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第十二章 数据的收集、整理与描述
12.2.2 直方图
1.了解频数、直方图的概念.
2.明确频数分布直方图的制作步骤，会制作频数分布直方图.
3.能从频数分布直方图中获取有关信息，作出合理的判断和预测.
情境 为了举办运动会，学校准备从七年级学生中挑选身高接近的40人组成入场式仪仗队．有63人报名参加选拔，他们的身高（单位：cm）数据如下表所示．
158 158 160 168 159 159 151 158 159
168 158 154 158 154 169 158 158 158
159 167 170 153 160 160 159 159 160
149 163 163 162 172 161 153 156 162
162 163 157 162 162 161 157 157 164
155 156 165 166 156 154 166 164 165
156 157 153 165 159 157 155 164 156
选择身高在哪个范围的学生可以使仪仗队看起来比较整齐？
活动：阅读情境中的相关内容，与同桌共同讨论完成下列问题.
问题1：应该选择身高在哪个范围内的同学参加呢 我们应该怎么做
为了使选取的参赛选手身高比较整齐，需要知道数据(身高)的分布情况.为此可以通过对这些数据适当分组来进行整理.
问题2：请找出上述数据的的最大差值，这个最大差值说明了什么
问题3：确定合适的组距并根据组距计算分组数量.
1.计算最大值与最小值的差
在下表的数据中，最大值是172，最小值是149；
172-149=23
最大值与最小值的差是23，说明身高的变化范围是23.
158 158 160 168 159 159 151 158 159
168 158 154 158 154 169 158 158 158
159 167 170 153 160 160 159 159 160
149 163 163 162 172 161 153 156 162
162 163 157 162 162 161 157 157 164
155 156 165 166 156 154 166 164 165
156 157 153 165 159 157 155 164 156
2.决定组距和组数
把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点间的距离 (组内数据的取值范围)称为组距. 根据问题需要，各组的组距可以相同或不同.
在本问题中，我们作等距分组，即令各组的组距相同. 如果从最小值起每隔 3 作为一组，那么由于
所以要将数据分成8组：149≤ x＜152，152 ≤ x＜155，…，170 ≤ x＜173.其中x表示身高值. 这里组距和组数分别为 3 和 8.
组距和组数的确定没有固定的标准，要凭借经验和所研究的具体问题来决定，将一批数据分组，一般数据越多，分的组数也越多，当数据在100个以内时，按照数据的多少，常分成5~12组.
3.列频数分布表
对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据的个数叫作频数. 整理可得下面的频数分布表：
频数分布表
身高分组 划记 频数
149≤ x＜152 2
152 ≤ x＜155 6
155 ≤ x＜158 12
158 ≤ x＜161 19
161 ≤ x＜164 10
身高分组 划记 频数
164≤ x＜167 8
167 ≤ x＜170 4
170 ≤ x＜173 2
合计 63
想一想：上面对数据进行分组时，组距取3，把数据分成8组. 如果组距取2或4，那么数据分成几个组？这样能否选出需要的40名同学呢？
组距取2时，分成12个组，能选出需要的40名同学；
组距取4时，分成6个组，不能选出需要的40名同学.
4.画频数分布直方图
为了更直观形象地看出频数分布的情况，可以根据频数分布表画出频数分布直方图：
横轴表示身高.
纵轴表示频数与组距的比值.
小长方形的面积
＝组距× ＝频数
频数分布直方图是以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的频数的大小，小长方形的高是频数与组距的比值.
思考：上述的频数直方图还可以怎样画呢？
可以发现，等距分组时，各小长方形的面积(频数)与高的比是常数(组距). 因此，画等距分组的频数分布直方图时，为画图与看图方便，还可直接用小长方形的高表示频数.
从频数分布表和频数直方图中可以看出，身高在155因此，可以从身高在155 cm至164 cm(不含164 cm)范围的同学中挑选仪仗队队员.
问题4：根据下表中的分布情况，你觉得应选取哪些数据范围内的学生参加仪仗队
绘制频数分布直方图的一般步骤：
（1）求:求最大值与最小值的差，确定统计量的范围；
（2）定:确定组距和组数并进行分组.（数据个数在100以内，一般分5至12组）；
（3）列:数出每一组频数，列频数分布表；
（4）画:根据分组和频数，画频数分布直方图.
例1：为了考察某种大麦穗长的分布情况，在一块试验田里抽取了 100 根麦穗，量得它们的长度(单位：cm)如下表所示.
在工农业生产和科学试验中，也常用直方图描述数据的频数分布情况.
