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2024级高二（下）数学期中复习 综合训练（二）
一、单选题
1．一辆汽车在公路上直线变速行驶，假设汽车在某一段路内秒时的位移（单位：米）为，则汽车在第1秒时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据导数的物理意义，结合导数的计算，可得答案.
【详解】由，得，则汽车在第1秒时的瞬时速度为.
故选：D．
2．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用导数的定义，把转化为，利用导数的四则运算求出，代入即可求解.
【详解】由可得，，
．
故选：C
3．已知两个线性相关变量与的统计数据如下表：
其回归直线方程是，据此计算，则样本点在处的残差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据样本中心点在回归直线方程上，可得的值，然后计算样本估计值，从而得到残差.
【详解】根据题意，，
又在回归直线方程上，所以，所以回归直线方程为，
时，得到预估值为3.15，所以样本点在处的残差为.
故选：B.
4．已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）
A．128 B．256 C．512 D．1024
【答案】B
【分析】根据二项式系数性质，列出方程，求出参数，求出奇数项的二项式系数和.
【详解】由二项式系数性质可知，第4项的二项式系数为，第7项的二项式系数为，
当时，可知；可得，则奇数项的二项式系数和为.
故选：B.
5．在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为，则每次射击击中目标的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题可利用独立重复试验的概率公式，通过“至少有一次击中目标”的对立事件“三次都未击中目标”来求解每次射击击中目标的概率.
【详解】设每次射击击中目标的概率为p，因为至少有一次击中目标的概率为，
所以三次都未击中目标的概率为，即，解得.
故选：C
6．某同学根据一组数据作出如图所示的散点图，并对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点，增加点后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（ ）
A．相关系数r变大 B．决定系数变小
C．残差平方和变小 D．不变
【答案】B
【分析】从图中分析得到加入点后，回归效果会变差，再由平均数，相关系数，决定系数，残差平方和及相关性的概念和性质作出判断即可.
【详解】增加点，从散点图中可以看出拟合效果变差；
越接近，相关程度越强，拟合效果越好，由于两个变量成正相关，所以相关系数变小；故A错误；
决定系数越接近，拟合效果越好，所以决定系数变小，故B正确；
残差平方和越小，拟合效果越好，所以残差平方和变大；故C错误；
增加点前的的平均数为，增加点后的的平均数为，所以变大，故D错误.
故选：B
7．已知随机变量均服从两点分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由两点分布分别求得的概率，再由求出，由条件概率公式计算.
【详解】因为随机变量均服从两点分布，所以，
因为，所以，
由条件概率公式，
故选：B.
8．甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分甲乙出牌的张数和甲乙胜负情况结合古典概率和二项分布讨论.
【详解】甲乙每次出牌1张，若两人出牌的点数都是偶数或都是奇数，则平局，
所以平局的概率，
若甲胜，则结果有、、、、、、、、，共9种，
所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为，
各出牌4次后停止游戏，若4次全平局，概率为；
若平局2次，则最后1次不能是平局，另外2次甲全胜或乙全胜，概率为，
若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，概率为，
所以.
故选：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是分类的标准.
二、多选题
9．一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数（1张卡片上标1个数)，从中不放回的依次抽取卡片，每次抽1张．“第一次抽取的卡片号为奇数”记为事件A，“前两次抽取的卡片号之和为偶数”记为事件B，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用全概率公式来判断A，利用条件概率乘法公式来判断B，利用条件概率除法公式来判断C，利用互斥事件概率和公式来判断D.
