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10.3　实际问题与二元一次方程组
第2课时 几何图形问题、数字问题与工程问题
一、选择题
1．如图，长方形相框的外框的长是外框的宽的1.5倍，内框的长是内框的宽的2倍，外框与内框之间的宽度为3.设长方形相框的外框的长为x，外框的宽为y，则所列方程组正确的是( )
A． B． C． D．
2．某公司有生手工和熟手工若干名．已知1名生手工比1名熟手工每天少制造30个零件，1名生手工与2名熟手工一天一共可制造180个零件，则1名生手工与1名熟手工每天各能制造多少个零件？设1名生手工每天能制造x个零件，1名熟手工每天能制造y个零件．根据题意可列方程组为( )
A． B． C． D．
3．一副三角尺如图所示，且∠1的度数比∠2的度数大20°，则∠1＝(　　)
A．45°　　B．50°　　C．55°　　D．60°
4．如图，在3×3的方格中做填字游戏，要求每行、每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中x，y的值分别为(　　)
4x
－3 －y
2 3 2y
A.1，－1　　B．－1，1 C．2，－1　　D．－2，1
5．用大小完全相同的长方形在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知A(－1，5)，则B点的坐标是( )
A．(－，) B．(－，) C．(－6，5) D．(－6，4)
6．某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、 工程，甲工程队晴天需要14天完成，雨天工作效率下降 ；乙工程队晴天需15天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了( )天.
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
7．如图，约定：上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数.有以下两个结论，结论Ⅰ：若的值为3，则 的值为4；结论Ⅱ：不论，取何值， 的值一定为3.下列判断正确的是( )
A. Ⅰ，Ⅱ都对 B. Ⅰ对，Ⅱ不对 C. Ⅰ不对，Ⅱ对 D. Ⅰ，Ⅱ都不对
二、填空题
8．阳光农业生态园现要改造一个瓜果采摘园，将原本宽40 m的长方形园区划分为如图所示的多个完全一样的长方形种植区，则每个长方形种植区的长为____m，宽为____m.
9．李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间是固定的．现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55 min，加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85 min，则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需____min.
10．如图①，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长为18，宽为8的长方形(如图②)，则图②中(1)部分的面积是________.
11．如图，在长方形ABCD中，放入六个形状大小相同的长方形，若AD＝10 cm，FG＝2 cm，则图中空白部分的总面积是__________cm2.
12．小宇用完全相同的小长方形搭出艺术字“山西”的框架，若这两个字正好都可以放在如图所示的方框中，则每个小长方形的面积为__________.
13．如图，在三角形ABC中，点D，E分别是边BC，AB的中点．若AC＝8，三角形ACD的周长为22，三角形ADE的周长比三角形BDE的周长大4，则BC＝__________．
14．古代中国是世界中心，诸多技艺均领先世界水平，榫卯 结构就是其中最为华丽的一点.榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式.已知有若干个相同的木构件，其形状如图①所示.当3个木构件紧密拼成一列时，总长度为，当9个木构件紧密拼成一列时，总长度为 ，如图②所示，则图①中的木构件长度为______.
三、解答题
15．山水村为吸引游客，打造了如图所示的长方形园林景观，在阴影部分的正方形处建造面积相等的亭楼，长方形处建造面积相等的古代庭院，已知正方形的边长和长方形的宽相等，求整个阴影部分的面积．
16．一家商店进行装修．若请甲、乙两个装修队同时施工，8天可以完成装修；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天也可以完成装修．甲、乙两队单独完成装修各需多少天？
17．一项工程甲单独完成需要12天，乙单独完成需要18天，计划甲先做若干天后离去，由乙完成剩下的任务，实际上甲只做了自己计划的一半便因事而离去，后由乙单独承担，而乙完成任务的时间恰好是自己计划时间的2倍，问实际甲、乙各做了多少天？
18．刘爷爷计划在一块长为20 m，宽为17 m的长方形空地种上蔬菜，如图所示，在空地上留出三个完全相同的小长方形和四个完全相同的正方形(阴影部分)来种植番茄，其余部分种植辣椒．已知正方形的边长与小长方形的宽相等，请分别求出种番茄和辣椒的面积．
19．小明手中有块周长为82 cm的长方形硬纸片，若将该硬纸片的长减少5 cm，宽增加4 cm，就成为一个正方形硬纸片．
(1)求这块长方形硬纸片的长、宽各是多少；
(2)现小明想用这块长方形硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为5∶3，面积为375 cm2的新长方形纸片，请判断小明能否裁出，并说明理由．
20．小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据(单位：m)，解答下列问题：
(1)用含x，y的代数式表示地面总面积；
(2)已知客厅面积比卫生间面积多21平方米，且地面总面积是卫生间面积的15倍．若铺1平方米地砖的平均费用为100元，那么铺地砖的总费用为多少元？
21．在《二元一次方程组》这一章的复习课上，刘老师给出了下面的题目：
在某市“乡村振兴”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建一条4 000米长的公路，甲队每天修建200米，乙队每天修建250米，一共用18天完成．
(1)李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组请写出李东所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示_____________________，y表示__________________；该方程组中△处的数应是____，□处的数应是_______；
(2)陈彬同学的思路是想设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．下面请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？
22．问题情境：某综合实践小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动.
