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聊城市2025—2026学年2023级第二次模拟考试
数学试题答案及评分标准
卷一(选择题 共60分)
一、选择题:本大题20个小题,每小题3分,共60分.
1.B 【解析】因为A={x∈N|-22,4}={0,2}.
2.C 【解析】根据表中f(x)的对应值,得f(-1)=5,f(5)=2,f(2)=6,即f{f[f(-1)]}
=6.
3.B 【解析】因为z1=-2+3i,z2=5-4i,所以z1+z2=3-i,所以z1+z2=3+i.
4.C 【解析】因为奇函数f(x)的定义域为R,所以f(0)=0,即-2×0+b-1=0,解得b=
1,所以f(x)=-2x,故f(b)=f(1)=-2.
5.D 【解析】因为角α的终边经过点P(-3,4),所以r= x2+y2= (-3)2+42=5,由任
y
意角的三角函数的定义,得 4, x -3 3 3 4sinα=r=5 cosα=r= =-
,所以
5 5 cosα-sinα=-5-5
7
=-5.
6.D 【解析】因为向量a=(2,3),b=(m,-4),且a⊥b,所以a·b=2m-12=0,解得m=
6,所以b=(6,-4),|b|= 62+(-4)2= 52=2 13.
A 4
7.A 【解析】因为直线4x+2y-9=0的斜率k=- =- =-2,与它垂直的直线B 2 l
的斜
率为1,所以直线l的点斜式方程为
1 1
2 y+7=
(
2 x+2
),化为斜截式方程为y=2x-6
,故直线
l在y 轴上的截距为-6.
8.C 【解析】根据异面直线的定义可知A1D 与AC 为异面直线,因为AC∥A1C1,所以由等
角定理可推出A1D 与AC 所成的角等于A1D 与A1C1 所成的角,在△DA1C1 中,三边是三个
边长相等的正方形的对角线,故△DA1C1 为等边三角形,所以A1D 与A1C1 所成的角为60°,
即A1D 与AC 所成的角是60°.
9.D 【解析】先考虑参加数学大赛的同学,因为甲同学不参加数学大赛,所以参加数学大赛
的同学可以从除甲外的5位同学中选择,有C15 种选择方法;然后考虑参加英语和专业技能大
赛的同学,可以从包括剩余4位和甲在内的5位同学中选择,由于与顺序有关,所以有P25 种选
择方法.根据分步乘法计数原理,甲同学不参加数学大赛共有C1 25P5 种选择方法,所以甲同学不
C1P2
参加数学大赛的概率 5P= 5 5P3 =6 6
.
10.B 【解析】因为圆x2+y2-2x=0,所以该圆的圆心为(1,0),半径r=1.由条件“a=0”可
得直线为y-1=0,则圆心(1,0)到直线y-1=0的距离d=1=r,故该圆与直线y-1=0相
(数学试题答案及评分标准 共6页) 第 1页
切,所以由“a=0”能够推导出“直线ax-y+a+1=0与圆x2+y2-2x=0相切”;而当“直线
|2a+1|
ax-y+a+1=0与圆x2+y2-2x=0相切”时,根据d=r得到 =1,解得a=0
a2+(-1)2
或 4a=- ,所以由条件“直线3 ax-y+a+1=0
与圆x2+y2-2x=0相切”不能推导出“a=
0”作为结论,因此“直线ax-y+a+1=0与圆x2+y2-2x=0相切”是“a=0”的必要不充分
条件.
2
11.C 【解析】根据随机变量X 的分布列的性质“概率之和等于1”,可得5+m+1-3m=1
,
解得 1m= ,所以
2 2 1 2
5 1-3m=
,所以 ( )
5 E X =1×5+2×5+3×5=2.
12.A 【解析】因为a3 是4和25的等比中项,且a3>0,所以a3= 4×25=10,又因为a1=
-4,所以a3-a1=2d,即10-(-4)=2d,解得d=7,因此a5=a3+2d=10+2×7=24.
