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2024级高二（下）数学期中复习 综合训练（一）
命题：颜倩 做题：何巧香 审核：严振君
一、单选题
1．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【分析】本题考查全概率公式，属于基础题．
设“第1次投球进”为事件A，“第2次投球进”为事件B，则，然后代入计算即得．
【解答】
解：设“第1次投球进”为事件A，“第2次投球进”为事件B，
则，故选
2．已知函数，若，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查导数的概念和运算，属于基础题．
先求出，再利用导数的运算法则即可求解．
【解答】
解：，所以
又，则，解得
故选
3．设，则等于
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查条件概率，对立事件的概率计算，属于基础题．
由条件求得，，再由条件概率公式求解即可．
【解答】
解：，则，，
所以，
故选
4．已知，若…，则
A． B． C．15 D．35
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的计算，属于中档题．
由已知求得a，再由，写出的展开式的通项，分别取和1，求出的展开式中含与含x的项，则答案可求．
【解答】
解：由，
取，得
…，则
，
的展开式的通项为取展开式中的一次项和三次项。
取，得；取，得
三次项系数
故选：
5．现有4人去参加甲、乙两个游戏，约定：每人掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是3的倍数的人去参加甲游戏，掷出的点数不是3的倍数的人去参加乙游戏．用X，Y分别表示这4人中去参加甲、乙游戏的人数，记，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查独立重复试验求概率问题，属于一般题．
这4人中恰有i人去参加甲游戏”为事件，求出的通项公式，设“这4人中恰有n人去参加乙游戏”为事件，求出的通项公式，可得出的所有可能取值为0，2，4，计算出
【解答】
解：依题意，这4人中，每人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为
设“这4人中恰有m人去参加甲游戏”为事件，
设“这4人中恰有n人去参加乙游戏”为事件，
则，，
又的所有可能取值为0，2，4，则X，Y的可能组合为：，
令，则有2种情况：这4人中恰有3人去参加甲游戏，或这4人中恰有3人去参加乙游戏．所以
故本题选：
6．甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有i个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为B，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查互斥事件，条件概率，和全概率，属于中档题．
结合互斥，以及全概率公式，条件概率公式，即可判断选项．
【解答】
解：对于选项，A错误；
，，对于选项，故B错误；
对于选项，，故C错误；
对于选项，故D正确．
故选：D
7．的展开式中，的系数为( )
A．51 B．50 C． D．
【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
先求得的展开式的通项公式，再求出的展开式的通项公式，可得的系数．
【解答】
解：的展开式的通项公式为：
，，1，2，3，4，5，
而 的展开式的通项公式为：
，
因为，故有 或 或 ，
故的系数为，故选
8．泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出．泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值．已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立，且每个站台候车人数服从参数为的泊松分布．若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等，则该线路公交车两个站台共有2个乘客候车的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0．65
【分析】借助所给泊松分布的概率分布列计算可得，再计算出及即可得
【详解】由题可知，即，解得，
则，，，
故两个站台共有2个乘客候车的概率为．
故选：D．
故选
二、多选题
9．下列说法正确的有( )
A．已知事件A，B，且，，，则
B．设火箭发射失败的概率为，若发射10次，其中失败的次数为X，则
C．若从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有1名女生的概率为
D．设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为，，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为，，则甲正点到达目的地的概率为
【答案】AB
【解析】对于A，由条件概率公式知，则，故A正确；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，至少有一名女生的概率，故C错误；对于D，设事件“甲正点到达目的地”，事件“甲乘动车前往目的地”，事件“甲乘汽车前往目的地”，由题意知，，，，由全概率公式得，故D错误．
10．下列命题正确的是( )
A．若甲、乙两组数据的相关系数分别为和，则乙组数据的线性相关性更强；
B．回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好；
C．对变量x与y的统计量来说，值越小，判断“x与y有关系”的把握性越大；
