：，
因此，即，即，
所以，结合解得：，因此
15.【答案】解：因为，当时，，
当时，，
时，也满足上式，故
设等差数列的公差为d，已知， 由得，则，
又，即，解得，故
由题意，为在区间内项的个数，即满足的正整数k的个数，
因为，，，所以，两边同除以3得，
则 则
16.【答案】解：函数的定义域为，
，则，解得
则，，则，故切线方程为，化简得；
，若存在极小值，则在上有解，
令，得，此时需，
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，
故是函数的极小值点. 则，解得，故a的取值范围是
17.【答案】证明：因为，，所以的外接圆的圆心E是线段AC的中点，
而D在平面ABC上的射影恰为的外接圆的圆心，
因此平面ABC，而平面ACD，所以平面平面
解：由知：平面ABC，而EB、平面ABC，因此、，
而，E是线段AC的中点，所以，
因此以E为坐标原点，EB、EC、ED分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如下图：
因为，，所以、、、
因为点M满足，所以，
因此、、
设平面DAB的法向量为，则由得：，
因此取得：，所以是平面DAB的一个法向量.
设平面MAB的法向量为，则由得：，
因此取得：，，所以是平面MAB的一个法向量.
因为平面DAB与平面MAB夹角的余弦值为，所以，即，
因此，即，解得或，
结合解得：，所以的值为
18.【答案】解：由题意可得，解得，故双曲线C的方程为；
由题意可知直线，斜率均存在，且均不为0，
设：，则：，，
联立，消去y可得，
设，，，
由交点均在右支，可得，，故，且，故
则，，则，，即，
将k替换成，可得，当直线MN的斜率不存在时，，解得，
此时，或，，直线MN：，过点；
当直线MN斜率存在时，直线MN：，此时直线恒过点，综上，直线MN过定点；
取EB中点为K，连接KM，KN，EM，BN，
因为K为EB中点，M为AB中点，所以，即，故，
因为K为EB中点，N为EF中点，所以，即，故，
故，
，
将k替换成，可得，
则
，
令，则，
由知，结合对勾函数性质可知
故
则由二次函数性质可知，
当且仅当时取等，故面积的最小值为
19.【答案】解ⅰ由题意，车辆每次扰动向右移动1个单位的概率为，向左移动1个单位的概率为，且各次扰动相互独立.设10次扰动中向右移动的次数为m，向左移动的次数为n，则有：
解得，故车辆经过10次扰动到达的概率为：
ⅱ设第i次向右移动赋值为，第i次向左移动赋值为
则10次移动路径可以表示为有序数组，其中，，2，，
记10次移动后首次到达处的路径为，
则，且，可得且，
而故，
由得，不可能全为，而，恒成立，
因此共有种不同路径.
记10次移动后首次到达处且过程中没有重返原点的路径为，
同理可得，共有种不同路径，所以所求概率为，
依题意，为从出发，到达或时停止的扰动次数期望，且，
对，每次扰动后以概率p移至，以概率移至，故递推关系为：
当时，方程化为，
令，则，即是公差为的等差数列.
设，则。
由，解得，
故，累加得：
当时，方程化为，
令，则，即，
所以，数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，
累加得
由，得，解得，所以，综上，的表达式为：

第1页，共1页山东潍坊市2026届高三下学期4月高考模拟考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.已知一组数据3，7，a，11，11，13的中位数为10，则该组数据的平均数为
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
3.抛物线上的点到C的准线的距离为
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，点，，，则的最大内角为( )
A. B. C. D.
5.投壶源于射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏及礼仪，参与者需在一定距离外将箭矢投入壶口或壶耳.在某投壶游戏中，选手甲投中壶口、壶耳的概率分别为，，依落点计分如表格所示.若甲连续投掷3次，每次投掷互不影响，则甲的总得分不少于5分的概率为( )
投掷结果 壶口 壶耳 其它
计分 2 1 0
A. B. C. D.
6.已知，，且，，则( )
A. B. C. D.
7.若函数和同时满足以下两个条件：
①，或
②，使则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的右焦点为F，直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，且，过O作，垂足为H，则直线FH的斜率的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数，，其中在复平面内对应的点为，则下列结论中正确的是
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
10.已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为1，P为底面上的动点含边界，则( )
A. 直线与所成角的大小为 B. 的最小值为
C. 满足的点P的轨迹长度为 D. 满足三棱锥外接球的体积取得最大值的点P共有5个
11.半径为1的圆M沿圆外侧无滑动滚动一周，设圆M上的点A的运动轨迹为曲线已知点A的初始位置为，则( )
A. 点在曲线C上 B. 曲线C围成的区域面积等于16
C. 曲线C与直线有三个交点 D. 曲线C上点的横坐标的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足，则 .
13.已知点和圆，若以线段PC中点为圆心，为半径的圆与C交于A，B两点，则 .
14.已知函数的图象与直线交于A，B，C三点，其横坐标分别为，，，且，则m的取值范围是 ;若B为AC中点，则 .
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题12分
已知数列的前n项和为，等差数列满足，
求数列和的通项公式;
记为在区间内项的个数，为数列的前n项和，求
16.本小题12分
已知函数
若，求曲线在点处的切线方程;
若存在极小值，且极小值大于0，求a的取值范围.
17.本小题12分
如图1，在平面四边形ABCD中，，，将沿AC翻折，得到如图2所示的三棱锥，且D在平面ABC上的射影恰为的外接圆的圆心.
证明：平面平面
设点M满足，若平面DAB与平面MAB夹角的余弦值为，求的值.
18.本小题12分
已知双曲线的焦距为，渐近线方程为
求C的方程;
过点作两条互相垂直的直线，，若与C的右支交于A，B两点，与C的右支交于E，F两点，线段AB与EF的中点分别为M，N，且A，E在第一象限.
ⅰ证明：直线MN过定点;
ⅱ直线AE与BF交于点D，求面积的最小值.
19.本小题12分
在某智能辅助驾驶车道保持系统中，用数轴描述车辆的横向位置：表示车辆位于车道中心线上，表示车辆右偏如表示车辆位于中心线右侧2个单位，表示车辆左偏.一辆装有该系统的车辆从初始位置为整数出发，每次受扰动后扰动来自路面、侧风与传感器噪声等，车辆随机向右移动1个单位的概率为，向左移动1个单位的概率为
若，
ⅰ求车辆经过10次扰动到达的概率;
ⅱ已知车辆经过10次扰动恰好首次到达，求其没有重返过的概率.
若车辆从初始横向位置为给定正整数出发，当车辆的横向位置到达或时，一次监测流程结束.记一次监测流程结束车辆所受扰动次数的期望为，求的表达式用p，N，k表示
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