3 3
13.A 【解析】由sin(π+α)= ,得 ,结合同角三角函数的平方关系及 是第三5 sinα=-5 α
3
象限角,得 4 sinα
-5 3 π
cosα=- 1-sin2α=- ,由商数关系,得tanα= = = ,因此5 cosα 4 4 tan(4+
-5
π 3
tan
) 4
+tanα 1+4
α = π = 3=7.
1-tan4tanα 1-4
14.C 【解析】由抛物线y2=8x,得p=4,准线方程为x=-2;将抛物线上的点 P(m,
2 10)代入y2=8x,得m=5;结合抛物线的定义,得|PF|=点P 到准线的距离=P 点横坐
p
标的绝对值+2=5+2=7.
15.D 【解析】将5位专家医生分为3个服务小组,每组至少有1位专家医生,可分类讨论:
①一个组3人,另外2个组每组1人;②一个组1人,另外2个组每组2人,组内人数与顺序无
关,用组合和平均分组知识解决问题.①分组方法种数为C3 15C2÷2=10,②分组方法种数为
C1C2C25 4 2÷2=15.根据分类加法计数原理,所有不同的分组方法种数是10+15=25.
16.B 【解析】因为三个内角A,B,C 成等差数列,所以2B=A+C,结合三角形内角和A+
B+C=180°,可得B=60°.在△ABC 中,由余弦定理,得 AC2=AB2+BC2-2AB·BC·
1
cosB=52+42-2×5×4× =21,所以2 AC= 21.
17.A 【解析】根据已知条件质量指标X 服从正态分布N(4,σ2),可知正态分布曲线的对称
轴为直线x=4,又因为X=0.7与X=7.3关于直线x=4对称,P(X≥7.3)=0.18,所以P(X
≤0.7)=0.18,结合正态分布曲线概率用面积来表示,可知P(0.7=0.5-0.18=0.32.
n
18.D 【解析】由二项式 ( 12x-x ) 的展开式中二项式系数之和等于2n,得2n=16,解得n=
(数学试题答案及评分标准 共6页) 第 2页
,所以二项展开式的通项公式为 k·( 1
k
4 C4 2x)4-k· (- ) =Ck·24-k4 ·( )k· 4-2k,因为要x -1 x
求展开式中的常数项,所以令4-2k=0,解得k=2,此时常数项T 23=C4×22×(-1)2=24.
19.D 【解析】选项A,考查两个平面平行的判定,其判定内容是如果一个平面内的两条相交
直线都平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行,而本选择项只是平面α内的一
条直线l平行于平面β内的一条直线m,所以平面α与平面β可能平行或相交,A选项错误;选
项B,考查两个平面垂直的判定,判定内容是如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面,
那么这两个平面垂直,而本选择项平面α内的直线l垂直于平面β内的直线m,所以平面α与
平面β可能垂直或相交,B选项错误;选项C,考查两个平面垂直的性质,性质内容是如果两个
平面垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面,而本选择项平面β内的一
条直线m 没有垂直于两个平面的交线,所以直线m 与平面α可能平行或相交,C选项错误;选
项D,考查两个平面平行的性质,性质内容是如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线
必平行于另一个平面,本选择项符合两个平面平行的性质定理,D选项正确.
【解析】由椭圆x
2 y2
20.B a2+ 2=1
(a>b>0),得A(-a,0),B(0,b),所以AB→=(a,b);因为b
右焦点F2(,),且
1 3 3 3
c0 |F2Q|=2|OF2|
,所以|OQ|= |OF2|= c,可设P ( c,y0 ),则 →2 2 2 OP
(3 , 3 3bc 3 3bc= 2cy );因为AB
→
0 =λOP→(λ∈R),所以ay0= bc,即y0= ,因此P ( c, ),将其代2 2a 2 2a
(3 )22c (
3bc 2
2a ) 2 c2入椭圆的标准方程中,得 2 2
a2 + 2 =1
,整理得c2b = a
2,故e2= 2= ,9 a 9e=3.