D．对具有线性相关关系的变量x、y，有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则实数的值是
【答案】ABD
【解析】【分析】通过比较两数据的相关系数的绝对值可得该选项正确；残差平方和越小，拟合效果越好，所以该选项正确；值越小，判断“x与y有关系”的把握性越小，所以该选项错误；求出样本中心点，再求出，得该选项正确．
【详解】因为乙数据的相关系数的绝对值为，比甲数据的相关系数的绝对值大，所以乙组数据的线性相关性更强，所以该选项正确；
B．回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好，所以该选项正确；
C．对变量x与y的统计量来说，值越小，判断“x与y有关系”的把握性越小，所以该选项错误；
D．由题得，，所以样本中心点满足方程，所以，，所以该选项正确．故选：ABD
11．设，为曲线的两条切线，切点分别为A，B，若，且垂足为P，则下列说法正确的有( )
A．A，B两点的横坐标之和为定值 B．A，B两点的横坐标之积为定值
C．直线AB的斜率为定值 D．P点横坐标的取值范围为
【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查导数的几何意义，直线垂直的判定，直线的斜率，以及利用基本不等式求最值，考查了数形结合思想，属于较难题．
根据导数的几何意义结合直线垂直的判定可判断AB，根据斜率公式结合对数运算法则可判断C，根据基本不等式结合两直线的交点可判断
【解答】
解：作出曲线的大致图象，
可知，过平面内一点P作曲线两条互相垂直的切线，，切点为，，
则切点A的横坐标在， B的横坐标在，
当，，，，
当，，，，
，
，
则，又因为A，B不重合，
故等号不成立，则，故 B正确A错误;
直线AB的斜率为，故C正确;
的方程为，的方程为，
联立解得交点P的横坐标为，
又因为A，B不重合，故等号不成立，
的横坐标，故D正确．
故选
三、填空题
12．某工厂为研究某种产品的产量（单位：吨）与所需某种原材料（单位：吨）的相关性，在生产过程中收集了4组对应数据，如下表所示
3 4 6 7
2.5 3.5 4
根据表中数据，得出关于的线性回归方程为，据此计算出样本处的残差为0.25，则a＝_______，表中_______．
【答案】 0.25 6
【难度】0.85
【分析】由残差的定义得到回归直线方程，进而根据回归直线过样本的中心点，得到的值即可求解.
【详解】根据样本处的残差为0.25，得，可得，即回归直线的方程为.
又，所以，解得
13．已知直线是函数与函数的公切线，若是直线l与函数相切的切点，则__________．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查了导数和几何意义，考查了切线方程，属于中档题．
根据导数的几何意义即可求出．
【解答】
解：，
，，
是直线l与函数相切的切点，
，，
，，
即直线l的方程为，
，，
设与的切点坐标为，
，，
切线方程为，
即，
，，
解得，，
故答案为：．
14．如图已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则_______．
【答案】
【解析】解：设该质点向右移动的次数为Y，
则，，
若，
则满足条件的Y的值为，对应X的取值分别为，
所以
故答案为：
四、解答题
15．已知在的展开式中，第6项系数与第4项系数之比是
（1）求展开式中项的系数．
（2）求展开式中系数绝对值最大的项．
（3）求的值．
【答案】解：中通项
由，得，故通项，
令，得，故展开式中的系数为；
设第项系数的绝对值最大，则，所以，因为r为整数，所以，
故系数绝对值最大的项为；
原式
【解析】本题考查指定项的系数与二项式系数、二项式系数或系数最大的项、二项展开式及其通项，属于中档题．
求出展开式的通项，根据求出r的值，由此即可求出展开式中项的系数．
设第项系数绝对值最大，解不等式组和求得r的值，即可得到展开式中系数绝对值最大的项．
利用二项式定理可将原式变形为，化简求值即可得到答案．
16．全国“村BA”篮球赛点燃了全民的运动激情，深受广大球迷的喜爱．每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支“村BA”球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如下表：
甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计
胜 负
上场 40 45
未上场 3
合计 42
（1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关？附：
（2）由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为，，，相应球队赢球的概率分别为，，
①当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；
②当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率．
【答案】【解答】根据题意，可得如下列联表：
甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计
胜 负
上场 40 5 45
未上场 2 3 5
合计 42 8 50
零假设：球队的胜负与甲球员是否上场无关，此时，所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为球队的胜负与甲球员是否上场有关．
①【解答】设事件“甲球员上场打前锋”，事件“甲球员上场打中锋”，事件“甲球员上场打后卫”，事件“球队赢球”，则，，，，，，所以当甲球员上场参加比赛时，球队赢球的概率
②【解答】当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，甲球员打中锋的概率为
17．探索浩瀚宇宙是全人类的共同梦想，我国广大科技工作者、航天工作者为推动世界航天事业发展付出了艰辛的努力，为人类和平利用太空、推动构建人类命运共同体贡献了中国智慧、中国方案、中国力量．
