资源简介

2024级高二（下）数学期中复习
专题四 计数原理、排列组合
一、多选题
1．甲、乙、丙等五名学生和一位老师六人站成一排照相，则（ ）
A．老师不排在两端的概率为
B．学生甲、乙、丙两两互不相邻的概率为
C．学生甲、乙、丙连排在一起的概率为
D．老师不排在两端，学生甲、乙、丙三人中有且仅有两人相邻的概率为
【答案】ACD
【难度】0.65
【分析】利用古典概型即可判断A；利用插空法结合古典概型即可判断B；利用捆绑法结合古典概型即可判断C；利用排除法结合古典概型即可判断D.
【详解】对于A，老师不排在两端的概率为，故A正确；
对于B，先排甲、乙、丙之外的3人，有种，形成了4个空，在这4个空中排甲、乙、丙，方法有种，所以甲、乙、丙互不相邻的排法有种，所以所求概率为，故B错误；
对于C，甲、乙、丙连排在一起有种，把甲、乙、丙看作一个整体，再和其他三人一起排，有种，所以学生甲、乙、丙连排在一起的概率为，故C正确；
对于D，从学生甲、乙、丙中任选出2人看作一个“整体”，方法有种，
先排教师和余下的两人，有种，形成了4个空，将整体和另一个人插在4个空之间，有种，
所以满足条件的排法有种，若老师排在两端，与其他两人先排，有种，形成了3个空，将整体和另一个人插在3个空中，有种，满足此条件的排法有种，所以满足条件的排法有种，所以所求概率为，故D正确.
2．甲、乙、丙、丁四名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报一个运动队，每个运动队至少报1名同学，则（ ）
A．所有不同的报法种数有34种
B．若甲必须报足球队，则所有不同的报法种数有12种
C．若甲、乙都不报足球队，则所有不同的报法种数有14种
D．若甲、乙不报同一个运动队，则所有不同的报法种数有30种
【答案】BCD
【难度】0.65
【分析】由两种计数原理，结合分组分配法、间接法逐项判断即可.
【详解】对于A：将4人分成3组，再分配即可，故不同的报法种数有，A错；
对于B：若足球只有甲报，有种报法，
若足球有两人，有种报法，故共有，正确；
对于C：若足球队有2人报，有，若足球有1人报，有，故共有，正确；
对于C：若甲乙报同一队，则有，由A知总的报法又36种，所以甲、乙不报同一个运动队，则所有不同的报法种数有30种，D正确，
故选：BCD
3．中国的四大名著是《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》这四部经典文学作品．小明和他的两位同学共3人计划阅读其中一部，每人选一部作品，则（ ）
A．3人选择的作品均不同的方法总数为24
B．恰有2人选同一部作品的方法总数为27
C．恰有1人选《红楼梦》的概率是
D．若小明已选择读《西游记》，其余两位同学至少有一人选择读《西游记》的概率为
【答案】ACD
【难度】0.65
【分析】先确定总情况数，再针对每个选项，用排列或分步计数算事件数，概率用事件数÷总数求解.
【详解】首先分析总情况：3人每人选4部作品中的一部，总方法数为种.
对于A选项，3人选择的作品均不同的方法总数为，故A选项正确.
对于B选项,恰有2人选同一部作品:先选重复的作品，再选这2人，最后第3人选剩下的3部之一，方法数为,故B选项错误.
对于C选项,恰有1人选《红楼梦》：先选这一人，另外2人从剩下3部中选，方法数为，概率为,故C选项正确.
对于D选项,小明已选择读《西游记》，其余两位同学每人有4种选择，总情况为种，
“至少有一人选择读《西游记》”的对立事件是“两人都不选《西游记》”，方法数为，所以概率为,故D选项正确.
故选：ACD.
