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4.2 课时1 公因式是单项式的提公因式
第四章 因式分解
1. 能准确地找出各项的公因式，并注意各种变形的符号问题.
2. 能简单运用提公因式法进行因式分解.
问题：分析下列组成多项式的单项式，说说对于每组多项式中的单项式有什么共同特点？
各项都含有相同的因式，
其中有相同的因式b.
3x2+x的各项都含有相同的因式x；
mb2+nb-b的各项都含有相同的因式b.
我们把多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式.如b就是多项式ab+bc各项的公因式.
多项式中各项的公因式是各项系数的最大公因数与各项都含有的相
同字母的最低次幂的乘积.
知识点1 公因式
例1 多项式6ab2c-3a2bc+12a2b2中各项的公因式是(　　)
A. abc 　　　　　 B. 3a2b2 　　　　　
C. 3a2b2c 　　　　　 D. 3ab
D
思考：如何确定公因式？
确定公因式的一般步骤(这里一般是指最大公因式)：
一定“系数”：当多项式各项系数都为整数时，取它们的最大公因数.
二定“字母”：取各项的相同字母.
三定“指数”：取各项相同字母的最低指数.
思考：如何将多项式2x2+6x3因式分解？
( a+b+c )
pa+ pb +pc
p
=
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫作提公因式法.
例2 把下列各式因式分解：
(1) ； (2) ；
原式
；
解：原式
；
例2 把下列各式因式分解：
(3) ； (4).
原式
.
当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项的系数成为正数，在提出“-”号时，多项式的各项都要变号.
解：原式= 4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc
= 4ab2(2a2+3bc).
用提公因式法因式分解的步骤：
(1) 确定公因式； (2) 提出公因式；
(3) 确定另一个因式； (4) 写成乘积的形式.
注意：
1. 分解因式是一种恒等变形；2. 公因式要提尽；
3. 不要漏项；4. 提负号，要注意变号.
已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．
解：∵ ，
∴ 原式.
含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带入求解即可.
提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系
单项式乘多项式是乘法分配律的运用，提公因式法因式分解是乘法分配律的逆用.
1. 多项式的公因式是(　　)
A．xmyn B．xmyn﹣1
C．4xmyn D．4xmyn﹣1
D
2. 多项式提取公因式xm后，另一个因式是(　　)
A. x2-1 B. xm-1
C. xm D. x2m-1
B
3. 把下列各式因式分解：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ；
解：(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4).
3. 把下列各式因式分解：
(5) ； (6) ；
(7) ； (8)
解：(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) .
4. 已知，，求的值.
解：
当，时，
原式.
5. 计算：.
解：
步骤：第一步找公因式；
第二步提公因式.
确定公因式的方法：
三定，即定系数；定字母；定指数.
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫作提公因式法.
公因式
提公因式法因式分解
提公因式法
我们把多项式各项都含有的相同因式，
叫作这个多项式各项的公因式.

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