【详解】利用全概率公式计算：，故A正确；
由，，而，故B错误；
由，故C正确；
由，故D正确；
故选：ACD
10．“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌.为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据，则( )
喜欢天宫课堂 不喜欢天宫课堂
男生 80 20
女生 70 30
参考公式及数据：，
A．从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率为
B．用样本的频率估计概率，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率为
C．根据小概率值的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联
D．对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试，男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，则参加测试的学生成绩的均值为85
【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查了古典概型、独立重复试验的概率公式和独立性检验，属于中档题．
根据古典概型的概率公式判断A，首先求出样本中喜欢天宫课堂的频率，再根据独立重复试验的概率公式判断B，计算出卡方，即可判断C，根据平均公式判断
【解答】
解：对于A：从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率，故A错误；
对于B：样本中喜欢天宫课堂的频率，从全校学生中任选3人，
恰有2人不喜欢天宫课堂的概率，故B正确；
对于C：因为，
所以根据小概率值的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联，故C正确；
对于D：抽取的喜欢天宫课堂的学生男、女生人数分别为80、70，
又男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，所以参加测试的学生成绩的均值为，故D错误.
故选：
11．如图，在边长为1个单位长度的正六边形对角线的交点O处有一个质点，随机的沿A，B，C，D，E，F，O中相邻两个点的连线构成的轨道移动，且在每一点处都等可能的向与它相邻的点移动，每次移动1个单位长度，则（ ）
A．移动两次后位于点A的概率为
B．移动两次后位于点O的概率为
C．移动三次后位于点F的概率为
D．移动n次后位于点O的概率为
【答案】BCD
【分析】根据移动过程，结合独立事件概率公式和互斥事件概率公式计算概率判断ABC，设移动n次后位于点O的概率为，找到与的关系后再利用数列知识求解后判断D.
【详解】对A， 移动两次后位于点A，需要第一次移动到B或F，然后再移动到A，概率为，A错；
对B，移动两次后位于点O，第一次移出去，第二次再移回来，概率为，B正确；
对C，移动三次后位于点F，前两次移动到O或A或E,因此概率为，C正确；
对D，设移动n次后位于点O的概率为，则前一次一定在非点，概率为，
所以，从而，
又，所以，所以，D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：对D，在求时，关键是找到与的关系，第次必须在非点（概率为），第次才能移动到点，由此得出关系式，其次关键点是凑配出等比数列，利用等比数列通项公式求解.
三、填空题
12．已知随机变量X，Y分别满足，，且均值，方差，则__________．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查二项分布、正态分布的期望、方差，属于基础题，
根据二项分布、正态分布的性质列出方程组求出p的值.
【解答】
解：由题意得，，
所以，解得
故答案为
13．已知曲线在点处的切线与二次函数的图象只有一个公共点，则所有实数的可能取值之和为__________．
【答案】5
【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程，再联立切线与二次函数解析式，消元，由计算可得.
【详解】因为，则，则，
所以曲线在点处的切线为，即，
由，则，则，解得或.
故答案为：5
14．从集合的子集中选出2个不同的子集A，B，且，则选法有_________种．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合的化简与运算及集合子集的个数的求法，二项展开式及其通项，属于较难题．
因为，故不妨设元素少的为A，元素多的为B，A为B的真子集；讨论A，B所含集合个数，利用二项式定理和分组求和求解．
【解答】
解：当A为空集时，B可以包含1，2，3，…，n个元素，
所以共有种选法；
当A只含有1个元素时，B可以包含2，3，4，…，n个元素，
所以共有种选法；
当A只含有2个元素时，B可以包含3，4，…，n个元素，
所以共有种选法；
当A只含有3个元素时，B包含4，5，…，n个元素，
所以共有种选法；
……
当A只含有m个元素时，B可以包含， ， 个元素，
所以共有种选法；
……
当A有个元素时，B包含个元素，
所以共有 种选法；
当A有个元素时，B包含有n个元素，
所以共有种选法；
故共有
故答案为：
四、解答题
15．已知曲线．
（1）若在点处的切线与直线平行，求实数的值；
（2）若曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直，求实数的值．
【答案】（1）0
（2）
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）设公共点为，由题设可得，可得，，再将公共点代入两曲线方程化简可得，进而求解即可.
【详解】（1）由，则，
而直线的斜率为3，所以，解得.
（2）由题意，，，
设公共点为，则，，
由于曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直，
所以，则，，又，
则，所以，解得.