(1)综合实践小组利用边长为 的正方形纸板制作出两种不同的无盖长方体纸盒.
①根据图①方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板四角剪去四个同样大小，边长为 的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为_____ ；
②根据图②方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形(阴影部分)，再沿虚线折合起来，已知，求该长方体纸盒的体积.
(2)小明按照图①的方式用边长为 的正方形纸片制作了一个无盖的长方体纸盒，小明想利用这个纸盒研究无盖长方体纸盒的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长.(求出所有可能的情况)
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参考答案
一、选择题
1．如图，长方形相框的外框的长是外框的宽的1.5倍，内框的长是内框的宽的2倍，外框与内框之间的宽度为3.设长方形相框的外框的长为x，外框的宽为y，则所列方程组正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
2．某公司有生手工和熟手工若干名．已知1名生手工比1名熟手工每天少制造30个零件，1名生手工与2名熟手工一天一共可制造180个零件，则1名生手工与1名熟手工每天各能制造多少个零件？设1名生手工每天能制造x个零件，1名熟手工每天能制造y个零件．根据题意可列方程组为( )
A． B． C． D．
【答案】A
3．一副三角尺如图所示，且∠1的度数比∠2的度数大20°，则∠1＝(　　)
A．45°　　B．50°　　C．55°　　D．60°
【答案】C
4．如图，在3×3的方格中做填字游戏，要求每行、每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中x，y的值分别为(　　)
4x
－3 －y
2 3 2y
A.1，－1　　B．－1，1 C．2，－1　　D．－2，1
【答案】A
5．用大小完全相同的长方形在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知A(－1，5)，则B点的坐标是( )
A．(－，) B．(－，) C．(－6，5) D．(－6，4)
【答案】A
6．某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、 工程，甲工程队晴天需要14天完成，雨天工作效率下降 ；乙工程队晴天需15天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了( )天.
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
【答案】C
【解析】设两工程队各工作了天，在施工期间有 天有雨，
由题意得，
解得
两个工程队各工作了17天.
7．如图，约定：上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数.有以下两个结论，结论Ⅰ：若的值为3，则 的值为4；结论Ⅱ：不论，取何值， 的值一定为3.下列判断正确的是( )
A. Ⅰ，Ⅱ都对 B. Ⅰ对，Ⅱ不对 C. Ⅰ不对，Ⅱ对 D. Ⅰ，Ⅱ都不对
【答案】D
【解析】结论Ⅰ：若的值为3，则 ，
解得
故Ⅰ不正确.
结论Ⅱ：
由，得 .
， .
的值为定值2，故Ⅱ不正确.
二、填空题
8．阳光农业生态园现要改造一个瓜果采摘园，将原本宽40 m的长方形园区划分为如图所示的多个完全一样的长方形种植区，则每个长方形种植区的长为____m，宽为____m.
【答案】30 10
9．李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间是固定的．现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55 min，加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85 min，则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需____min.
【答案】40
10．如图①，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长为18，宽为8的长方形(如图②)，则图②中(1)部分的面积是________.
【答案】104
11．如图，在长方形ABCD中，放入六个形状大小相同的长方形，若AD＝10 cm，FG＝2 cm，则图中空白部分的总面积是__________cm2.
【答案】32
12．小宇用完全相同的小长方形搭出艺术字“山西”的框架，若这两个字正好都可以放在如图所示的方框中，则每个小长方形的面积为__________.
【答案】1.25cm2
13．如图，在三角形ABC中，点D，E分别是边BC，AB的中点．若AC＝8，三角形ACD的周长为22，三角形ADE的周长比三角形BDE的周长大4，则BC＝__________．
【答案】10
14．古代中国是世界中心，诸多技艺均领先世界水平，榫卯 结构就是其中最为华丽的一点.榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式.已知有若干个相同的木构件，其形状如图①所示.当3个木构件紧密拼成一列时，总长度为，当9个木构件紧密拼成一列时，总长度为 ，如图②所示，则图①中的木构件长度为______.
