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2025-2026学年上海市徐汇区南洋模范中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.函数y=x2+1在区间[1，3]上的平均变化率是（　　）
A. 2 B. 4 C. -2 D. -4
2.已知圆O：（x-1）2+y2=r2，则“点M（2，1）在圆O外”是“点N（0，2）在圆O外”的（　　）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与椭圆C交于M，N两点，若且∠F2F1N=∠F2NF1，则椭圆C的离心率为（　　）
A. B. C. D.
4.已知圆锥曲线Γ的对称中心为原点O，若对于Γ上的任意一点A，均存在Γ上两点B，C，使得原点O到直线AB，AC和BC的距离都相等，则称曲线Γ为“完美曲线”.现有如下两个命题：
①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”.
下列判断正确的是（　　）
A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题
C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题
二、填空题：本题共12小题，共53分。
5.直线3x-y-7=0的倾斜角为 （用反三角表示）.
6.y轴被圆（x-2）2+（y-1）2=5截得的弦长为 .
7.已知函数y=f（x）的定义域为R，且y=f′（x）为y=f（x）的导函数，若，则f′（2）= .
8.若双曲线C的中心在原点，焦点在坐标轴上，它的一条渐近线的方程为，则双曲线C的离心率为 .
9.已知A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线C：y2=4x上互异的两点，若，则|AB|-x1-x2= .
10.曲线f（x）=lnx+2x在x=1处的切线与坐标轴围成三角形的面积为 .
11.两平行直线2x+（1-a）y-2=0与x-2y+2=0间的距离为 .
12.已知A（-2，0），B（1，0），若直线x-y+c=0上存在点P满足|PA|=2|PB|，则实数c的最大值是 .
13.直线l与抛物线相交于A，B两点，当|AB|=4时，则弦AB中点M到x轴距离的最小值为______．
14.已知直线l：y=ax与曲线y=lnx和y=ex+b都相切，则ab= .
15.对于函数f（x），若在定义域内存在实数x,满足，则称f（x）为“局部反比例对称函数”.若的导函数f'（x）是定义在区间[2，+∞）上的“局部反比例对称函数”，则实数m的最大值与最小值之差为 .
16.已知、、、是共面向量，和是两个互相垂直的单位向量，若，，则在方向上的数量投影的最大值为 .
三、解答题：本题共5小题，共79分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题13分)
已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x+4y+12=0，BC：4x-3y+16=0，AC：2x+y-2=0.
（1）求AC边上的高所在的直线方程；
（2）求直线AB与直线AC的夹角.
18.(本小题15分)
已知直线x+y+2=0与圆心为坐标原点的圆O相切.
（1）求圆O的方程；
（2）过点P（2，2）的直线与圆O交于A，B两点，若弦长，求直线AB的斜率.
19.(本小题15分)
17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形LF2KQ.带槽杆QF1长为，点F1，F2间的距离为2，转动杆QF1一周的过程中始终有|QE|=|EF2|，点M在线段F1F2的延长线上，且|MF2|=1.
（1）建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点E的轨迹Γ的方程；
（2）过点F2的直线l1与Γ交于A、B两点，记直线MA、MB的斜率为k1、k2，证明：k1+k2为定值.
20.(本小题18分)
已知椭圆Γ：=1（a＞2）与直线l1：y=、l2：y=-.过椭圆上一点P作l1的平行线交l2于点M，作l2的平行线交l1于点N.
（1）当P为椭圆的上顶点时，求|MN|的大小；
（2）若椭圆的离心率e=，求椭圆Γ的方程，并求||的最大值与最小值；
（3）若|MN|为定值（与点P的位置无关），求a的值，并求此时四边形ONPM面积的最大值.
21.(本小题18分)
定义：我们称双曲线的“交换双曲线”为；我们称椭圆的“交换椭圆”为；我们称圆（x-a）2+（y-b）2=r2的“交换圆”为（x-b）2+（y-a）2=r2.
（1）若双曲线C的“交换双曲线”为自己本身，双曲线C过点，求：双曲线C的标准方程；
（2）过点（0，1）且与y=ex相切的直线l与所有半径为r,“交换圆”是自己本身的圆均相切，求：直线l的方程与“交换圆”的面积；
（3）已知曲线Γ满足，当y≤x时与离心率为，长轴长为的椭圆W重合，当y＞x时，与椭圆W的“交换椭圆”重合，若矩形PQMN的顶点均在曲线Γ上且关于y=x对称，求证：矩形PQMN的面积小于5.2.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】arctan3
6.【答案】2
7.【答案】2
8.【答案】或
9.【答案】2
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：（1）由 ，
所以B（-4，0）；
又因为kAC=-2，
所以AC边上的高所在直线的斜率，
所以AC边上的高所在的直线方程为，
即x-2y+4=0；
（2）因为kAC=-2，，
设直线AB与直线AC的夹角为θ，
所以，
所以直线AB与直线AC的夹角θ为．
18.【答案】x2+y2=2 2或
19.【答案】（1）根据已知带槽杆QF1长为，所以．
又因为，
因此点E的轨迹为以F1、F2为焦点的椭圆．
设椭圆的方程，
那么，因此，2c=2，c=1，所以b2=a2-c2=1，
因此点E的轨迹Γ的方程为．
（2）证明：①当直线l1斜率存在时，如图1，令l1：y=k（x-1），
联立椭圆方程与直线l1，可得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，
易知根的判别式Δ＞0，设B（x2，y2），A（x1，y1），
根据韦达定理可得，，
因此
=．
根据已知得M（2，0），那么，，
因此==，
所以k1+k2为定值．
当直线l1斜率不存在时，直线l1垂直于x轴，如图2，易知∠AMF2=∠BMF2，可得k1=-k2，所以k1+k2=0．
综上所述，k1+k2为定值．
20.【答案】|MN|=4 最大值为4，最小值为2 16
21.【答案】x2-y2=1 x-y+1=0， 证明：因为椭圆W的长轴为，
所以，
因为椭圆离心率，
所以，
可得，
设椭圆W的焦点在x轴，
此时方程为2x2+6y2=9，椭圆W的“交换椭圆”方程为6x2+2y2=9，
所以曲线Γ的方程为，
易得矩形PQMN关于y=x对称，
设P（x1，y1）在椭圆W上（y1≤x1），
所以Q（y1，x1）在“交换椭圆”上（y1＞x1），
，
由直线PN平行直线y=x，得直线PN的斜率为1，
直线PN的方程为y-y1=x-x1，
即y=x-x1+y1，
设N（xN，yN），
联立，消去y并整理得，
由韦达定理得，
所以，
此时，
所以矩形PQMN的面积，
因为点P在椭圆W上，
所以，
令，θ∈[0，2π），
因为y1≤x1，
所以，
不妨取第一象限部分，
此时，，
所以
=，
因为，
所以，
所以当时，．
则矩形PQMN的面积小于5.2．

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