（1）某公司试生产一种航空零件，在生产过程中，当每小时次品数超过90件时，产品的次品率会大幅度增加，为检测公司的试生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，已知在x百件产品中，得到次品数量单位：件的情况汇总如下表所示，且单位：件与单位：百件线性相关：
百件 5 20 35 40 50
件 2 14 24 35 40
根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过90件，请通过计算分析，按照公司的现有生产技术设备情况，判断可否安排一小时试生产10000件的任务？
（2）“战神”太空空间站工作人员需走出太空站完成某项试验任务，每次只派一个人出去，且每个人只派出一次，工作时间不超过10分钟，如果有人10分钟内不能完成任务则撤回，再派下一个人，直到完成任务为止．现在一共有n个人可派，工作人员，，，…，各自在10分钟内能完成任务的概率都为，各人能否完成任务相互独立，派出工作人员顺序随机，记派出工作人员的人数为X，X的数学期望为，证明：
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式
；参考数据：，
【答案】解：由已知可得：；
；
又因为；
；
由回归直线的系数公式知：，
，所以，
当百件时，，符合有关要求，
所以按照公司的现有生产技术设备情况，可以安排一小时试生产10000件的任务．
由题意知：，
，；
，
所以，
，
两式相减得： ，
故
【解析】本题主要考查回归直线方程及其应用，离散型随机变量的期望，错位相减法及等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由题意，可求出，从而可求得回归直线的系数，则可得，将代入所得数值与90相比较，即可得出答案；
由题意知：，从而可得，进而利用错位相减法及等比数列的求和公式可得答案．
18．已知函数，．
（1）设曲线在处的切线为l，若l与曲线相切，求a；
（2）设函数，
（ii）若在区间单调递减，求a的取值范围．
（i）讨论的单调性；
【答案】解：因为，所以，又因为，所以切线l的方程为，
由题意，与曲线相切，联立所以只有一解，
所以，解得
，则
①当，即时，，
所以在上单调递增．
②当，即时，令，解得或
令，解得
所以在和上单调递增，在上单调递减．
③当，即时，令，解得或
令，解得
所以在和上单调递增，在上单调递减．
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查导数的几何意义，属于中档题．
由条件结合导数的几何意义即可求得；
，对函数求导，利用导数研究函数的单调性即可．
19．某校举办知识挑战赛．该挑战赛共分关，规则如下：两人一组，首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者n关都挑战成功，挑战比赛结束．已知甲乙两名同学一组参加挑战赛，若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响．
（1）已知甲先上场，，，，
①求挑战没有一关成功的概率；
②设X为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求；
（2）如果n关都挑战成功，那么比赛挑战成功．试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同，理由见解析
【难度】0．65
【分析】（1）①利用进行求解；②求出X的可能取值和对应的概率，得到分布列，计算数学期望；
（2）分解计算出甲先出场成功概率，乙先出场成功概率，比较后得到结论．
【详解】（1）①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为P，则．
②依题可知，X的可能取值为0，1，2，则由①知，
，
，
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
∴；
（2）甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同，理由如下：
设甲先出场成功概率为，乙先出场成功概率为，
则，
∵，
，
∴，因此，甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同．
综合训练（一） 第7页，共10页2024级高二（下）数学期中复习 综合训练（一）
一、单选题
1．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为
A． B． C． D．
2．已知函数，若，则( )
A． B． C． D．
3．设，则等于
A． B． C． D．
4．现有4人去参加甲、乙两个游戏，约定：每人掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是3的倍数的人去参加甲游戏，掷出的点数不是3的倍数的人去参加乙游戏．用X，Y分别表示这4人中去参加甲、乙游戏的人数，记，则
A． B． C． D．
5．已知，若…，则
A． B． C．15 D．35
6．甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有i个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为B，则( )
A． B． C． D．
7．的展开式中，的系数为( )
A．51 B．50 C． D．
8．泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出．泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值．已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立，且每个站台候车人数服从参数为的泊松分布．若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等，则该线路公交车两个站台共有2个乘客候车的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的有( )
