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2026年湖南省长沙市宁乡市中考数学一模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2026的倒数是（　　）
A. 2026 B. C. D. -2026
2.蟠纹盛行于春秋晚期至战国，象征着生命和智慧.下列与蟠纹相关的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.2026年2月10日，小行星2026CS飞掠地球时，与地球最近距离约为1087000千米，将数据1087000用科学记数法表示正确的是（　　）
A. 1.087×106 B. 10.87×106 C. 0.1087×107 D. 1.087×107
4.下列运算正确的是（　　）
A. 2a-a=2 B. C. a6÷a4=a2 D. （a-b）2=a2-b2
5.在宁乡某中学第二届校园歌手大赛中，某组参赛选手得分如下（单位：分）：9，7，7，8，6，9，7，则该组参赛选手得分的中位数是（　　）
A. 6 B. 8 C. 7 D. 9
6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=56°，则∠ACB等于（　　）
A. 56°
B. 28°
C. 20°
D. 18°
7.若关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（　　）
A. k≥1 B. k＞1 C. k≤1 D. k＜1
8.若反比例函数的图象经过点（-2，3），则该函数图象还经过点（　　）
A. （6，1） B. （-1，-6） C. （-3，-2） D. （2，-3）
9.如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB=∠FOB=23.5°.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH（即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI所成的锐角）的大小为（　　）
A. 23.5° B. 43° C. 47° D. 66.5°
10.如图，在同一平面内放置的Rt△EFG和矩形ABCD，EG与AB重合，FG=3cm,AB=4cm,BC=5cm,Rt△EFG以1cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点F与点C重合时停止，在运动过程中，Rt△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 .
12.不等式组的解集是 .
13.若分式的值为0，则x的值为 ______ .
14.宁乡炭河里遗址博物馆计划制作一个圆锥模型，底面半径为3cm,母线长为5cm,则该圆锥的侧面积为 cm2（结果保留π）.
15.如图，已知线段AB=8cm,分别以点A，B为圆心，以5cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ACBD的面积为 .
16.在数学游艺会上，小宁负责一个游戏项目，他准备了50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50.游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下，按逆时针方向围成一圈，放置在桌上（如图），将这五张卡片分别记为A，B，C，D，E.小宁依次将每张卡片与它逆时针方向每隔一张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大.如表是小宁抽取的五张卡片中按游戏规则得到的两张卡片上的数的和.
卡片组合 B，D C，E D，A E，B A，C
两数的和 75 70 65 59 77
则这五张卡片上数字最大的是 （填A，B，C，D，E）.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：.
18.(本小题6分)
先化简，再求值：3a-a（a+1）+（a+2）（a-2），其中a=-1.
19.(本小题6分)
我国生产的无人机畅销世界，在长沙某跨江大桥修建过程中，需要测量湘江某段河面宽度MN，工作人员操控无人机在P处测得M，N两处的俯角分别为α=45°，β=30°，测得无人机离水平地面的高度PQ为300米，且Q，M，N三点在同一条水平直线上，求这条河的宽度MN为多少米？（参考数据：，结果保留整数）.
20.(本小题8分)
第十五届全运会落幕，湖南接过会旗，全运会进入“湖南周期”，体育湘军在赛场上的拼搏精神点燃了校园运动热潮.学校体育组针对4类全运会湖南热门优势项目A，B，C，D，随机抽取部分学生调查统计，绘制成两幅不完整的统计图.
请根据图中信息，完成下列问题：
（1）本次调查共抽取______名学生；扇形统计图中C类项目所占圆心角为______度；
（2）补全条形统计图；
（3）学校从关注热度较高的学生中选拔出4名“校园体育推广员”，其中3人关注A类项目，1人关注B类项目，现从这4人中随机选择2人在校体育节开幕式上分享运动心得，求恰好抽到关注A，B两类项目各1人的概率.
21.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，，E是CD的中点，连结AE.
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形.
（2）若，AC=6，求四边形ABCE的面积.
22.(本小题9分)
为满足学生的运动需求，充分发挥课间15分钟的价值，学校计划购置一批羽毛球拍和跳绳若干套.已知购买1副羽毛球拍和4根跳绳共需140元，购买2副羽毛球拍和3根跳绳共需205元.
（1）求每副羽毛球拍、每根跳绳的单价；
（2）商家活动：羽毛球拍打八折，跳绳不打折.根据学校需求，计划购买两种器材共60件，且羽毛球拍数量不少于跳绳数量的.应如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？
23.(本小题9分)
如图，△ABC的三个顶点都在以BD为直径的半圆上，AB=AC，连接DA并延长至点E，交BC于点F，且AE=AF，连接BE.
（1）求证：BE是该半圆的切线；
（2）若BD=12，∠AFB=60°，求CF的长.
24.(本小题10分)
在矩形ABCD中，E是边AB上一点（不与端点重合），以BE为边在矩形ABCD内部构造矩形BEGF，使得，连接DG.
（1）如图1，当m=1时，求的值；
（2）如图2，将矩形BEGF绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜30°），连接AE，当时，求的值；
（3）如图3，矩形BEGF在旋转的过程中，当点G落在BC边上时，D，G，F三点共线.若，BF=4，求AE的长.
25.(本小题10分)
我们约定：如果一个函数的图象与y轴交于点（0，c），我们就说该函数是“c点函数”.例如：函数y=x+2026与y轴相交于点（0，2026），我们就说函数y=x+2026是“2026点函数”.根据约定，解答下列问题：
（1）判断下列函数是否一定是“3点函数”（填“√”或“×”）.
①y=-x2+2x+3______；
②y=2x-3______；
③______.
（2）若一次函数（其中x是自变量，y是x的函数）是“t点函数”，求证：无论t取何值，该函数的图象一定经过第三象限.
（3）已知二次函数y=ax2+bx+c是“2点函数”，该函数的图象与x轴相交于点A（-m,0），B（2m,0）两点，与y轴相交于点C，且m=b2+a+1，点P是该函数图象在第一象限内的动点，线段AP与线段BC相交于点Q，当点P运动时，若满足tan∠AQC=c时，试求点P的坐标.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】x≥-2
12.【答案】-2≤x＜3
13.【答案】3
14.【答案】15π
15.【答案】24cm2
16.【答案】C
17.【答案】2．
18.【答案】-6．
19.【答案】这条河的宽度MN为219米．
20.【答案】200;36
21.【答案】∵∠BAC=∠ACD=90°，
∴AB∥EC，
∵点E是CD的中点，
∴，
∵，
∴AB=EC，
∴四边形ABCE是平行四边形 18
22.【答案】每副羽毛球拍单价为80元，每根跳绳单价为15元 购买20副羽毛球拍，40根跳绳时总费用最少，最少费用为1880元
23.【答案】∵AB=AC，
∴，
∴∠ABC=∠C=∠D，
∵BD是半圆的直径，
∴∠BAD=90°，
∴∠ABC+∠CBD+∠D=90°，
∴∠ABC+∠CBD+∠ABC=90°，
在Rt△ABE和 Rt△ABF中，
，
∴△ABE≌△ABF（SAS），∠ABE=∠ABF，
∴∠ABC+∠CBD+∠ABE=90°，
即∠DBE=90°，BE⊥BD，
∴BE是该半圆的切线
24.【答案】
25.【答案】√;×;× 若一次函数是“t点函数”，
则k=t，整理得，，
令，解得 x=-3，此时 y=-1，
∴无论t取何值，该函数一定经过点（-3，-1），
又∵点（-3，-1）在第三象限，
∴无论t取何值，该函数的图象一定经过第三象限
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