16．已知，且．
（1）求二项式系数最大的项；
（2）求的值．
【答案】（1）8；（2）；（3）
【分析】（1）由二项展开式通项公式得出，然后由求出，根据二项式系数的性质得出最大项的项数，再求出该项即可；
（2）在展开式中令可得，令再结合可得结论.
【详解】（1）展开式通项为，
令，，所以，，结合，故．
二项式系数最大的项为第项.
（2）在中，
分别令得：，
令，则，所以.
17．“爱国、敬业、诚信、友善”是社会主义核心价值观个人层面的价值准则.某学校为加强对学生的教育，倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：
售出水量（单位：箱） 7 6 6 5 6
收益（单位：元） 165 142 148 125 150
（1）求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？
（2）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级从第201名到500名的同学，获二等奖学金300元；考入年级501名及以后的特困生不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.如果已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望
附：
【答案】（1），186
（2）分布列见解析，600
【分析】（1）求出、，从而求出回归方程，将代入求出即可；
（2）计算对应的概率的值，求出其分布列和期望值即可．
【详解】（1），，，
当时，（元），即某天售出8箱水的预计收益是186元.
（2）X的取值可能为0，300，500，600，800，1000，
，，
，，
，，
即X的分布列为
X 0 300 500 600 800 1000
P
X的数学期望
（元）.
18．某校为庆祝建校百年，由学校团委、学生会组织开展“奋斗进程”校史知识竞赛活动，每位参赛者均需要回答个题目，可以从个组题目和若干个组题目中，共选择3个题目作答.A组题目每正确回答1个得10分，B组题目每正确回答1个得分，不能正确回答的题目均不得分，参赛者总得分为3个题目得分之和.已知小王恰能正确回答A组题中的4个题目，B组题目每个正确回答的概率均为，且能否正确回答A组和B组题目互不影响.
（1）已知小王两组题目均有选择，以他至少答对1个题目的概率为依据，试确定他分别选择两组题目的数量的策略；
（2）记小王总得分为.
（i）若选择的3个题目均为A组题目，求的分布列及数学期望；
（ii）试确定，使小王在选择3个题目时，无论怎样调整A、B组题目数量，其总得分保持期望稳定，并说明理由.（参考公式：，其中、为随机变量）
【答案】（1）小王应选择2个A组题目和1个B组题目的策略
（2）（i）分布列见解析；；（ii）当时，无论小王如何调整A、B组题目数量，其总得分X的期望均为20分；理由见解析
【分析】（1）小王两组题目均有选择的方案有两种，1个A组题目和2个B组题目；2个A组题目和1个B组题目，分别记两种情况下小王至少答对1个题目的概率为，，求得，，可得结论；
（2）记小王所选题目中A组题目得分为，B组题目得分为，，（i）由于选择的三个题目均有A组题目，其得分为，利用超几何分布求得分布列，可求数学期望；（ii）设小王选择的3个题目中A组题目数量为，B组题目数量为，其中，则服从超几何分布，，计算数学期望可得结论.
【详解】（1）小王两组题目均有选择的方案有两种，
1个A组题目和2个B组题目；2个A组题目和1个B组题目，
分别记两种情况下小王至少答对1个题目的概率为，，
，
，
因为，所以，
以至少答对1个题目的概率为依据，小王应选择2个A组题目和1个B组题目的策略.
（2）记小王所选题目中A组题目得分为，B组题目得分为，，
（i）由于选择的三个题目均有A组题目，其得分为，
则，，，
故的分布列为：
10 20 30
故，
（ii）设小王选择的3个题目中组题目数量为，组题目数量为，其中，
则服从超几何分布，，，，
，
当时，的值与无关，即当时，无论小王如何调整组题目数量，其总得分的期望均为20分.
19．箱子中有大小和质地相同的红球、白球和黑球共N个，其中红球的个数为，现从箱子中不放回地随机摸球，每次摸出一个球，并依次编号为1，2，3，，N，直到箱子中的球被摸完为止.
