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4.5 函数的应用（二）
4.5.1 函数的零点与方程的根
1.方程 x2－4=0的根是：
2.方程 x3+1=0的根是：
3.方程 2x - 1=0的根是：
一、回顾旧知，引入概念
函数f(x)=x2－4的图象与x轴的公共点坐标：
函数f(x)=x2－4的零点是：
回答以下几个问题
1.定义：方程f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的零点。
注：①零点是实数，不是点。（与x 轴公共点的横坐标）
如： 函数f(x)=lgx的零点是 1. 即f(1) =
一般地，若 x0 是 函数f(x)的零点，则f(x0)=0
1.函数零点的定义
思考：方程 lnx+2x-6=0 有实数解吗？
2.创设情境，强化关系
函数零点的相互转化
函数f(x)的图象与x轴的交点横坐标 (交点个数)
方程f(x)=0的根
函数f(x)的零点
(根的个数)
(零点个数)
探究1. 对于二次函数 f(x)=x2-2x-3 观察它的图像，它在区间[2， 4]上有零点。
（1）函数图像与 x轴 有什么关系？
在区间[-2 ，0]上是否也有这种关系？
（2）如何用具体的 函数值 来刻画这种关系？
二、探究定理：
探究2：（学生自主思考，展示）
函数在区间[a,b]上有零点：
零点附近的区间[a,b]上的函数图象连续不断且“穿过”x轴(一上一下)
在端点a,b的函数值异号，即f (a)·f (b)<0
探究：常见函数的零点的共性
即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0；此时c是方程f(x)=0的根.
1.定理内容： 若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且f (a)·f (b)<0 ，则函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有1个零点.
二.函数零点存在定理
【函数零点存在定理】
条件：①f(x)在[a,b]连续，②f (a)·f (b)<0
结论：函数f(x)在(a,b)内至少有1个零点.
1、两个条件缺一不可；
若二缺一，则f(x)在(a,b)内可能有零点、也可能无零点.
（二）.函数零点存在定理（解读）
[判断] 对于函数y=x -1,在区间(-1,1)上,有f(-1)·f(1)<0,
故函数在(-1,1)内有零点.( )
如：函数y=2x ，函数y=x2 有没有零点？
注：零点存在性定理使用于 变号零点
（二）.函数零点存在定理（解读）
2、存在性是什么意思？
二.函数零点存在定理（解读）
2、存在性：至少一个
3 、函数零点存在定理能不能逆用？
若函数y=f(x)在区间(a, b)内有零点，一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗？
二.函数零点存在定理（解读）
二.函数零点存在定理（解读）
3 、若f(x)在(a,b)内有零点，f(a)·f(b)<0 不一定成立.
4、在满足定理中的条件下，要保证存在唯一的
零点，还需要什么条件？
二.函数零点存在定理（解读）
二.函数零点存在定理（解读）
在 (a,b)上单调递增(减)
在(a,b)上只有1个零点
4、 需要增加什么条件才能满足唯一性？（唯一零点
小结：零点存在性定理与函数单调性相结合
1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且f (a)·f (b)<0，且f(x)具有单调性，则函数f(x)在区间（a,b）内有唯一零点。
2.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，函数f(x)在区间（a,b）内有零点，且函数f(x)具有单调性，则f (a)·f (b)<0，
[例1] （多选题）方程ex－x－2 ＝0的根所在区间为( ).
A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D(1,2)
三、函数零点存在定理的应用1——判断零点所在区间
[例1]方程ex－x－2 ＝0的根所在区间为( AD ).
A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D(1,2)
令f(x)=ex－x－2，
f(0)=e0－0－2=-1<0，
三、函数零点存在定理的运用1——判断零点所在区间
判断零点所在区间( 课堂练习)-----分组
C
B
判断零点所在区间( 课堂练习)
小结：判断函数零点所在区间的步骤
1.将区间2个端点代入函数，求出函数值
2.将所得函数值相乘，并进行正负符号判断
3 若所得的符号为负，且函数图像连续，则函数在该区间至少一个零点；
若所得的符号为正，不能判断是否 有零点。
三、函数零点存在定理的应用2——确定零点个数
三、函数零点存在定理的应用2——确定零点个数
练习：函数f(x)=x2+ln|x|的零点个数为______个.
小结：函数零点个数的判断方法：
1.直接法
2. 图像法
3.零点存在性定理和函数单调性
四、课堂总结
一个关系：函数零点与方程根的关系.
一个定理：零点存在性定理.
求函数的零点；
判断零点个数；求零点所在区间
t
函数方程思想；
函数零点与方程的解
三种题型：
数形结合思想
两种思想：
.
.
1.基础巩固：课本144页练习1 ，2，课本155页2 ，3
2.拓广探索：课本155页7，课本156页13.
五、课后作业

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