4．现用数字1，2，3，4填如图所示的四宫格，每格均填1个数字，则下列结论正确的是（ ）
A．若数字可以重复使用，则共有256种填法
B．若4个数字均使用，则共有18种填法
C．若4个数字均使用且第2行的数字之和大于第1行的数字之和，则共有8种填法
D．若数字可以重复使用且相邻的两个格子不能填相同的数字，则共有84种填法
【答案】ACD
【难度】0.4
【分析】对于A，每个位置的数字均有4种选法；
对于B，四个空格1、2、3、4四个数字都要填一次，即全排列；
对于C，列出满足条件的数字组合分别讨论；
对于D，根据数字可重复、相邻不同按位置分类计算.
【详解】对于A，若数字可以重复使用，则共有种填法，故A正确；
对于B，若4个数字均使用，则共有种填法，故B错误；
对于C，若4个数字均使用且第2行的数字之和大于第1行的数字之和，
则可以1，2在第1行，3，4在第2行，或1，3在第1行，2，4在第2行，
共有种填法，故C正确；
对于D，分4步，设四宫格4个位置如下：
①（左上）、②（右上）、③（左下）、④（右下），
第1步，填①，有1，2，3，4共4种选法；
第2步，填②，由于和①相邻，所以不能与①相同，故有3种选法；
第3步，填③，因其与①相邻，所以不能与①相同，故又分2种情况，
情况1，③与②数字相同，此时只限制③与①不同，而②本身就与①不同，
故仅1种选法（和②一致），
情况2，③与②数字不同，此时③需同时满足与①不同、与②不同，所以有2种选法；
第4步，填④，因④与②、③都相邻，所以必须和②、③都不同，
所以选法由②和③是否相同决定，
情况1，②与③相同时，④只需与②（即③）不同，此时有3种选法，
情况2，②与③不同时，④需同时与②不同、与③不同，此时有2种选法
所以利用分步乘法与分类加法计数原理（种），故D正确
故选：ACD
5．现有6个小球和4个盒子，则下列结论正确的有（ ）
A．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子都不空，则共有24种放法
B．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有1个空盒的放法共有40种
C．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有1个空盒的放法共有2160种
D．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有2个空盒的放法共有384种
【答案】BC
【难度】0.65
【分析】利用隔板法可判断AB选项；利用分组分配计数原理可判断CD选项.
【详解】对于A选项，若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子都不空，
只需在6个相同的小球中间形成的5个空位中插入3块板即可，
所以不同的放法种数为，A错误；
对于B选项，若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒，
先要指定空盒的编号，有4种情况，
然后在6个相同的小球中间形成的5个空位中插入2块板即可，
所以不同的放法种数为，B正确；
对于C选项，若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒，
先要指定空盒的编号，有4种情况，
然后将这6个不同的小球分为三组，每组小球的个数分别为1，2，3或4，1，1或2，2，2，
然后再将这三组小球放入剩余的三个盒子中，
所以不同的放法种数为，C正确；
对于D选项，若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒，
先要指定空盒的编号，有（种）情况，
然后将这6个不同的小球分为两组，每组小球的个数分别为1，5或2，4或3，3，
然后再将这两组小球放入剩余的两个盒子中，
所以不同的放法种数为，D错误．
故选：BC.
二、填空题
6．某校高二年级有名男生和名女生参加“我命由我不由天”主题演讲，若从这名同学中随机选出人，则至少有名男生的概率为________．
【答案】/
【难度】0.85
【分析】利用组合计数原理结合对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】记事件从这名同学中随机选出人，至少有名男生，
则事件从这名同学中随机选出人，全是女生，故.
7．从2，3，4，5，6，7，8中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为偶数”，则_________．
【答案】
【难度】0.85
【分析】利用条件概率的计算公式可求
【详解】表示“取到的两个数为偶数且和为偶数”，，
而，故，
故答案为：.
8．一只蚂蚁从点A出发沿着水平面的网格线爬行到点B，再由点B沿着长方体的棱爬行至顶点C处，则它可以爬行的不同最短路径条数有___________.