（1）求2号球为红球的概率用N与n表示
（2）若，，记随机变量X为最后一个红球被摸出时的编号，求
（3）若箱子中白球、黑球的个数分别为n，2n，求红球先于白球和黑球被摸完红球被全部摸出，白球和黑球都有剩余的概率.
方法一：
【答案】解：记“2号球为红球”为事件A，
将n个红球的编号情况作为样本空间，则样本点总数为，
事件A表示第2次被摸出的是红球，其它个红球在其余次被随机摸出，
则事件A包含的样本点数为，
所以，
所以2号球为红球的概率为
随机变量X的取值为5，6，，11，
则随机变量X的分布列为，，6，，11，
所以随机变量X的期望
所以随机变量X的期望
箱子中红球、白球、黑球的个数分别为n，n，2n，记“最后被摸出的球为白球”为事件B，
记“最后被摸出的球为黑球”为事件C，事件B，C互斥.
记“红球先于白球和黑球被摸完”为事件D，则
当事件B发生时，只需考虑红球、黑球两种球中最后被摸出的是黑球，
则
当事件C发生时，只需考虑红球、白球两种球中最后被摸出的是白球，
则
所以
所以红球先于白球和黑球被摸完的概率为
【解析】本题考查古典概型及其计算，考查离散型随机变量的均值及条件概率的计算，属于较难题.
记“2号球为红球”为事件A，将n个红球的编号情况作为样本空间，则样本点总数为，事件A表示第2次被摸出的是红球，其它个红球在其余次被随机摸出，则事件A包含的样本点数为，结合古典概型概率计算即可求得；
随机变量X的分布列为，，6，，11，计算相关概率，再求均值即可；
箱子中红球、白球、黑球的个数分别为n，n，2n，记“最后被摸出的球为白球”为事件B，记“最后被摸出的球为黑球”为事件C，事件B，C互斥.记“红球先于白球和黑球被摸完”为事件D，则，再结合条件概率计算即可.
方法二：
【小问1详解】设事件：第号球为红球，
则
；
【小问2详解】
根据题意，随机变量的取值为，
从袋中个红球和个其他颜色球中，将红球全部摸出，共有种情况；
则，，
，，
，，，
所以的分布列为：
因此其数学期望为：
；
【小问3详解】
解法一：根据题目本题主要关注的问题是最后一球是什么颜色的球.
问题1：如果最后一球为红球，即红球摸完时，白球、黑求已经全部摸完，
此时的概率为，
同理可得，最后一球为白球的概率为，
最后一球为黑球的概率为，
将箱子中红球、白球、黑球的个数分别为，，，
按照比例转化为，红球1个、白球1个、黑球2个进行考查.
问题2：发现最后一球是红的概率为，最后一球是白球的概率为，
最后一球是黑的概率为，所以问题1与问题2等价.
不妨令红球为a，白球为b，黑球为c，d，则全排列作为概率公式分母，即.
记“红球先于白球和黑球被摸完（红球被全部摸出，白球和黑球都有剩余）”为事件A，
现在对事件A进行分析：
第一类：a在首位时，b，c，d全排列，有种可能；
第二类：a在第二位时，b必须在第三或第四位，c，d全排列，有种可能；
共种可能.
所以.
解法二：考虑最后一个球的颜色情况：
①最后一个球是白球：
i)将全部黑球放入白球前面，共1种方法；
ii）再将全部红球一个一个放入，确保最后一个红球后面有黑球和白球：有种方法；
iii)最后将剩余的()个白球放入：有种方法；
所以情况①共有种.
②最后一个球是黑球：
过程类似于情况①，共有种.
综上所述：
【点睛】关键点点睛：将箱子中红球、白球、黑球的个数分别为，，，按照比例转化为，红球1个、白球1个、黑球2个进行考查.
