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2025-2026学年上海市浦东新区华东师范大学第二附属中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.已知事件A，B为随机事件，则“A，B为对立事件”是“A，B为互斥事件”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
2.现有6本不同的书，分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，分配方法数有（　　）种.
A. 2160 B. 1080 C. 360 D. 180
3.甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量X表示最终的比赛局数，则（　　）
A. B.
C. D.
4.已知函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），x∈R，且y=f′（x）在R上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（　　）
①“x1＞x2”是“f（x1+1）+f（x2）＞f（x1）+f（x2+1）”的充要条件；
②“对任意x＜0都有f（x）＜f（0）”是“y=f（x）在R上为严格增函数”的充要条件.
A. ①真命题；②假命题 B. ①假命题；②真命题
C. ①真命题；②真命题 D. ①假命题；②假命题
二、填空题：本题共12小题，共53分。
5.函数y=x2-5在区间[1，2]上的平均变化率为 .
6.已知，，则P（A∩B）= .
7.曲线f（x）=ex-1在x=1处的切线方程为 .
8.一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同.经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为 .
9.函数的驻点为 .
10.随机变量X的概率密度函数，设P（X≥2）=0.2，则P（0≤X≤1）= .
11.在某次数学兴趣小组交流活动中，四名男生与三名女生坐成一排，则三名女生两两不相邻的概率为 .
12.某文艺团有10人，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中7人会唱歌，4人会跳舞.从中选派两人，一人唱歌，另一人跳舞，则不同的安排方法共有 种.
13.现有两个罐子，1号罐子中装有3个红球、2个黑球，2号罐子中装有2个红球、3个黑球.现先从1号罐子中随机取出一个球放入2号罐子，再从2号罐子中取一个球，则从2号罐子中取出的球是红球的概率为 .
14.已知，则a1-2a2+ -10a10+11a11= .
15.已知函数f（x）=ex-ax2有三个零点，则实数a的取值范围是 .
16.在n维空间中（n≥2，n∈N），以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标（a1，a2， ，an），其中ai∈{0，1}（1≤i≤n,i∈N），定义：在n维空间中的两点（a1，a2， ，an）与（b1，b2， ，bn）的曼哈顿距离为|a1-b1|+|a2-b2|+ +|an-bn|，若在6维空间“立方体”中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则E（X）= .
三、解答题：本题共5小题，共79分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题13分)
学校要从10名候选人中选3名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班，其余6名同学来自除甲班外的其他互不相同的6个班.假设每名候选人都有相同的机会被选到.
（1）求甲班恰有2名同学被选到的概率；
（2）求选到的3名同学是来自互不相同的班级的概率.
18.(本小题15分)
已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5：2.
（说明：二项式系数指组合数，k=0，1，2，…，n.）
（1）求n的值，并求展开式中所有的有理项；
（2）求展开式中系数最大的项.
19.(本小题15分)
已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）求f（x）在[1，e]上的最小值g（a）.
20.(本小题17分)
某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训.
（1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自A部门.从这6名部门领导中随机选取2人，记X表示选取的2人中来自A部门的人数，求X的分布列和数学期望；
（2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格.
（i）求每位员工经过培训合格的概率；
（ii）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用.试估计该公司A，B两部门培训后的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）.
21.(本小题19分)
对于函数y=h（x），记h（0）（x）=h（x），h（1）（x）=（h（x））′， ，h（n+1）（x）=（h（n）（x））′（n∈N）.如果n是满足h（n）（x）=h（x）的最小正整数，则称n是函数y=h（x）的“最小导周期”.
（1）已知f（x）=asin（x+t）+bcos（x+t），证明：对任意a,b,t∈R，f（x）的最小导周期为4；
（2）设m,n∈R，g（x）=emx+ncosx,若函数y=g（x）的最小导周期为2，记，当实数a,b变化时，求M（a,b）的最小值；
（3）设ω＞1，h（x）=cosωx,若函数y=h（x）满足h（2）（x）≤x对x∈（0，+∞）恒成立，且存在x0∈（0，+∞）使得h（2）（x0）=x0，试用ω表示x0，并证明.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】3
6.【答案】
7.【答案】y=x
8.【答案】15
9.【答案】-3或1
10.【答案】0.3
11.【答案】
12.【答案】27
13.【答案】
14.【答案】22
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】n=6；64x6，4320x2，729x-2
19.【答案】f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增
20.【答案】分布列见解析，E（X）=1；
（i），
（ii）1100万元．
21.【答案】（1）证明：因为f（1）（x）=acos（x+t）-bsin（x+t），
f（2）（x）=-asin（x+t）-bcos（x+t），
f（3）（x）=-acos（x+t）+bsin（x+t），
f（4）（x）=asin（x+t）+bcos（x+t）=f（x），
所以，对任意实数a，b，t，都有f（4）（x）=f（x），
即最小导周期为4 （2） （3）证明：h（1）（x）=-ωsin（ωx），h（2）（x）=-ω2cos（ωx），
记φ（x）=h（2）（x）-x，即φ（x）=-ω2cosωx-x，
由φ（x）=h（2）（x）-x≤0在（0，+∞）上恒成立及存在x0＞0使，
可知x=x0是函数y=φ（x）的极大值点，于是，
则，
又，则，
由①②得，则，
又因为，，
所以，由ωx0＞0得k≥0，
又因为，
所以，
有k≤0，于是k=0，
所以
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