6.5　 6.4　6.7　 5.8　 5.9　5.9　5.2　 4.0　 5.4　4.6
5.8　 5.5　6.0　 6.5　 5.1　6.5　5.3　 5.9　 5.5　5.8
6.2　 5.4　5.0　 5.0　 6.8　6.0　5.0　 5.7　 6.0　5.5
6.8　 6.0　6.3　 5.5　 5.0　6.3　5.2　 6.0　 7.0　6.4
6.4　 5.8　5.9　 5.7　 6.8　6.6　6.0　 6.4　 5.7　7.4
6.0　 5.4　6.5　 6.0　 6.8　5.8　6.3　 6.0　 6.3　5.6
5.3　 6.4　5.7　 6.7　 6.2　5.6　6.0　 6.7　 6.7　6.0
5.5　 6.2　6.1　 5.3　 6.2　6.8　6.6　 4.7　 5.7　5.7
5.8　 5.3　7.0　 6.0　 6.0　5.9　5.4　 6.0　 5.2　6.0
6.3　 5.7　6.8　 6.1　 4.5　5.6　6.3　 6.0　 5.8　6.3
解：(1) 计算最大值与最小值的差.
最大值是 7.4，最小值是 4.0，它们的差是 7.4－4.0=3.4.
(2) 决定组距与组数.
在本例中，最大值与最小值的差是 3.4.
如果取组距为0.3，那么由于，
所以可分成 12 组，组数适合.
于是取组距为 0.3，组数为 12.
问题：列出样本的频数分布表，画出频数分布直方图，并估计这种大麦穗长的分布情况.
分组 划记 频数
4.0≤x＜4.3 1
4.3≤x＜4.6 1
4.6≤x＜4.9 2
4.9≤x＜5.2 5
5.2≤x＜5.5 11
5.5≤x＜5.8 15
5.8≤x＜6.1 28
分组 划记 频数
6.1≤x＜6.4 13
6.4≤x＜6.7 11
6.7≤x＜7.0 10
7.0≤x＜7.3 2
7.3≤x＜7.6 1
合计 100
（3）列频数分布表
(4) 画频数分布直方图.
从频数分布表和频数分布直方图看到，麦穗长度大部分落在5.2 cm至7.0cm(不含7.0cm)的范围，落在其他范围的较少. 长度在5.8≤x<6.1范围的麦穗根数最多，有28根. 而长度在4.0≤x<4.3，4.3≤x<4.6，4.6≤x<4.9，7.0≤x<7.3，7.3≤x<7.6范围的麦穗根数很少，总共只有7根.
由此可以估计这种大麦穗长主要分布在5.2 cm至7.0 cm(不含7.0 cm)的范围，其中穗长在5.8 cm至6.1 cm(不含6.1 cm)范围的大麦最多.
思考：比较条形图和直方图，它们在描述数据方面各有什么特点？
条形图 直方图
数据类型
用途
外观
方向 用于表示分类数据，每个条形代表一个类别或一个特定的值
用于表示连续数据的频率分布.数据被分成若干个区间，每个区间代表一个范围
比较不同类别之间的数量或频率
展示数据的分布情况
条形之间通常有空隙
条形之间没有空隙
通常是垂直的，但也可以是水平的
下面是从蔬菜大棚中收集到50株番茄上的果实个数：
请按组距为10将数据分组，列出频数分布表，画出频数分布直方图，并分析这50株番茄上果实个数分布的情况.
28 62 54 29 32 47 68 27 55 43
36 79 46 54 25 82 16 39 32 64
61 59 67 56 45 74 49 36 39 52
85 65 48 58 59 64 91 67 54 57
68 54 71 26 59 47 58 52 52 70
解:这组数据中，最大值是91，最小值是16，极差为91-16=75.
列出频数分布表.
画出频数分布直方图如图所示.
从表和图可以看出，这50株番茄上果实个数大部分落在26~86的范围，落在其他范围的较少.
因为组距为10，所以可以将其分为8组:
直方图
计算最大值与最小值的差
确定组数和组距并进行分组
统计每组中数据的频数，列频数分布表
画频数分布直方图
用频数直方图表示数据
制作频数直方图
1.班长收集了全班同学的语文成绩，其中成绩最高的为 94 分，最低的为 68 分. 若取组距为 5，则这组数据可以分成( )
A. 5 组
B. 6 组
C. 7 组
D. 8 组
B
2. 为了解公园用地面积x(单位：公顷)的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用地面积，按照0＜x≤4，4＜x≤8，8＜x≤12，12＜x≤16，16＜x≤20的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是( )
A. a的值为20
B. 用地面积在8＜ x ≤ 12这一组的公园个数最多
C. 用地面积在4＜x ≤ 8这一组的公园个数最少
D. 这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷
B
3.如图，小强统计了他家 5 月份的电话明细清单，按通话时间绘制成如图所示的频数直方图 (每组含前一个边界值，不含后一个边界值). 给出以下结论：
①组数是 5；
②组距是 10；
③小强家 5 月份的通话次数为 50 次；
④通话时间在 30 ~ 50 min 范围内的次数占总通话次数的 40%.
其中正确的结论有 _______ .
①②③
4. 为增强学生安全意识，某校举行了一次全校3000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（D：60≤x＜70；C：70≤x＜80；B：80≤x＜90；A：90≤x≤100），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：n＝ ，m＝ ；
150
36
D等级学生有：150﹣54﹣60﹣24＝12（人）.
12
（2）请补全频数分布直方图；
（3）扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为 　 　度；
144
（4）若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数．
∵3000×16%＝480（人），
∴该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数约为480人．
12

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