【答案】60
【解析】【分析】
本题考查排列组合的知识，属于基础题．
由题意，从A到B最短路径有条，由点B沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点C，
最短路径有 条，即可求出它可以爬行的不同的最短路径数．
【解答】
解：由题意，从A到B最短路径有条，
由点B沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点C，最短路径有条，
它可以爬行的不同的最短路径有条
9．如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则质点回到原点的概率为_____________.
【答案】/0.3125
【难度】0.85
【分析】利用分步乘法计数原理、组合以及古典概型的概率公式计算可求得结果.
【详解】质点从原点出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，
可能的结果共有种情况，
若质点回到原点，则向左移动3次向右移动3次，共有种情况，
所以质点回到原点的概率为.
故答案为：.
10．从名志愿者中选人分别从事司机、导游、导购、保洁四项不同的工作．若其中甲、乙两名志愿者没有驾照不能从事司机工作，则选派方案共有___________种.
【答案】
【难度】0.77
【详解】由于甲、乙不能从事司机工作，
因此司机工作从余下的名志愿者中选人，有种选法．
后面三项工作的选法有种，
因此共有种不同的选派方案．
11．某中学组建了，，，，五个不同的社团，旨在培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须且只能参加一个社团．假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的，且结果互不影响．记事件为“甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团”，则_______；若甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团，则恰巧甲参加社团的概率为________．
【答案】
【难度】0.65
【分析】首先求出甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团的事件数，及恰巧甲参加社团的事件数，再由古典概型的概率公式计算可得.
【详解】依题意甲、乙、丙三名学生选择社团的可能结果有个，
若甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团，则有种选择，所以；
甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团，则恰巧甲参加社团，则有种选择，
所以甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团，则恰巧甲参加社团的概率.
故答案为：；
12．将甲、乙、丙、丁、戊五名同学分到三个不同的公益活动小组，每组至少一人，至多两人，则甲乙恰好被分到同一小组的概率为________．
【答案】/
【难度】0.62
【详解】由题可知分组后排列共有种方法，
其中甲、乙两名同学去同一个公益活动小组有种方法，
所以甲、乙两名同学去同一个公益活动小组的概率为.
13．甲、乙、丙等6名同学参加校园歌手大赛，他们通过抽签决定出场顺序，记事件“甲、乙两人的出场顺序相邻”，“丙在第2位出场”，则______.
【答案】/
【难度】0.65
【分析】找出所有可能情况及符合要求的情况后计算即可得.
【详解】在事件中，丙在第2位出场，
则甲、乙两人占据的相邻位置有3种情况：第3位和第4位、第4位和第5位、第5位和第6位，
有3种可能，故.
14．某商场组织抽奖活动，在一个不透明的箱子中装有1个红球、1个白球、1个黑球，共3个形状、大小完全相同的小球.活动规则为：每人有放回地先后两次摸球（每次至少摸1个），摸到红球或白球各计1分，摸到黑球计3分.若两次摸到的小球记录的总得分为5分，则获得一等奖，那么获一等奖的概率为______.
【答案】
【难度】0.65
【分析】先求两次摸球共有多少种情况，然后讨论一等奖的可能情况，由古典概型计算求解.
【详解】每次摸球的情况有种.
先后两次摸球共有种情况.
两次得分5分的情况有：
第一次1分，第二次4分，共有种；
第一次2分，第二次3分，共有1种；
第一次4分，第二次1分，共有4种；
第一次3分，第二次2分，共有1种；
所以，
故答案为：.
15．用1，2，3，4，5，6填入图中的方格内，使折叠成的立方体相对的面上数字之和均相等的概率是______．
【答案】
【难度】0.65
【分析】由排列数知识结合古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】满足要求的三个相对的面的数字组合为，，，选定三个位置，，，将其全排列可得.
每个小格可以从每个数字组合中的2个数字中选1个，则有种．
由乘法原理可知，符合条件的种数为．又全部排列的种数为，故概率为．
故答案为：.