卷二(非选择题 共60分)
二、填空题:本大题5个小题,每小题4分,共20分.
21.-4050 【解析】根据f(m+n)=f(m)·f(n)可推知:f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1),
f(
得到 2
) ()
()=f(1)=-2;f(3)=f(2+1)=f(2)·f(1),
f
得到 3
1 (2)=f
(1)=-2;…;
f f
f(2026) f(2) f(3) f(4) f(2026)
f(
()
2025)=f1 =-2
,故
f(1)
+
f(2)
+
f(3)
+…+
f(
( ) ( ) …
2025)=-2+ -2 + -2 + +
(-2)=-2×2025=-4050.
22.4 【解析】因为圆(x+1)2+(y-3)2=9,所以圆心坐标为(-1,3),半径r=3,圆心到弦
AB 中点(1,2)的距离d= (1+1)2+(2-3)2= 5,由弦长公式得|AB|=2 r2-d2=2×
32-(5)2=4.
33
23. 【解析】由
π π 5 π
65 0<α<β<
,得
2 -2<α-β<0
,由cos2β= ,知 ,又因为13 0<2β<2
( ) 4
2
cosα-β = ,所以sin(
4 3
5 α-β
)=- 1-cos2(α-β)=- 1- (5 ) =- ,5 sin2β=
5 2 12
1-cos22β= 1- ( ,所以13) =13 sin(α+β)=sin[(α-β)+2β]=sin(α-β)·cos2β+
(数学试题答案及评分标准 共6页) 第 3页
( )· 3 5 4 12 33cosα-β sin2β=-5×13+5×13=65.
24.6 【解析】由sinA∶sinB∶sinC=3∶4∶5及正弦定理,得a∶b∶c=3∶4∶5,设a=
3k,b=4k,
1
c=5k,因为(5k)2=(3k)2+(4k)2,即c2=a2+b2,所以C=90°,所以S△ABC=2ab
1
= ×3k×4k=24,解得k=2(负值舍去),所以△ABC 的最小边2 a=3k=6.
25.120 【解析】设商场销售价应定为x 元,根据商品买卖公式:总利润=每件商品的利润×
销售的件数,得(x-100)[80+(130-x)×4]≥2400,解得120≤x≤130,因为要最大程度让
利于顾客,所以x 取120,即商场销售价应定为120元.
三、解答题:本大题5个小题,共40分.
26.解:(1)因为奇函数f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0},函数的图像经过点(-3,-6),
(-1,2),
所以该函数的图像也经过点(3,6),(1,-2), ……………………………………………… 1分
因为当x>0时,f(x)=ax+b,
3a+b=6,
所以把点(3,6),(1,-2)分别代入f(x)=ax+b,得{a+b=-2,
{a=4,解得 b=-6,
所以f(x)=4x-6; ………………………………………………………………………… 1分
当x<0时,-x>0,
此时f(-x)=4(-x)-6=-4x-6,
因为f(x)为奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-(-4x-6)=4x+6.…………………………………………… 1分
4x-6,x>0,
所以函数f(x)的解析式为f(x)={ ………………………………………… 1分4x+6,x<0.
(2)当x<0时,f(x)为增函数,……………………………………………………………… 1分
证明如下:
设x1,x2∈(-∞,0)且x1则f(x1)-f(x2)=(4x1+6)-(4x2+6)=4(x1-x2)<0,即f(x1)所以当x<0时,f(x)是增函数. …………………………………………………………… 2分
27.解:(1)由S4-S2=12,得a4+a3=12,………………………………………………… 1分
又因为a2=2,公比q>0,
所以aq22 +a2q=12,即2q2+2q-12=0,
解得q=2, …………………………………………………………………………………… 1分
a
所以a 21= =1,……………………………………………………………………………… 1分q
因此数列{a }的通项公式为a =aqn-1n n 1 =2n-1.…………………………………………… 1分
(2)因为bn=log2a +3nn ,an=2n-1,
所以bn=n-1+3n=n+3n-1, …………………………………………………………… 1分
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所以Tn=b1+b2+b3+…+bn
=(1+31-1)+(2+32-1)+(3+33-1)+…+(n+3n-1)
=(1+2+3+…+n)+(31+32+33+…+3n)-n ………………………………………… 1分
n(n+1) 3×(1-3n)
= 2 + 1-3 -n
1 n+1
= n2
1 3 3
2 -2n+ 2 - .
