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5.3 课时2 解分式方程
第五章 分式与分式方程
1.掌握解分式方程的基本思路和步骤.
2.理解增根的概念及其产生的原因，掌握检验根的方法.
你还记得上节课是如何解分式方程- = 的吗？
解分式方程的基本思路：
是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.
解分式方程后为什么还要检验呢？
例 解方程： = .
解：因为分式中分母不能为零，所以x≠2，且x≠0.
化成一元一次方程求解
方程的两边都乘x(x-2)，得x=3(x-2).
解这个方程，得x=3.
检验：将x=3代入原方程，得左边=1，右边=1，左边=右边.
所以，x=3是原方程的根.
解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程 .
具体做法：去分母 (即方程两边同乘最简公分母).
方程两边都乘以x-2,得：1-x=-1-2(x-2)
解这个方程，得：x=2
在解方程时，小亮的解法如下：
x=2是不是原分式方程的解？
检验：将x=2代入原分式方程中，左边和右边分母都为0，分式无意义，因此x=2不是原分式方程的解.
在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0．
思考：上面两个分式方程的求解过程中，同样是去分母将分式方程化为整式方程，为什么整式方程 x＝3(x－2)的解x＝3是分式方程 = 的解，而整式方程1-x=-1-2(x-2)的解x=2却不是分式方程的解？
分式 = 两边同乘了不为0的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同.
分式两边同乘了等于0的式子，所得整式方程的解使分母为0，这个整式方程的解就不是原分式方程的解.
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫作原方程的增根 .
增根产生的原因： 对于分式方程，当分式中分母的值为零时无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.
当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的取值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.
产生增根的原因什么？
所以分式方程的解必须检验
检验的方法主要有两种：
（1）将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；
（2）将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0．
(1)回顾解分式方程的过程，你能概括出解分式方程的基本思路吗？
解分式方程基本思路
分式方程
x=a是分式方程的解
整式方程
x=a
x=a不是分式方程的解
目标
解整式方程
检验
最简公分母不为0
最简公分母为0
分式基本性质
1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2.解这个整式方程.
3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去.
4.写出原方程的根.
简记为：“一化二解三检验”
(2)试概括出解分式方程的一般步骤.
1. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同乘（ ）
A.2x-4 B.3x
C.3 (2x-4) D.3x (2x-4)
D
2．(1)分式方程的解是 　 　；
(2)分式方程的解为 　 　．
x＝1
x＝3
检验：当时，2x(x +2)≠0.
3.解方程：
解：方程两边乘各分母的最简公分母x (x – 1)(x + 1)，得
5(x – 1) – (x + 1) =0.
解得
因此是原分式方程的解.
4.已知关于x的分式方程的解与方程的解相同，求a的值.
解：解分式方程，得x=2.
经检验，x=2是原方程的解.
因为关于x的分式方程的解与方程的解相同.
所以将x=2代入，可得. 解得a=-3.
经检验，a=-3是方程的解，所以a=-3.
可简写成这种形式
解分式方程的一般步骤如下：
分式方程
去分母
整式方程
x = a
解整式方程
x = a 是分式
方程的解
最简公分母不为0
最简公分母为0
x = a 不是分式方程的解
检验

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