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(共33张PPT)
§ 8.3.2
球的体积和表面积
立体几何初步
立体图形的直观图
简单几何体的表面积和体积
本章框架
基本立体图形
柱体
锥体
台体
球体
棱柱
圆柱
棱锥
圆锥
棱台
圆台
柱体
锥体
台体
球
复习回顾
柱体、锥体、台体的表面积
展开图 数学思想：立体图形平面化
各面面积之和
柱体、锥体、台体的体积□
柱体 V =Sh
复习回顾
同学们，你能列举下生活中的球体吗
2021年6月23日，国家重大科技基
础设施 “地球模拟装置”——寰， 在北京怀柔科学城东区落成启用， 这是我国首个研制成功的地球系统 数值模拟大科学装置.
把地球搬进实验室
在地球模拟实验室的科普展厅，悬
挂着直径3米、清晰度达到5K的LED 球形屏，装置模拟实验的部分结果 会通过球体进行可视化直观展示.
展厅中这个直径3米LED 球形屏上风
起云涌，颇为壮观.它究竟有多大， 占据多大空间 表面积多少呢
想一想
如何求球的体积呢
思考：当球的半径变化时，球的体积 随之改变，你是否每次都要这样测量 呢
祖恒，字景烁，是著名数
学家祖冲之的儿子，也是南北 朝时代的伟大科学家。他于5 世纪末提出祖恒原理。在欧洲 直到17世纪，才有意大利数学 家卡瓦列里提出相关结论，比 西方国家的数学家早一千多年。
知识拓展
祖暄原理
祖冲之 祖 暄 (geng)
祖恒原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体(它们的形状可以不
同),被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截面(阴影部分)的面积 都相等，那么这两个几何体的体积一定相等。
⑥
你能自己推导一遍吗
半径为R 的半球 底面半径和高都为R的圆柱、圆锥
图1 用祖暄原理证明球体积公式
k
底面半径和高都为R的圆柱、圆锥
S 圆 S圆环 根据祖暄原理，这两个几何体的体积相等
半径为R 的半球
挖 去 一 个 圆 锥
球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法 用展开图求出，如何求球的表面积公式呢
我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法.
球的表面积
4等份 8等份
16等份 32等份
我们把一个半径为R的圆分成无穷等份，然后如上图重新拼接起来，把一个圆看 成是边长分别是 pR 和R的矩形.
那么圆的面积就是pR .
圆的面积
下面，我们再次运用这种分割取极限 的思想方法来推导
球的表面积公式.
球的表面积
球的表面积
DS;
球面被分割成n 个网格，表面积分别为：
DS ,DS ,DS ,L,DSn
则球的表面积：
S=DS + DS +DS +L+ DS
设“小锥体”的体积为DV,
则球的体积为：
V=DV +DV +DV +L+DVn
球的表面积
第 一 步 ： 分 割
DS
Dhy
DV;
球的表面积
第 二 步 ： 求 近 似 和
由第一步得： V=DV +DV +DV +L+DV
如果网格分的越细，则：“小锥
体”就越接近小棱锥
Dh 的值就趋向于球的半径R
又球的体积为：
,从而 S =4pR
DS
Dh
…
DV;
DS
DV;
球的表面积
第三步 ： 化为准确和
现在，你能计算展厅中这个直径3米的
球形屏的表面积和体积吗
表面积 ：
体 积 ：
球的表面积和体积计算公式
新知应用
1.当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等
解： 由 S 球= V 球，得
解得R=3.
∴当一个球的半径等于3时，其体积和表面积
的数值相等.
新知应用
2. 将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球零件，求可能制作的最
大零件的体积.
由题意知2R=6, 即R=3.
∴最大球零件的体积为
解：
如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.
I
(1)求球的体积与圆柱体积之比
I
如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.
(1)求球的体积与圆柱体积之比
(2)求球的表面积与圆柱表面积之比
I
I
“圆柱容球”定 理
古希腊数学家阿基米德一生最为得意的一个数学发现就是“圆柱容球”定
理：把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好
与圆柱的上、下底面和侧面相切(该球也被称为圆柱的内切球),那么此
时圆柱的内切球与圆柱的体积和表面积之比均为定值 2:3
阿基米德墓碑图案
知识
球的表面积和体积
数学思想
祖恒原理
知识
球的表面积和体积公式
极限、数学建模、数形结合思想 类比思想、转化和化归思想
球的表面积和体积
数学思想
一 、必做题： 教材P119练习1、2、3
二、 选做题： 教材P120复习题六 B组第9题
三 、研究性学习： 历史上祖堕和阿基米德是如何计 算出球体体积的 请同学们自行查阅资料，形成论 文报告，下节课在班级里面分享展示!
作 业 布 置

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