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4.2 课时2 公因式为多项式的因式分解
能准确地找出各项的多项式公因式进行因式分解.
2. 能运用整体思想进行因式分解.
1.分解因式：.
解：
)
注意：多项式的第一项系数为负数时，先提取“-”号，注意多项式的各项变号.
2.公因式的确定：定系数，定字母，定指数.
例如，多项式的公因式为:
思考：
（1）提公因式时，公因式可以是多项式吗？
（2）若公因式为多项式，怎样运用提公因式法分解因式？
最大公约数
相同的字母
最低次幂
因式分解：
（1）多项式的公因式是什么？
（2）如何将多项式因式分解？
分析：设，则原式变形为，
∴ ，
即
可将看做整体.
整体思想
因式分解：
解：
因式分解
多项式乘多项式
注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
例1.因式分解：
解：
1．把多项式(m＋1)(m－1)＋(m－1)提取公因式(m－1)后，另一个因式为(　　)
A．m＋1 B．2m
C．m－1 D．m＋2
D
2.分解因式：
(1)x(x＋y)－y(x＋y)＝_____________；
(2)m(x－y)－m2(x－y)2 ＝____________________。
(x＋y)(x－y)
m(x－y)(1－mx＋my)
请在下列各等号右边的括号前填入“”或“”，使等式成立.
(1) ； (2)
(3) (4) ；
；(6)-s2+t2= （s2-t2）.
观察：以上各多项式有什么特点？
只有符号不同
两个只有符号不同的多项式是否有关系，有如下判断方法：
(1)当相同字母前的符号相同时,两个多项式相等.
如: 和，即 ；
(2)当相同字母前的符号均相反时,则两个多项式互为相反数.
如: 和 ，即 .
对于底数不同的多项式，乘方等式规律如下：
（1）与互为相反数：
与互为相反数：
（2）与互为相同数：
(a-b)n = (b-a)n (n是偶数)
(a-b)n = -(b-a)n (n是奇数)
(a+b)n = (b+a)n (n是整数)
(-a-b)n = (a+b)n (n是偶数)
(-a-b)n = -(a+b)n (n是奇数)
例2.因式分解：
解：
例3.分解因式
解：
1.因式分解：
解：
转化思想
2.将下列各式因式分解：
(1)n(a－2)＋m(2－a)；

(2)2n(m－n)2－8m(n－m)2。
解：原式＝n(a－2)－m(a－2)＝(a－2)(n－m)。
原式＝2n(m－n)2－8m(m－n)2＝2(m－n)2(n－4m)。
3.先因式分解，再求值：(2x＋1)2＋(1＋2x)·(1－2x)，其中x是最大的负整数.
解：(2x＋1)2＋(1＋2x)(1－2x)
＝(2x＋1)(2x＋1＋1－2x)
＝2(2x＋1)。
因为x是最大的负整数，所以x＝－1，
所以原式＝2×[2×(－1)＋1]＝－2。
4.如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去一个边长为a的正方形，然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒。用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为(　　)
A．(b－6a)(b－2a) B．(b－3a)(b－2a)
C．(b－5a)(b－a) D．(b－2a)2
A
5.多项式(x＋2)(2x－1)－(x＋2)可以因式分解成2(x＋m)(x＋n)，则m－n的值是________。
3或－3
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6.阅读下列因式分解的过程，回答问题：
　1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2
＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]
＝(1＋x)2(1＋x)
＝(1＋x)3。
(1)上述分解因式的方法是____________，共用了________次；
提公因式法
2
(2)依照上述方法分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2 026。
解：原式＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)＋…＋x(x＋1)2 025]
＝(1＋x)2[1＋x＋…＋x(x＋1)2 024]…
＝(1＋x)2 027。
返回
提公因式法
（多项式）
确定公因式的方法
注意
定系数，定字母（或多项式），定指数
一找； 二提； 三分解.
提公因式法的步骤
提公因式法与多项式乘多项式是互逆的恒等变形
1、因式分解要彻底；
2、不要漏项；
3、底数相反时，提取“-”号要变号.

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