【答案】6
【解析】设题图①中，去掉凸起部分的木构件长度为，凸起部分的长度为 ，
由题意得 解得
题图①中的木构件长度为
三、解答题
15．山水村为吸引游客，打造了如图所示的长方形园林景观，在阴影部分的正方形处建造面积相等的亭楼，长方形处建造面积相等的古代庭院，已知正方形的边长和长方形的宽相等，求整个阴影部分的面积．
解：设长方形的长为x m，宽为y m，根据题意，得解得∴整个阴影部分面积为40×40×2＋60×40×3＝3 200＋7 200＝10 400(m2)
16．一家商店进行装修．若请甲、乙两个装修队同时施工，8天可以完成装修；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天也可以完成装修．甲、乙两队单独完成装修各需多少天？
解：设甲队的工作效率为x，乙队的工作效率为y.由题意，得解得故甲、乙两队单独完成装修各需12天和24天
17．一项工程甲单独完成需要12天，乙单独完成需要18天，计划甲先做若干天后离去，由乙完成剩下的任务，实际上甲只做了自己计划的一半便因事而离去，后由乙单独承担，而乙完成任务的时间恰好是自己计划时间的2倍，问实际甲、乙各做了多少天？
解：设甲计划做x天，乙计划做y天，则解得所以x＝×8＝4，2y＝2×6＝12.答：实际甲做了4天，乙做了12天
18．刘爷爷计划在一块长为20 m，宽为17 m的长方形空地种上蔬菜，如图所示，在空地上留出三个完全相同的小长方形和四个完全相同的正方形(阴影部分)来种植番茄，其余部分种植辣椒．已知正方形的边长与小长方形的宽相等，请分别求出种番茄和辣椒的面积．
解：设小长方形的宽为x m，
长为y m，根据题图，得
解得
∴种植番茄的面积为2×2×4＋2×5×3＝46(m2)．
种植辣椒的面积为20×17－46＝294(m2)．
答：种植番茄的面积为46平方米，种植辣椒的面积为294 m2.
19．小明手中有块周长为82 cm的长方形硬纸片，若将该硬纸片的长减少5 cm，宽增加4 cm，就成为一个正方形硬纸片．
(1)求这块长方形硬纸片的长、宽各是多少；
(2)现小明想用这块长方形硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为5∶3，面积为375 cm2的新长方形纸片，请判断小明能否裁出，并说明理由．
解：(1)设这块长方形硬纸片的长为x cm，宽为y cm，根据题意，得解得
答：这块长方形硬纸片的长为25 cm，宽为16 cm.
(2)设新长方形纸片的长为5a cm，宽为3a cm，根据题意，得5a×3a＝375，a2＝25，
∵a＞0，∴a＝5.∵3a＝15＜16，5a＝25，
∴小明能够裁出符合条件的长方形纸片．
20．小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据(单位：m)，解答下列问题：
(1)用含x，y的代数式表示地面总面积；
(2)已知客厅面积比卫生间面积多21平方米，且地面总面积是卫生间面积的15倍．若铺1平方米地砖的平均费用为100元，那么铺地砖的总费用为多少元？
解：(1)由图可得地面的总面积为：3×4＋2y＋2×3＋6x＝(6x＋2y＋18)m2
(2)由题意得解得∴地面总面积为6x＋2y＋18＝45(m2)，∴铺地砖的总费用为45×100＝4 500(元)
21．在《二元一次方程组》这一章的复习课上，刘老师给出了下面的题目：
在某市“乡村振兴”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建一条4 000米长的公路，甲队每天修建200米，乙队每天修建250米，一共用18天完成．
(1)李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组请写出李东所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示_____________________，y表示__________________；该方程组中△处的数应是____，□处的数应是_______；
(2)陈彬同学的思路是想设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．下面请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？
解：(1)甲队修路的天数 乙队修路的天数 18 4000
(2)依题意得解得∴乙队修建的天数2 000÷250＝8(天).答：乙队修建了8天
22．问题情境：某综合实践小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动.
(1)综合实践小组利用边长为 的正方形纸板制作出两种不同的无盖长方体纸盒.
①根据图①方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板四角剪去四个同样大小，边长为 的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为_____ ；
【答案】484
②根据图②方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形(阴影部分)，再沿虚线折合起来，已知 ，求该长方体纸盒的体积.
解：如图①，设， ，
则， ，
，即
.
该长方体纸盒的体积为 .
(2)小明按照图①的方式用边长为 的正方形纸片制作了一个无盖的长方体纸盒，小明想利用这个纸盒研究无盖长方体纸盒的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为 ，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长.(求出所有可能的情况)
解：设小明剪去的小正方形的边长为 ，展开方式1如图②,
无盖长方体纸盒展开图的外围周长为 ， ，该方程无解.
展开方式2如图③,
无盖长方体纸盒展开图的外围周长为 ，
.
.
展开方式3如图④,
无盖长方体纸盒展开图的外围周长为 ，
.
.
展开方式4如图⑤,
无盖长方体展开图的外围周长为 ，
.
.
展开方式5如图⑥,
无盖长方体纸盒展开图的外围周长为 ，
.
综上所述，小明剪去的四个同样大小的小正方形的边
长为或或 .
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
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