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5.1 课时2 分式的基本性质及约分
1. 掌握分式的基本性质.
2. 会运用分式的基本性质进行分式的约分.
一辆匀速行驶的汽车，如果8 min行驶2 km，2 min行驶0.5 km，那么火车的速度可以表示为多少km/min?
28=2÷28÷2=14
?
0.52=0.5×22×2=14
?
分数的基本性质：
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于0的数，分数的值不变.
上面的变形依据是什么？
思考：类比分数的基本性质，你能根据下面的变形猜想分式有什么性质吗？
(1) 3????=62????
?
(2) ????????????=????????????????
?
(3) ????????????=1????
?
(4) ????????=????????+????????????+???? (????+????≠0)
?
问题 我们知道28 = 14，你认为????????2与1????相等吗?
?
这一性质可以用式子表示为：
ba=b?ma?m，ba=b÷ma÷m?(m≠0).
?
分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.
在分数的基本性质中，“数”是一个具体的、唯一确定值.
在分式的基本性质中，“整式”的值随整式中的字母的取值不同而变化.
注意事项:
(1)分子和分母同时做“乘法（或除法）”运算；
(2)乘（或除以）的对象必须是同一个不等于0的整式.
例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1)????2????=????????2????????(????≠0) ; (2) ????????????????=???????? .
?
分子乘以y
分母乘以y
解：(1)分式????2????的分子与分母乘同一个不等于0的整式y，分式的值不变，即 ????2????=????·????2????·????=????????2????????
?
解：(2)分式????????????????的分子与分母除以同一个不等于0的整式x，分式的值不变，即????????????????=????????÷????????????÷????=????????
?
分子除以x
分母除以x
例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1)????2????=????????2????????(????≠0) ; (2) ????????????????=???????? .
?
为什么x≠0？
(2) x2?1x2?2x+1=(x+1)(x?1)(x?1)2=x+1x?1.
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解：(1) a2bcab=ab?acab=ac.
?
例2 化简下列分式：
(1) a2bcab；????? (2) x2?1x2?2x+1.
?
分子、分母同时约去整式ab.
分子、分母同时约去整式x-1
把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.
注意：分式的约分是恒等变形，所以约分不改变分式的值.
(1) 当分式的分子、分母都是单项式时，直接约去分子、分母的公因式(即分子、分母系数的最大公因数与分子、分母中相同字母的最低次幂的乘积)；
(2) 当分式的分子或分母是多项式时，应先对多项式进行因式分解，找出分子、分母的公因式，再约分.
约分的方法
1.化简分式：5xy20x2y.
?
解：5xy20x2y?= 5xy4x·5xy = 14x.
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练一练
在化简5xy20x2y时，小宇和小丽的做法分别如下：
?
5xy20x2y?= 5x20x2?
小宇
?
5xy20x2y?= 5xy4x·5xy = 14x.
小丽
?
对于两人的做法，你有什么看法?
分子分母没有公因式
分子分母存在公因式
最简分式：分式的分子和分母没有公因式，这样的分式称为最简分式.
化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式.
A
2.下列分式是最简分式的是(　　)
练一练
思考 (1) ?x?y与xy有什么关系?
(2) ?xy?， x?y与?xy有什么关系?
?
?x?y = xy.
?xy?= x?y = ?xy.
?
分式的符号法则：由分式的基本性质可知将分式的分子、分母与分式本身的符号同时改变其中的两个，分式的值不变.
即AB?= ?A?B?=???AB?=??A?B 或?AB?= ? ?A?B?= ?AB?= A?B?.
?
注意：当分式的分子、分母是多项式时，不要把分子或分母第一项的符号误认为是分子或分母的符号.
如：??????2??????2≠?????2?????2
?
3.分式13?x可变形为 (　　)
A. 13+x B. ?13+x C. 1x?3 D. ??1x?3
?
D
练一练
1. 下列各式正确的是(　　) (????≠0).
A. ab=abb2 B. ab=a+cb+c C. ab=a2b2 D. ab=a2ab
?
D
2. 填空：
(1) 2xx?y =(??????? ???????)(x?y)(x+y)(x+y≠0)； (2) y+2y2?4 =1(??????????????).
?
2x2+2xy
?
y-2
3. 化简下列分式：
(1) ?14mn2k4m2n ；(2) x?y(x?y)3?；(3) 4?x2x2?2x?.
?
解：(1) ?14mn2k4m2n = ?2mn·7nk2mn·2m = ??7nk2m.
(2) x?y(x?y)3 = x?y(x?y)2(x?y) = 1(x?y)2.
(3) 4?x2x2?2x = ?(x2?4)?x(x?2) =??(x+2)(x?2)x(x?2) =??x+2x.
?
4. 先化简，再求值：
(1) 3y?xyx2?3x，其中x=-1，y=2；
(2) x2?9y2?x2+6xy?9y2，其中x-5，y=-1.
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解：(1) 原式= y(3?x)x(x?3)=?yx.
当x=-1，y=2时，原式= ?2?1?=2.
(2) 原式= (x+3y)(x?3y)?(x?3y)2?= ?x+3yx?3y?.
当x=5，y=-1时，原式=?5?35+3 = ?14.
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分式的基本性质及约分
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.
基本性质
约分
最简分式
把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分
分式的分子和分母没有公因式，这样的分式称为最简分式
ba=b?ma?mba=b÷ma÷m?(m≠0)

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