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(共27张PPT)
8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
棱柱、棱锥、棱台
类
比
多面体
旋转体
体 积
表面积
一：复习巩固，导入新课
特殊与一般
转化与化归
圆柱、圆锥、圆台、球
空间几何体
表面积
体 积
二：新知探究，类比学习
探究1 圆柱、圆锥、圆台的表面积
问题1 围成圆柱、圆锥、圆台的面中有曲面，
如何计算这些曲面的面积呢
化曲为直
平面问题
空间问题
转化
探究1 圆柱、圆锥、圆台的表面积
问题2 圆柱的侧面展开图是什么形状 如何求 圆柱的表面积
圆柱侧 =2πn
圆柱 =2πr +2πrl
=2πr(r+l)
(r是底面半径，l是母线长)
矩形
2πr
S
S
S 圆锥 =π r +πrl
=πr(r+l)
(r 是底面半径，l 是母线长)
I。o
探究1 圆柱、圆锥、圆台的表面积
问题3 圆锥的表面积该如何表示
2πr
扇形
探究1 圆柱、圆锥、圆台的表面积
问题4 圆台的表面积该如何表示
S 圆台 =π r +πr +S 圆台 侧
圆台的侧面积公式的推导：圆台的侧面积 转化 两个扇形的面积之差
因为 △PO'A '一△POA,所 以 化简得
因 此S 圆台侧
B
=πl(r'+r)
S 圆台侧 =π l(r'+r)
探究1 圆柱、圆锥、圆台的表面积
S 圆台 =π r +πr +S 圆台 侧
=πr'2+πr +πl(r'+r)
=π(r'2+r +r'l+rl)
S 圆 台 = π (r' +r +r'l+rl)
(r',r分别是上、下底面半径，l是母线长)
探究1 圆柱、圆锥、圆台的表面积
问题4 圆台的表面积该如何表示
扇环
0
探究1 圆柱、圆锥、圆台的表面积
S 圆柱 =2πr(r+l) ( r 是底面半径， l 是母线长)
圆锥 =π r(r +l)(r 是底面半径， l 是母线长)
S圆台 =π (r' +r +r'l+rl )(r',r 分别是上、下底面半径， L是母线长)
思考1 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系 你能用圆柱、圆锥、
圆台的结构特征来解释这种关系吗
◎国柱、国性、国位的表面Fgg 文件 编辑 视图 选项 工具 窗口 帮助 输入： 绘图区 区
▼30绘图区
■▼
鲁 c ▼ 3 第 印
R=3 h=5 r=1.5 体 □轴截面 主视图 原视角
探究1圆柱、圆锥、圆台的表面积
上底扩大 上底缩小
r'=r r'=0
S 圆 台 = π (r +r +r'l+rl) 三
探究1 圆柱、圆锥、圆台的表面积
s 圆锥
=πr(r+l)
S 圆 柱 = 2 πr(r+l)
探究2 圆柱、圆锥、圆台的体积
圆柱的体积公式 V 圆柱=πr h(r 是底面半径，h 是高)
圆台的体积公式 (,分别是上、下底面半径，h 是高)
圆锥的体积公式 V 圆锥
(r 是底面半径，h 是高)
推导
所以圆锥SO’的 高
圆锥SO的 高 所以圆台00'的体积为：
Vo =Vso-Vso
探究圆柱、圆锥、圆台的体积
圆台体积公式的推导：
因 为 △SA 'O'∽△SO
所以
即有
解得
·
思考2 圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系 结合棱柱、棱锥、棱 台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗 柱体、 锥体、台体的体积公式之间又有怎样的关系
锥体
A
0
C
A‘
探究2 圆柱、圆锥、圆台的体积
台体
=Sh
柱体
=2πr(r+1),V 圆柱=πr h
小结：圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
S 圆锥 =π r , V圆锥
探究3 球的表面积和体积
问题5 球的表面积能否也通过展开成一个 平面图形得到呢
展开
·O
不能
探究3 球的表面积和体积
球的表面积：S 球 = 4 πR .
三：例题练习，学以致用
例1 如图1所示，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而
成，半球的直径是0.3m, 圆柱高0.6 m.如果在浮标表面涂一层 防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标 涂防水漆需要多少涂料 (π取3.14)
解： 一个浮标的表面积为
2π×0.15×0.6+4π×0.15 =0.8478(m ),
所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料
0.8478×0.5×1000=423.9(kg).
图 1
思考3 在小学，我们学习了圆的面积公式，你还记
得是如何求得的吗 类比这种方法，你能由球的表 面积公式推导出球的体积公式吗
割圆术 极限思想
Sm=πr
探究3 球的表面积和体积
刘徽
πT
探究3 球的表面积和体积
球的体积公式推导：
第一步分割：整个球体被分割成n 个“小锥体”;
AD
B c
O
探究3 球的表面积和体积
球的体积公式推导：
第二步近似求值：当n 越大， “小锥体”越近似于
棱锥，其高越近似于球的半径R.
当n趋向于正无穷大时，这n个“小锥体” 的底面积之和就等于球的表面积.
球的体积公式推导：
第三步求和，取极限：
探究3 球的表面积和体积
探究3 球的表面积和体积
球的体积公式推导：
第四步球的体积：
求球与圆柱的体积之比.
解：设球的半径R,则圆柱的底面半径为R,
高为2R.
四：初步应用，巩固知识
例2 如图2所示，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，
V圆 柱 = πR ·2R=2πR ,
图 2
体会转换的思想
学以致用
体会极限的思想
平面展开图
表面积公式
体积公式
应 用
表面积公式
体积公式
应 用
简单几何体
的表面积和体积
圆
五：归纳小结，形成结构
类比
球
棱柱 棱锥 棱 台
圆 柱
圆 锥 圆 台
类比
六：布置作业，练习巩固 基础作业
1.已知圆锥的表面积为am , 且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆
锥的底面直径.
2.当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等
提升训练
3.将一个棱长为6cm 的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最 大零件的体积.
4.一个长、宽、高分别是80cm,60cm,55cm 的水槽中状元200000cm 的水， 现放入一个直径为50cm 的木球.如果木球的三分之二在水中，三分之一在
水上，那么水是否会从水槽中溢出
“宇宙之大，粒子之微，火箭之速， 化工之巧，地球之变，生物之谜，
日用之繁，无处不用数学。"
— 华罗庚
同学们，再见!
华罗庚

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