试卷第2页，共11页
试卷第1页，共11页2024级高二（下）数学期中复习 综合训练（二）
一、单选题
1．一辆汽车在公路上直线变速行驶，假设汽车在某一段路内秒时的位移（单位：米）为，则汽车在第1秒时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知两个线性相关变量与的统计数据如下表：
其回归直线方程是，据此计算，则样本点在处的残差为（ ）
A． B． C． D．
4．已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）
A．128 B．256 C．512 D．1024
5．在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为，则每次射击击中目标的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．某同学根据一组数据作出如图所示的散点图，并对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点，增加点后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（ ）
A．相关系数r变大 B．决定系数变小
C．残差平方和变小 D．不变
7．已知随机变量均服从两点分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌．为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据，则( )
喜欢天宫课堂 不喜欢天宫课堂
男生 80 20
女生 70 30
参考公式及数据：，
A．从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率为
B．用样本的频率估计概率，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率为
C．根据小概率值的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联
D．对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试，男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，则参加测试的学生成绩的均值为85
10．一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数（1张卡片上标1个数)，从中不放回的依次抽取卡片，每次抽1张．“第一次抽取的卡片号为奇数”记为事件A，“前两次抽取的卡片号之和为偶数”记为事件B，则（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在边长为1个单位长度的正六边形对角线的交点O处有一个质点，随机的沿A，B，C，D，E，F，O中相邻两个点的连线构成的轨道移动，且在每一点处都等可能的向与它相邻的点移动，每次移动1个单位长度，则（ ）
A．移动两次后位于点A的概率为
B．移动两次后位于点O的概率为
C．移动三次后位于点F的概率为
D．移动n次后位于点O的概率为
三、填空题
12．已知随机变量X，Y分别满足，，且均值，方差，则__________．
13．已知曲线在点处的切线与二次函数的图象只有一个公共点，则所有实数的可能取值之和为__________．
14．从集合的子集中选出2个不同的子集A，B，且，则不同的选法共有_________种．
四、解答题
15．已知曲线．
（1）若在点处的切线与直线平行，求实数的值；
（2）若曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直，求实数的值．
16．已知，且．
（1）求二项式系数最大的项；
（2）求的值．
17．“爱国、敬业、诚信、友善”是社会主义核心价值观个人层面的价值准则．某学校为加强对学生的教育，倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：
售出水量（单位：箱） 7 6 6 5 6
收益（单位：元） 165 142 148 125 150
（1）求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？
（2）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级从第201名到500名的同学，获二等奖学金300元；考入年级501名及以后的特困生不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为．如果已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望．
附：
18．某校为庆祝建校百年，由学校团委、学生会组织开展“奋斗进程”校史知识竞赛活动，每位参赛者均需要回答个题目，可以从个组题目和若干个组题目中，共选择3个题目作答．A组题目每正确回答1个得10分，B组题目每正确回答1个得分，不能正确回答的题目均不得分，参赛者总得分为3个题目得分之和．已知小王恰能正确回答A组题中的4个题目，B组题目每个正确回答的概率均为，且能否正确回答A组和B组题目互不影响．
（1）已知小王两组题目均有选择，以他至少答对1个题目的概率为依据，试确定他分别选择两组题目的数量的策略；
（2）记小王总得分为．
（i）若选择的3个题目均为A组题目，求的分布列及数学期望；
（ii）试确定，使小王在选择3个题目时，无论怎样调整A、B组题目数量，其总得分保持期望稳定，并说明理由．（参考公式：，其中、为随机变量）
19．箱子中有大小和质地相同的红球、白球和黑球共N个，其中红球的个数为，现从箱子中不放回地随机摸球，每次摸出一个球，并依次编号为1，2，3，，N，直到箱子中的球被摸完为止．
（1）求2号球为红球的概率用N与n表示
（2）若，，记随机变量X为最后一个红球被摸出时的编号，求
（3）若箱子中白球、黑球的个数分别为n，2n，求红球先于白球和黑球被摸完红球被全部摸出，白球和黑球都有剩余的概率．
综合训练（二） 第4页，共4页
综合训练（二） 第1页，共4页

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