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高中数学人教A版必修第一册
3.1.1函数的概念（一）
蓄 水 池
时 间t 高 度H
神 舟 载 人 飞 船
时 间t 距 离S
回顾：初中已经接触过函数的概念，我们是如何定义函数的

初中函数的定义：如果有两个变量x与y ，并且对于x的每一个确定的值,
y都有 唯 一确定 的值 与其对应 ， 我们就 说x是 自 变 量，y是x的 函 数.
函数的概念与表示 函数的概念
函数的基本性质
函数
幂函数
函数的应用（一）
答案：（1）是．因为t和s是两个变量，而且对于t的每一个确定的值， s都有唯一确定的值与之对应，所以s是t的函数．
（2）错误．因为半小时之后列车的运行状况未知．
问题1 阅读材料，回答问题：
某“复兴号”高速列车加速到350 km/h后保持匀速运行
半小时．这段时间内，列车行进的路程s（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为s ＝350t．
（1）s ＝350t是函数吗？为什么？
（2）有人说：“根据对应关系s ＝350t，这趟列车加速到350 km/h后，
运行1h就前进了350 km ．”你认为这个说法正确吗？
函数值的集合
对应关系s=350t )，
在( 数集B1 )中都有唯一确定的路程s与它对应.
对于 ( 数集A1 )中任意一个时刻t，按照(
追问 你认为如何描述才能准确反映实际问题？
自变量的集合
对应关系
s=350t
问题2 阅读材料，回答问题：
某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多6天．如果公司确定的 工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资．
（1）你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？
（2）问题2与问题1中函数有相同的对应关系，它们是同一个函数吗？为什么？
（3）请同学们模仿问题1给出的精确描述，准确地反映实际问题2．
问题2 阅读材料，回答问题：
某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多6天．如果公司确定的 工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资．
（1）你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）
是他工作天数d的函数吗？
答案：（1）w ＝350d，w是工作天数d的函数．
问题2 阅读材料，回答问题：
某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多6天．如果公司确定的 工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资．
（2）问题2与问题1中函数有相同的对应关系，它们是同一个函数吗？为什么？
答案：（2）不是同一个函数．因为在函数S＝350t中，0≤t ≤0.5；
在函数w ＝350d中，d ∈{1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6}，
虽然两个函数的对应关系相同，但是自变量的取值范围不同．
问题2 阅读材料，回答问题：
某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多6天．如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资．
（3）请同学们模仿问题1给出问题2的精确描述．
对于 ( 数集A2 )中任意一天d，按 (应关系w ＝350d )，
数集B2
在( )中都有唯一确定的工资w与它对应.
对应关系 函数值的集合
自变量的集合
w ＝350d
问题3 阅读材料，回答问题：
如图是某市某日的空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）变化图．
（1）如何根据该图确定这一天内任一时刻t h 的空气质量指数（AQI） 的值 I
（2）I是t的函数吗？为什么？
函数值的集合
对于 ( 数集A3 )中任意一个时刻t，按照( 对应关系图 )，
在( 数集B3 )中都有唯一确定的I值与它对应.
（3）模仿前两个问题，用集合语言和对应关系描述这个实际问题．
函数值所在的集合
自变量的集合
对应关系
图
问题4 阅读材料，回答问题：
国际上常用恩格尔系数r ( ×100% ）反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．表是我国城镇居民恩格尔系数变化情况．
表 我国城镇居民恩格尔系数变化情况
年份y 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
2021
恩格尔系数r（%） 32.0 30.1 30.0 29.7 29.3 28.6 27.7 27.6 29.2
28.6
（1）你认为按表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？
（2）如果是，如何描述这个函数？
A,-t2012,2013.2014,20152016,2017,2018,201920202021; 自变量的集合 对应关系表
函数值的集合
对于 ( 数集A4 )中任意一个年份y，按照( 对应关系表 )，
在( 数集B4 )中都有唯一确定的恩格尔系数r与之对应.
年份y 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
2021
恩格尔系数r（%） 32.0 30.1 30.0 29.7 29.3 28.6 27.7 27.6 29.2
28.6
表 我国城镇居民恩格尔系数变化情况
问题情境 自变量的集合 对应关系 函数值所在集合 函数值的集合 问题1 数集A 对于数集A中 的任意一个数 对应关系f 数集B 在数集B中的都有唯一 确定的数与之对应
B1
问题2
B2
问题3
问题4
问题5 上述问题1~问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能抽象出函数概念的本质特征吗？
函数的概念
一般地，设A,B是 非空数集 ，如果对于 数集A 中任意一个数x ，按照某种确定
的 对应关系 ,在 数集B 中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f,A8B
为从集合A到集合B的一个函数,记作：
其中，x叫做自变量，x的取值集合A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域.
函数的概念
一般地，设A,B是 非空数集 ，如果对于 数集A 中任意一个数x ，按照某种确定
的 对应关系 ,在 数集B 中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f,A8B
为从集合A到集合B的一个函数,记作：
其中，x叫做自变量，x的取值集合A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域.
注：①“y=f(x)”是函数符号，有时也可用其他符号表示，如y=g(x)、y=h(x)等；
②自变量符号表示的任意性，如y=f(t),y=g(m)等.
思考1：结合函数的概念，判断下列对应关系是不是从数集A到数集B的函数.
1 2
2 4
3 6
1 2
2 4
3 6
1 2
2 4
3 6
A f B
A f B
A f B
A f B
2
4
6
1
2
3
函数 一次函数 二次函数
反比例函数
a＞0 a＜0 对应关系
定义域 R R R
值域 R
例1：试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝x（10－x）来描述.
解：把y＝x（10－x）看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是B ＝{y|y≤25} ．对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一的数x（10－x）．
如果对x的取值范围作出限制，例如x∈{x|0＜x＜10}，那么可以构建如下情境：
长方形的周长为20，设其一边长为x，面积为y，那么y＝x（10－x）．
其中，x的取值范围是A ＝{x|0＜x＜10}，y的取值范围是B ＝{y|0＜y≤25}．
对应关系f把每一个长方形的边长x，对应到唯一确定的面积x（10－x）．
回顾本节课的学习内容，回答下列问题：
（1）想想本节课我们是怎样研究函数的概念？
（2）与初中的函数概念相比较，你对函数有哪些新的认识？
（3）后续课程我们会学习什么？
辨析概念
抽象概念
归纳共性
表示概念
具体情境
简单应用
函数的基本性质
幂函数
函数的三要素
定义域、区间、函数相等
函数的概念与表示
函数的应用（一）
函数的概念
函数
作业布置
1.基础作业
课本第63~64页练习.
2.提升作业
小组合作：构建其他学科可用解析式y＝x（10－x）描述其中变量关系的问题情境.
3.拓展作业：
（1）读一读（“函数概念的发展历程”相关文献阅读已推送至学生平板）.
（2）写一写（将探究学习中知识的形成、结论或探究的路径等写成感想）.
用数学眼光观察世界用数学思维思考世界
用数学语言表达世界

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