专题一 二项式定理 第2页，共6页
专题四 计数原理、排列组合 第1页，共6页2024级高二（下）数学期中复习
专题四 计数原理、排列组合
一、多选题
1．甲、乙、丙等五名学生和一位老师六人站成一排照相，则（ ）
A．老师不排在两端的概率为
B．学生甲、乙、丙两两互不相邻的概率为
C．学生甲、乙、丙连排在一起的概率为
D．老师不排在两端，学生甲、乙、丙三人中有且仅有两人相邻的概率为
2．甲、乙、丙、丁四名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报一个运动队，每个运动队至少报1名同学，则（ ）
A．所有不同的报法种数有34种
B．若甲必须报足球队，则所有不同的报法种数有12种
C．若甲、乙都不报足球队，则所有不同的报法种数有14种
D．若甲、乙不报同一个运动队，则所有不同的报法种数有30种
3．中国的四大名著是《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》这四部经典文学作品．小明和他的两位同学共3人计划阅读其中一部，每人选一部作品，则（ ）
A．3人选择的作品均不同的方法总数为24
B．恰有2人选同一部作品的方法总数为27
C．恰有1人选《红楼梦》的概率是
D．若小明已选择读《西游记》，其余两位同学至少有一人选择读《西游记》的概率为
4．现用数字1，2，3，4填如图所示的四宫格，每格均填1个数字，则下列结论正确的是（ ）
A．若数字可以重复使用，则共有256种填法
B．若4个数字均使用，则共有18种填法
C．若4个数字均使用且第2行的数字之和大于第1行的数字之和，则共有8种填法
D．若数字可以重复使用且相邻的两个格子不能填相同的数字，则共有84种填法
5．现有6个小球和4个盒子，则下列结论正确的有（ ）
A．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子都不空，则共有24种放法
B．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有1个空盒的放法共有40种
C．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有1个空盒的放法共有2160种
D．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有2个空盒的放法共有384种
二、填空题
6．某校高二年级有名男生和名女生参加“我命由我不由天”主题演讲，若从这名同学中随机选出人，则至少有名男生的概率为__________．
7．从2，3，4，5，6，7，8中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为偶数”，则_________．
8．一只蚂蚁从点A出发沿着水平面的网格线爬行到点B，再由点B沿着长方体的棱爬行至顶点C处，则它可以爬行的不同最短路径条数有__________．
9．如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则质点回到原点的概率为_____________.
10．从名志愿者中选人分别从事司机、导游、导购、保洁四项不同的工作．若其中甲、乙两名志愿者没有驾照不能从事司机工作，则选派方案共有___________种.
11．某中学组建了，，，，五个不同的社团，旨在培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须且只能参加一个社团．假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的，且结果互不影响．记事件为“甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团”，则_________；若甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团，则恰巧甲参加社团的概率为__________．
12．将甲、乙、丙、丁、戊五名同学分到三个不同的公益活动小组，每组至少一人，至多两人，则甲乙恰好被分到同一小组的概率为________．
13．甲、乙、丙等6名同学参加校园歌手大赛，他们通过抽签决定出场顺序，记事件“甲、乙两人的出场顺序相邻”，“丙在第2位出场”，则__________.
14．某商场组织抽奖活动，在一个不透明的箱子中装有1个红球、1个白球、1个黑球，共3个形状、大小完全相同的小球.活动规则为：每人有放回地先后两次摸球（每次至少摸1个），摸到红球或白球各计1分，摸到黑球计3分.若两次摸到的小球记录的总得分为5分，则获得一等奖，那么获一等奖的概率为______.
15．用1，2，3，4，5，6填入图中的方格内，使折叠成的立方体相对的面上数字之和均相等的概率是__________．
专题四 计数原理、排列组合 第2页，共2页
专题四 计数原理、排列组合 第1页，共2页

展开更多......

收起↑