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6.1 课时1 平行四边形的边、角性质
第六章 平行四边形
1.了解平行四边形有关概念和表示方法；
2.探索并掌握平行四边形的性质，并能简单应用.
平行四边形在日常生活中经常见到.观察下图，说说哪些图形是平行四边形？
生活中还有哪些其他的例子？
问题1：观察图形，说出下列图形边的位置有什么特征？
两组对边都不平行
一组对边平行，
一组对边不平行
两组对边分别平行
问题2：我们以前对平行四边形是怎么定义的？
探究点1：平行四边形的相关概念
平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
几何语言表述：
∵AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫作它的对角线.
A
B
D
C
记作：□ABCD. 读作：平行四边形 ABCD.
1．如图，两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形ABCD，这个四边形ABCD是______________.
平行四边形
活动1 如图，把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起，在它们的对角线交点处钉一个图钉 O，将其中一个平行四边形绕 O 旋转 180°，
A
C
D
B
O
探究点2：平行四边形的对称性
1.旋转后的结果是怎样的？由此从图形运动的角度思考，平行四边形可能有怎样的性质？
2.如何验证？
□ ABCD 绕它的对角线交点 O 旋转 180° 后与自身重合，故□ ABCD 是中心对称图形，
两条对角线的交点 O 是它的对称中心.
平行四边形的对称性
2.下列关于平行四边形的对称性的描述，错误的是(　　)
A．平行四边形一定是中心对称图形
B．平行四边形一定是轴对称图形
C．平行四边形的对称中心是两条对角线的交点
D．平行四边形的对称中心只有一个
B
活动2 将两个全等的三角形纸片相等的边重合在一起，如何拼出平行四边形？能拼出几个？与同学交流你的拼法，并把它展示出来.
1.从拼图角度说说，平行四边形对角与对边有怎样的特点？如何验证？
平行四边形的对边相等，对角相等.
探究点3：平行四边形边和角的性质
方法1：度量法
A
B
C
D
这个方法准确吗？
证明：平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形.
A
B
C
D
四边形问题
转化
三角形问题
方法2：推理证明
证明：如图，连接 AC.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥CD，BC∥DA.
∴∠1 =∠2，∠3 =∠4.
∵ AC = CA，
∴△ABC≌△CDA(ASA).
∴ AB = CD，BC = DA.
已知：四边形 ABCD 是平行四边形.
求证：AB = CD，BC = DA.
又∵∠1 =∠2，∠3 =∠4，
∴∠1 +∠4 =∠2 +∠3，
∠B =∠D
即∠BAD =∠DCB.
1
4
2
3
A
B
C
D
如何证明平行四边形的对角相等？
思考：不添加辅助线，如何直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？
A
B
C
D
证明：∵ AB∥DC，
∴∠B +∠C = 180°，
∵ AD∥BC，
∴∠A +∠B = 180°.
∴∠C =∠A.
同理，∠B =∠D.
定理 平行四边形的对边相等；
定理 平行四边形的对角相等.
对边相等
对角相等
∴ AD = BC，AB = DC.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠A =∠C，∠B =∠D.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
几何语言：
A
B
C
D
例1.已知□ ABCD，E，F 是对角线 AC 上的两点，并且 AE = CF，
求证：BE = DF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE =∠DCF.
∴△ABE≌△CDF (SAS).
∴ AB = CD，AB∥CD.
又∵ AE = CF，
∴ BE = DF.
A
D
B
C
E
F
1.在 ABCD中，AB＝4，BC＝5，则 ABCD的周长为(　　)
A．18 B．9 C．6 D．3
A
2.如图，在 ABCD中，AE⊥CD，垂足为E。若∠B＝53°，则∠DAE的度数为(　　)
A．33°
B．37°
C．53°
D．57°
B
3. 如图，在□ ABCD 中，
(1) 若∠A = 130°，则∠B =_____° ，∠C =_____°， ∠D =_____°.
(2) 若∠A +∠C = 200°，
则∠A =_____° ，∠B =_____°.
(3) 若∠A∶∠B = 5∶4，则∠C =____°，∠D =____°.
(4) 若 AB = 3，BC = 5，则它的周长为_____.
C
D
A
B
50
130
50
100
80
100
80
16
4.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，且DE∥AC，EF∥AB，DF∥BC，则图中的平行四边形共有_______个.
3
证明： ∵ 四边形 BEFM 是平行四边形，
∴ BM = EF，AB//EF.
∵ AD 平分∠BAC，
∴ ∠BAD =∠CAD.
∵ AB // EF，
∴ ∠BAD =∠AEF，∠CAD =∠AEF，
∴ AF=EF，AF = BM.
5.如图，在△ABC 中， AD 平分∠BAC，点 M，E，F 分别是 AB，AD， AC 上的点，四边形 BEFM 是平行四边形.求证：AF = BM.
平行四边形
中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
对称性
定义
性质
对边平行，
对边相等，
对角相等

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