资源简介

(共28张PPT)
第4章指数函数与对数函数
4.1.1 n次方根与分数指数幂
善通高中教科书
第四章指数函数与对数函数
数学 必修 第一册
人教A 版2019 必修第一册
本章知识框图：
4.5函数的应用
(二)
4.2指数函数
4.4对数函数
4.1指数
4.3对数
人 A≠燕北
实数指数幂
人 A≠ 燕热
运算性质
人教A 版2019 必修第一册
知识框图 ：
数学
必修
第一册
有理数指数幂
无理数指数幂
整数指数幂
n次方根
善通高中教科书
导入新课
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学
派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线 长度是多少呢 他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示， 希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数 √2的诞生.
根据初中所学知识，思考一下边长为1的正方形的对角线长是如何计算出来的呢
【提示】根据勾股定理正方形的对角线长为 √P+P=2
希帕索斯
新课讲解
问题1: 初中已经学过整数指数幂。我们把正方形场地的边长c关于面积
S的函数C=√ S 记作c=S2 像 S②这样以分数为指数的幂，其意义是什 么呢 下面从已知的平方根、立方根的意义入手展开研究.
因为(±2 ) =4 , 所 以±2叫做4的平方根；
如果x =a, 那 么x叫 做a的立方根；
x叫 做a的n 次 方 根 ，其
中n>1, 且n∈N*
如果x =a, 那 么x 叫做a的5次方根；
因为(±2 )4=16 , 我 们 把±2 叫做16的4 次方根；
如果x =a, 那 么x叫做a 的4次方根；
如果x =a, 那 么x叫做a的平方根；
因 为2 =32,我们把2叫做32的5 次方根；
因 为2 =8,所以2叫做8的立方根；
如果x=a ,
n次 方 根
追问1: 观察所举的例子，当n为奇数时，被开方数的符号、 n次方根分别是
什么
32=2, √-32=-2,5 √0=0.
当n 是奇数时，被开方数是实数，正数的n 次方根是一个正数，负数的n
次方根是一个负数，0的n次方根为0,这时， a的n次方根用符号”a 表示。
n次方根 奇次方根
n次方根 奇次方根
n 次方根定义：
一般地，如果x"=a, 则x 叫做a的n 次方根，其中n>1, 且 n ∈N*.
1.正数的奇次方根是一个正数；
2.负数的奇次方根是一个负数；
3.0的奇次方根为0.
奇次方根
追问2: 观察所举的例子，当n 为偶数时，被开方数的符号、 n次方根分别是
什么
416=2,-4V/16=-2,±V/16=±2.
当n 是偶数时 ：正数的n次方根是有两个，这两个数互为相反数，这时
候，正数a 的正的n 次方根用符号"a 表示，负的n 次方根用符号-" a表示. 正的n 次方根和负的n 次方根合并写成±"a;
正数的偶次方根有两个且互为相反数
n次方根 偶次方根
负数没有偶次方根，因为任何实数的偶次方都是非负数 .
追问3: 负数有没有偶次方根 为什么
n次方根 偶次方根
n次方根定义：
一般地，如果x"=a, 则x 叫做a的n 次方根，其中n>1, 且 n ∈N*.
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数；
2. 负数没有偶次方根；
3.0的偶次方根为0.
偶次方根
n次方根
偶次方根
根 式
让我们认识 一 下这个式子：
根指数
被开方数
根式
注 ：
【1】" √a一般读作 “n 次根号a”;
【2】 当a<0 且n 为偶数时，“ √a在实数范围内没有意义；
【3】当" √a有意义时，"√a 是一个实数，且它的n次方等于a.
(“a)”=a 式子是否一定成立 请举例说明.
只要(" √an 有意义，则(《a)"=a 一定成立。
问题2: 我们知道
练习 根据根式的定义，判断下列式子是否有意义，有意义时求出相应的值：
( √7
、 )
2)
√ (
3
L
根式性质
探究
表示a n 的n次方根，"a" =a 一定成立吗 如果不一定成立，那么
"a" 等于什么
为奇数
为偶数
n
思考：" an 和(" √a)" 有什么区别
an 是实数an的n次方根，不受a的正负限制 .但是受n的奇偶限制.
本质算法是先乘方，再开方. 结果不 一 定等于a,
当n 为奇数时， √an=a;
当n 为偶数时，
是实数 ”a 的n次方，在("a)" 有意义的前提下，实 数a的取值 由n的奇偶决定，其算法是先开方，再乘方，结果恒等于a.
例1 求下列各式的值：
(1) ●
(2)
(3)
●
5
探究： 观察以下式子，试总结出规律(a>0):
当根式的被开方数的指数能被根 指数整除时，根式可以表示为分 数指数幂的形式。
思考： 当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表
示为分数指数幂的形式呢
(1)概念：规定正数的正分数指数幂的意义是：
(a>0,m,n∈N*,n>1)
所以，在条件a>0,m,n∈N*,n>1 的下，根式都可以写成分数指数幂的形
规定正数的负分数指数幂的意义是：
(a>0,m,n∈N*,n>1)
规定0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没意义.
分数指数幂
.在这样的规定下，根式与分数指数幂就是表示相同意义的量，只是形
式不同.
2. 分数指数能约分吗
2
不能随意约分. 因为约分之后可能会改变根式有意义的条件，如(-3) 约分后变成 ,而 √ -3在实数范围内无意义.
思考：1 a”可以理解为 个a相乘吗
不可 1以显然 不是半个a 相乘，它的实质是根式的另一种写法。如
思考：回顾正数指数幂的运算法则，观察下列式子，你能得出什么结论
√a√b=√ab
( 7 ■
分数指数幂
(2)分数指数幂的运算性质
(a>0,r,s∈Q)
①ara =ar+s(a>0,r,s∈Q) → 同底数幂相乘，底数不变，指数相加
同底数幂相除，底数不变，指数相减
②(ar) =ars(a>0,r,s∈Q) →幂的乘方，底数不变，指数相乘
③(ab)"=arbr(a>0,b>0,r∈Q) 再，
乘
个因式
相
一
幂
每
的
的
得
积
所
于
把
等
分别乘方
→积的乘
注意：法则的逆用 ①ar+S=aras(a>0,r,s ∈Q)
②ars=(ar) =(as)r(a>0,r,s∈Q)
③arbr=(ab)(a>0,b>0,r∈Q)
当a<0,b<0 时运算法则不一定成立.只有当a>0,b>0 时运算法则才一定成立.
例2 求值：
2
(1) 8 3 (2)
例3 用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0)
a2^2 练 习 ：va √a √a
把根式化成分数指数幂
当有多重根式时，要由里向外层层转化
对于有分母的，可以先把分母写成负指数幂.
例4 计算下列各式(式中的字母都是正数)
根据今天所学，回答下列问题： 整数指数幂
1.n 次方根和根式的定义是什么 它们有哪些性质
2.根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律
3.如何利用分数指数幂的运算性质进行化简
被开方数的指数不能 被根指数整除的根式
分数指数幂
运算性质
被开方数的指数能被根 指数整除的根式
有理数指数幂
n次方根
谢谢!

展开更多......

收起↑