A．已知事件A，B，且，，，则
B．设火箭发射失败的概率为，若发射10次，其中失败的次数为X，则
C．若从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有1名女生的概率为
D．设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为，，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为，，则甲正点到达目的地的概率为
10．下列命题正确的是( )
A．若甲、乙两组数据的相关系数分别为和，则乙组数据的线性相关性更强；
B．回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好；
C．对变量x与y的统计量来说，值越小，判断“x与y有关系”的把握性越大；
D．对具有线性相关关系的变量x、y，有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则实数的值是
11．设，为曲线的两条切线，切点分别为A，B，若，且垂足为P，则下列说法正确的有( )
A．A，B两点的横坐标之和为定值 B．A，B两点的横坐标之积为定值
C．直线AB的斜率为定值 D．P点横坐标的取值范围为
三、填空题
12．某工厂为研究某种产品的产量（单位：吨）与所需某种原材料（单位：吨）的相关性，在生产过程中收集了4组对应数据，如下表所示
3 4 6 7
2.5 3.5 4
根据表中数据，得出关于的线性回归方程为，据此计算出样本处的残差为0.25，则a＝_______，表中_______．
13．已知直线是函数与函数的公切线，若是直线l与函数相切的切点，则__________．
14．如图已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则_______．
四、解答题
15．已知在的展开式中，第6项系数与第4项系数之比是
（1）求展开式中项的系数．
（2）求展开式中系数绝对值最大的项．
（3）求的值．
16．全国“村BA”篮球赛点燃了全民的运动激情，深受广大球迷的喜爱．每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支“村BA”球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如下表：
甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计
胜 负
上场 40 45
未上场 3
合计 42
（1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关？附：
（2）由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为，，，相应球队赢球的概率分别为，，
①当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；
②当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率．
17．探索浩瀚宇宙是全人类的共同梦想，我国广大科技工作者、航天工作者为推动世界航天事业发展付出了艰辛的努力，为人类和平利用太空、推动构建人类命运共同体贡献了中国智慧、中国方案、中国力量．
（1）某公司试生产一种航空零件，在生产过程中，当每小时次品数超过90件时，产品的次品率会大幅度增加，为检测公司的试生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，已知在x百件产品中，得到次品数量单位：件的情况汇总如下表所示，且单位：件与单位：百件线性相关：
百件 5 20 35 40 50
件 2 14 24 35 40
根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过90件，请通过计算分析，按照公司的现有生产技术设备情况，判断可否安排一小时试生产10000件的任务？
（2）“战神”太空空间站工作人员需走出太空站完成某项试验任务，每次只派一个人出去，且每个人只派出一次，工作时间不超过10分钟，如果有人10分钟内不能完成任务则撤回，再派下一个人，直到完成任务为止．现在一共有n个人可派，工作人员，，，…，各自在10分钟内能完成任务的概率都为，各人能否完成任务相互独立，派出工作人员顺序随机，记派出工作人员的人数为X，X的数学期望为，证明：
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式
；参考数据：，
18．已知函数，．
（1）设曲线在处的切线为l，若l与曲线相切，求a；
（2）设函数，
（i）若在区间单调递减，求a的取值范围．
（ii）讨论的单调性；
19．某校举办知识挑战赛．该挑战赛共分关，规则如下：两人一组，首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者n关都挑战成功，挑战比赛结束．已知甲乙两名同学一组参加挑战赛，若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响．
（1）已知甲先上场，，，，
①求挑战没有一关成功的概率；
②设X为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求；
（2）如果n关都挑战成功，那么比赛挑战成功．试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，说明理由．
综合训练（一） 第1页，共4页

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