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2025-2026学年北京市第101中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共40分。
1.半径为2的圆中，弧长为的弧所对的圆心角是（　　）
A. 45° B. 60° C. 120° D. 150°
2.下列函数中，周期为π且为偶函数的是（　　）
A. B.
C. y=tanx D. y=cos4x
3.下列不等式成立的是（　　）
A. sin23°＜cos66°＜sin155° B. sin155°＜sin23°＜cos66°
C. sin23°＜sin155°＜cos66° D. cos66°＜sin155°＜sin23°
4.在边长为4的正三角形ABC中，若，则的值为（　　）
A. -4 B. -12 C. 12 D. 8
5.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点．若DC=3DF，设=，=，则=（　　）
A. + B. + C. + D. +
6.已知角α的终边经过点，则tanα的值可能是（　　）
A. B. C. 1 D.
7.若向量=（cosα，sinα），=（sinβ，cosβ），则（　　）
A. ⊥ B. ∥
C. （+）⊥（-） D. （+）∥（-）
8.已知，是两个不共线的单位向量，向量=λ+μ（λ，μ∈R）.则“ （+）＜0”是“λ＜0且μ＜0”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.若函数在区间（0，π）内恰有两个最值点和三个零点，则ω的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
10.在△ABC中，AB=AC=4，当λ∈R时，||的最小值为4.若，，其中，则||的最小值为（　　）
A. 2 B. 1 C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知单位向量，满足 （+）=2，则向量与的夹角为 .
12.已知α为锐角，，β是第四象限角，，则sin（α+β）= .
13.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为d=Asin（ωt+φ）+K（A＞0，ω＞0，-＜φ＜）.则盛水筒出水后到达最高点的最短时间为 s.
14.已知函数，给出下列四个结论：
①f（x）的定义域为{x|x∈R，x≠kπ+，k∈Z}；
②f（x）的图象关于点对称；
③若k＞0，则f（x）在区间上单调递增；
④若k＜0，，则f（x）的最小值为-1-k.
其中所有正确结论的序号是 .
15.已知平面向量，，满足||=||= =2，（-） （-2）=0，则|+|的取值范围是 .
三、解答题：本题共5小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
ωx+φ 0 π 2π
x
f（x）=Asin（ωx+φ） 0 5 -5 0
（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）作出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的图象；
（3）将函数y=f（x）图象上所有的点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到函数y=g（x）的图象.若函数y=g（x）图象的一条对称轴为，求θ的最小值.
17.(本小题8分)
已知向量，满足||=1，（+）⊥（2+），求＜，＞的取值范围.
18.(本小题10分)
已知向量=（-1，），=（cosθ，sinθ）.
（1）若⊥且θ∈（π，2π），求cosθ的值；
（2）若|+|=||，求的值.
19.(本小题15分)
已知函数＜φ＜的部分图象如图所示.
（1）求函数f（x）的解析式，写出f（x）的单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象.
①当时，关于x的方程g（x）-a=0恰有三个不相等的实数根x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则实数a的取值范围是______，x1+2x2+x3的值为______；
②已知△ABC的三个顶点均在函数y=g（x）的图象上，且A（x0，1），B（x0-π，5），C（x0+π，5），点D在线段AB上运动，则的取值范围是______.
20.(本小题10分)
已知数列A：a1，a2， ，an，从A中选取第i1项、第i2项、…、第ik项（i1＜i2＜ ＜ik）构成数列，B称为A的k项子列.记数列B的所有项的和为T（B）.当k≥2时，若B满足：对任意s∈{1，2，…，k-1}，is+1-is=1，则称B具有性质P.规定：A的任意一项都是A的1项子列，且具有性质P.
（Ⅰ）当n=4时，比较A的具有性质P的子列个数与不具有性质P的子列个数的大小，并说明理由；
（Ⅱ）已知数列A：1，2，3，…，n（n≥2）.
（ⅰ）给定正整数，对A的k项子列B，求所有T（B）的算术平均值；
（ⅱ）若A有m个不同的具有性质P的子列B1，B2， ，Bm，满足： 1≤i＜j≤m,Bi与Bj都有公共项，且公共项构成A的具有性质P的子列，求m的最大值.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】0
12.【答案】0
13.【答案】10
14.【答案】①②④
15.【答案】
16.【答案】根据表中已知数据，得，数据补全如下表：
ωx+φ 0 π 2π
x
f（x）=Asin（ωx+φ） 0 5 0 -5 0
函数解析式为 大致图像如图所示：

17.【答案】[acrcos（-），π）．
18.【答案】
19.【答案】f（x）=，[kπ-，kπ+]，k∈Z [4，3+];;[-2π2，16-π2]
20.【答案】解：（Ⅰ）当n=4时，A共有24-1=15个子列，其中具有性质P的子列有4+3+2+1=10个，
故不具有性质p的子列有5个，所以A的具有性质P的子列个数大于不具有性质p的子列个数；
（Ⅱ）（i）若B：，，…，ai是A的项子列，则B'：n+1-ai1，n+1-ai2， ，n+1-aik也是A的项子列．
所以，
因为给定正整数，A有个k项子列，所以所有T（B）的算术平均值为；
（ii）设Bk（k=1，2， ，m）的首项为xk，末项为yk，记，
若存在j=1，2，…，m,使yj＜，则Bj与没有公共项，与已知矛盾．
所以，对任意j=1，2，…，m,都有yj≥，
因为对于k=1，2，…，m,xk∈{1，2， ，}，yk∈{，+1， ，n}，所以共有种不同的情况．
因为B1，B2，…，Bm互不相同，所以对于不同的子列Bi，Bj，xi=xj与yi=yj中至多一个等式成立，所以（n+1-）≥m,
当n是奇数时，取，，共有个满足条件的子列；
当n是偶数时，取，，共有个满足条件的子列．
综上，n为奇数时，m的最大值为；n为偶数时，m的最大值为．
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