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河南商丘市商师联盟2025-2026学年高二下学期4月期中数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片 2部文艺片 3部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（）
A. 18 B. 9 C. 8 D. 7
2.一个直线运动的质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该质点在t=2s时的瞬时速度为（　　）
A. 3m/s B. 6m/s C. 8m/s D. 9m/s
3.已知随机变量的分布列为
1 2 3 4
则（ ）
A. B. C. D.
4.已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）
A. B.
C. D.
5.某同学参加校园义卖活动，将自己制作的8个不同类型的手工艺品排成一排进行售卖，要求其中的甲、乙、丙3个手工艺品相邻排列，则不同的排法总数为（）
A. 1440 B. 2160 C. 4320 D. 5760
6.已知函数在定义域上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.某社区组织文化活动，现有书法艺术展示 传统戏曲表演 民间手工艺制作 古典诗词朗诵 现代音乐赏析这5个文化活动项目.社区安排6名志愿者负责这5个项目的活动组织，若每个项目的活动都至少有1名志愿者负责，每名志愿者均需要负责且只负责其中1个项目的活动组织，则不同的分配方法种数为（ ）
A. B. C. D.
8.若函数在区间上有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列求导正确的是（）
A. B.
C. D.
10.已知，则（ ）
A.
B.
C.
D.
11.已知随机变量，，，则（ ）
A. 若，则
B. 若随机变量满足，，则
C. 若，则
D. 若，则有最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若C=C，则实数x= ．
13.若直线y=x-1是曲线y=xlnx+a的切线，则实数a= .
14.端午节吃粽子是一大习俗，粽子，又叫角黍、筒粽.某礼盒中有6盒粽子，其中3盒是豆沙粽，3盒是鲜肉粽，从中任取2盒粽子，记取到的鲜肉粽有盒，则的方差为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知.
(1)求的值；
(2)求的二项展开式中的常数项.
16.(本小题15分)
已知函数在处取得极大值．
(1)求，的值；
(2)求函数的极小值．
17.(本小题15分)
某自然保护区为预防森林火灾，安装了智能监控系统，数据显示在炎热干燥天气条件下，该保护区每天发生火灾的概率为0.04，当火灾发生时系统正确发出警报的概率为0.95，当火灾没有发生时，系统错误发出警报的概率为0.02.
（1）求炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报的概率；
（2）若炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报，估计保护区该天实际发生火灾的概率（精确到0.01）.
18.(本小题17分)
围棋起源于中国，古时称“弈”，属“琴棋书画”四艺之一，是古老的智力游戏和高雅的竞技运动，“对弈”特指下围棋.现甲与乙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是，甲也与丙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是.在甲与乙对弈的三盘中，甲恰好赢一盘的概率高于甲恰好赢两盘的概率.已知各盘棋的输赢相互独立.
(1)求的取值范围.
(2)已知，在甲与丙对弈的三盘中，甲赢的盘数是，求的分布列与数学期望.
19.(本小题17分)
已知函数.
(1)当时，求的图象在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)当时，求证：.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】ABD
10.【答案】BC
11.【答案】BCD
12.【答案】2或3
13.【答案】0
14.【答案】 /
15.【答案】解：（1）由，得，即，解得，
由，得且，所以；
（2）由（1），得，
的二项展开式中通项公式为，
令，得，
所以的二项展开式中，常数项为.

16.【答案】解：（1）函数求导得，
故，且，
解得，，
此时，，
令，解得或，
当时，解得，函数单调递减；
当，解得或，函数单调递增，
在处取得极大值，极大值为，符合题意，
，．
（2）由（1）知在上单调递减；在，上单调递增；
函数在处取得极小值，极小值为．

17.【答案】0.0572 0.66
18.【答案】解：（1）在甲与乙对弈的三盘中，甲恰好赢一盘的概率为，
甲恰好赢两盘的概率为，
因为甲恰好赢一盘的概率高于甲恰好赢两盘的概率，所以，
又，所以，解得，
即的取值范围是.
（2）已知在甲与丙对弈的三盘中，每盘甲赢棋的概率是，若甲赢的盘数是，则，
所以，，
，.
的分布列为：
0 1 2 3
所以（或）.

19.【答案】解：（1）当时，，所以，，
所以，
所以的图象在处的切线方程为，即.
（2）的定义域为，，
当时，，此时在上单调递增；
当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，若，即，，所以在上单调递增；
若，即，令，解得或，
令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（3）当时，，要证，即证.
令，则，易得在上单调递增，
又，，
所以，使得，故，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，所以.

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