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湖北楚天协作体2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在复平面内，对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知，那么（ ）
A. B. C. D.
4.在平行四边形ABCD中，是BC上的点，且交BD于，则（ ）
A. B. C. D.
5.为了得到函数的图像，可以将函数的图象上（ ）
A. 每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
B. 每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
C. 每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
D. 每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
6.在中，向量与满足，且，则为（ ）
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰非等边三角形
7.如图，在中，M，N分别是AB，AC的中点，D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为（ ）
A. 3 B. C. 4 D.
8.已知函数f(x)=x-x(>0)在(0,)上存在最值,且(,)是f(x)单调递增区间的子集,则满足条件的正整数的取值为( )
A. 3 B. 4 C. 3或4 D. 4或5
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 的最小值为
D. 若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是
10.函数f(x)=A(x+)(A>0,>0,||<)部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A. =2,=-
B. 函数f(x)的零点为-+k(kZ)
C. 若实数,满足|f()-f()|=8,则-=
D. 若f(x)在区间[,a]上的值域为[-A,2],则实数a的取值范围为[,]
11.已知ABC三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若(c+a)(C-A)=b(C-B),则下列选项正确的是( )
A. A的大小是
B. BC的取值范围是(0,]
C. 若D是BC边上的一点,且=2,AD=1,则ABC的面积的最大值为
D. 若三角形ABC是锐角三角形,AE平分BAC交BC于点E,则的取值范围是(,2)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为 .
13.已知函数f(x)=(x+)(>0,||<)的部分图象如图所示,若存在0<,满足f()=f()=,则(-)= .
14.在中，在边所在直线上，且满足，，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图,M、N分别是ABC的边BC、AB上的点,且BM=BC,AN=AB,AM交CN于P.
(1)若=x+y,求x-y的值;
(2)若AB=2,AC=3,BAC=,求MPN的大小.
16.(本小题15分)
如图，某公园新建摩天轮，其半径为50m，圆心距地面的高度为60m，摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，每15min转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处.
(1)已知在时刻（单位：）时点距离地面的高度（其中，，求函数解析式及当点旋转到距离地面的高度为85 m时需要的最短时间；
(2)当点距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，若游客可以在上面游玩，则游客在游玩过程中共有多少时间可以看到公园的全貌？
17.(本小题15分)
在中，角，，的对边分别为，，，且.
(1)求的值；
(2)若，当的周长最小时，求的值.
18.(本小题17分)
已知向量，函数.
(1)求的最小正周期；
(2)设函数满足.当时，函数与的图象有两个交点，求的取值范围；
(3)当时，求函数的最大值.
19.(本小题17分)
如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系.在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设分别为，正方向同向的单位向量，若向量，记向量在的斜坐标系中.
(1)若向量，求；
(2)已知向量，证明：；
(3)若向量的斜坐标分别为和，，设函数，，求不等式的解集.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】ABD
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】(1)解:由题意,=+=+=+(-)=+，
因为A,P,M三点共线,设==+，
又因为C,P,N三点共线,且N为AB中点,设=+(1-)=+，
由平面向量基本定理得:，解得=，
所以=+，
即x=，y=，
故x-y=.
(2)解:由(1)知=+，=-，
=23=3，
=(+)(-)=--=4-3-9=-，
||===，
||==.
设向量与的夹角为,
则===-，所以=，
因为MPN即为向量,的夹角,
所以MPN=.
16.【答案】解：（1）由题意可得，，周期，则，解得，
由摩天轮上的点的起始位置在最低点处，则，
即有，则，又，故，
故；
令，则，
则或，
解得或，
故所需最短时间为；
（2）令，即，
则，
解得，
则一个周期内有可以看到公园的全貌，
则当游客在上面游玩时，共有可以看到公园的全貌.

17.【答案】解：（1）由正弦定理可得，
又，
则，
即，又，故，
则，故，
即，又，故，即；
（2）由余弦定理可得，
由，故，整理得，
故
，
当且仅当，即时，等号成立，
故当的周长最小时，的值为.

18.【答案】解：（1），
，
，
的最小正周期．
（2）因为，
所以与的图象关于直线对称，
；
当时，，
则当，即时，单调递增；
当，即时，单调递减；
而，，，
可得在的大致图象，如下图所示，

而有两个零点等价于与有两个交点，
由上图可知.
（3）
，
令，得：，
，，，
等价于求，的最大值，
的对称轴为，下面对进行分类讨论，
当，即时，在上单调递减，，
，即时，在上单调递增，在上单调递减，
，
当，即时，在上单调递增，
，

19.【答案】（1）由，则，
则
；
（2）由，则，，
则
，即得证；
（3）由向量的斜坐标分别为和，，
结合（2）中所得，有，
，
，
故
，
由，
令，则，
故，
令，整理得，
解得或，又，故，
即，即，
即有，
解得，
即不等式的解集为.

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