…………………………………………………………………… 2分2
28.(1)证明:因为PD⊥底面ABCD,AC 平面ABCD,
所以PD⊥AC, ……………………………………………………………………………… 1分
因为底面ABCD 是正方形,
所以AC⊥BD,
又因为PD∩BD=D,PD 平面PDB,BD 平面PDB,
所以AC⊥平面PDB,………………………………………………………………………… 2分
又因为AC 平面AEC,
所以平面AEC⊥平面PDB.………………………………………………………………… 1分
(2)解:设对角线AC,BD 相交于点O,连接EO(图略),
由(1)知,AC⊥平面PDB,
所以AO⊥平面PDB,垂足为点O,
所以AE 与平面PDB 所成的角就是∠AEO.……………………………………………… 1分
在Rt△AEO 中,
1 1
AO= AC= AB2+BC2= 2,……………………………………… 1分2 2
因为点E 为PB 的中点,O 为BD 的中点,
所以EO 是△PDB 的中位线,
所以 1EO= PD= 6, ……………………………………………………………………… 1分2
所以 AO 2 3tan∠AEO= = = ,EO 6 3
所以AE 与平面PDB 所成角∠AEO=30°.………………………………………………… 1分
29.解:(1)因为函数f(x)=Asin(
π
ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ< ) 的图像与x 轴两个相邻交2
点的距离为π,
2
所以 2πT=π= ,ω
解得ω=2, …………………………………………………………………………………… 1分
因为图像上一个最低点坐标为 (2π,3 -2),
所以A=2, …………………………………………………………………………………… 1分
且 (2πf 3 )
2π
=2sin(2×3+φ)=-2,
解得 πφ=2kπ+ , ,6 k∈Z
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又因为 π0<φ< ,2
所以 πφ= ,…………………………………………………………………………………… 分6 1
所以f(
π
x)=2sin(2x+ ) .………………………………………………………………… 1分6
(2)因为f(A)=2sin( π2A+ ,即 π 1,6 )=1 sin(2A+6 )=2
又 ,即π π 13π0,
6
所以 π 5π2A+6=
,
6
解得 πA= ,…………………………………………………………………………………… 分3 1
因为a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc,且a2=bc,
所以b=c,……………………………………………………………………………………… 2分
所以△ABC 是等边三角形.…………………………………………………………………… 1分
ì b2 =63,
π
tan
30.解:(1)由题意得 í 6 ………………………………………………………… 2分

4 6 a2-b2=1
,
{a= 2,解得 …………………………………………………………………………………… 2分b= 6,
2 y2
所以双曲线C 的标准方程为
x
- =1.……………………………………………………2 6 1
分
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),
ìx- y+m=0
,
联立方程 íx2 y2
2-6=1
,

消去y,整理得2x2-2mx-m2-6=0,
2
由根与系数的关系,得 , -m -6x1+x2=m x1x2= ,……………………………………… 1分2
3m2所以 -6y1y2=(x1+m)(x2+m)=x 21x2+m(x1+x2)+m = ,…………………… 1分2
因为OM→·ON→=-2,OM→=(x1,y1),ON→=(x2,y2),
-m2所以 -6 3m
2-6
x1x2+y1y2= + =-2,……………………………………………… 1分2 2
解得m=±2,经检验符合题意.……………………………………………………………… 1分
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