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(共25张PPT)
仔细观察下列实际生活中的物品，你能发现什么熟悉的图形？
正方形
18.3 正方形
1.理解正方形的概念、性质和判定，会用它们进行有关的论证和计算．
2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别．
我们已经学了矩形和菱形，想一想它们怎么才能变成正方形？
5 cm
8 cm
5 cm
一组邻边相等
矩形
正方形
一个角是直角
菱形
正方形
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
根据定义，猜猜正方形具有哪些性质？
猜想：1. 正方形的四个角都是直角，四条边都相等.
2. 正方形对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD 相交与点 O.
求证：①正方形 ABCD 四条边都相等，四个角都是直角；
②AO = BO = CO = DO，AC ⊥ BD.
证明：①∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠A = 90°，AB = AD（正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形，∴四边形 ABCD 是矩形（矩形的定义），
且四边形 ABCD 是菱形（菱形的定义）.
∴∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°，AB = BC = CD = AD.
②在四边形 ABCD 中，
∵正方形是矩形，∴AO = BO = CO = DO.
又∵正方形是菱形，∴AC ⊥ BD.
A
B
C
D
O
请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么它有几条对称轴？
是轴对称图形， 有 4 条对称轴.
边 角 对角线 对称性
平行四边形
矩形
菱形
正方形
对边平行且相等
对角线相等且互相垂直平分
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直平分
对角线相等且互相平分
四个角都是直角
对角相等
对角相等
对边平行，四条边相等
对边平行，四条边相等
对边平行且相等
中心对称
轴对称、
中心对称
轴对称、
中心对称
轴对称、
中心对称
例 1 如图，已知正方形 ABCD . 求∠ABD、∠DAC、∠DOC 的大小.
A
B
C
D
O
分析：由正方形的特殊性质，
易证△ABO≌△CBO，
从而可得∠ABD = ×90°= 45°，
同理可得∠DAC = 45°.
可知∠DOC = 90°.
1. 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形，求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵ ΔBEC是等边三角形，∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵ 四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，
∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
交流讨论：老师给学生布置了一项任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形.以下是三位学生的检验方式，他们的检验可信吗
小明剪完后，这样检验它：比较边长，发现四条边是相等的，于是就判定自己完成了这项任务.这种检验可信吗？
小兵用另一种方法检验：他量的不是边，而是对角线，发现对角线是相等的，于是就认为自己正确地剪出了正方形.这种检验对吗？
小英剪完后，比较了由对角线相互分成的 4 条线段，发现它们是相等的.于是就认为自己正确地剪出了正方形.
按照小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形.
A
B
C
D
O
你认为应该如何检验，才能又快又准确呢？
思考：正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？
平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
一个角是直角
平行四边形
矩形
一组邻边相等
一个角是直角
一组邻边相等
菱形
一组邻边相等
一个角是直角
正方形
1. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A. 对角线相等
B. 对角线互相平分
C. 对角线互相垂直
D. 对角线平分对角
矩形、正方形
矩形、菱形、正方形
菱形、正方形
菱形、正方形
B
2. 如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F 分别为 AC、BD 上的点，且 OE ＝ OF，连结 AF、BE、EF．若∠AFE ＝25°，则∠CBE 的度数为( )
A. 70°
B. 65°
C. 55°
D. 50°
B
3.如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，P是AC上任意一点(不与点A 、C 重合)，且∠EPB＝90°，PM⊥AD于点M ，PN⊥AB于点N．
求证:(1)四边形 PMAN是正方形；(2)EM＝BN ．
解: (1) ∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠BAD＝90°，AC 平分∠BAD．
∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴∠PMA＝∠PNA＝90°，且PM＝PN，
∴∠NAM＝∠PMA＝∠PNA＝90°，∴四边形 PMAN 是矩形．
又∵PM＝PN，∴四边形PMAN是正方形．
(2) ∵四边形 PMAN是正方形，∴∠MPN＝90°
∵∠EPB＝90°，∴∠MPE+∠EPN＝∠NPB+∠EPN，∴∠MPE＝∠NPB．
∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴∠PME＝∠PNB＝90°．
又∵PM ＝PN，∴△EPM≌△BPN (ASA)．∴EM ＝ BN ．
正方形的定义和性质
定义
性质
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
四个角都是直角
四条边都相等
对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
平行四边形
四边形
矩形
菱形
正方形
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分
C.对角互补 D.对角线相等
B
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角 D.对角线相等
D
3.在正方形ABCD中，∠ADB= ,∠DAC= , ∠BOC= .
4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 .
A
D
B
C
O
A
D
B
C
O
E
45°
90°
22.5°
45°
5.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是____________（填写序号）．
②③或①④
6.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
=2
∴正方形的周长为4AD＝8， 面积为AD2＝8.
1. 把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片. 为什么？
解：如图，由折叠知 AB = AD，
∠B =∠ADC = 90°.
∵∠BAD = 90°，
∴四边形 ABCD 是矩形，且 AB = AD，
由正方形是有一组邻边相等的矩形可知，
四边形 ABCD 是正方形.
A
B
D
C
【选自教材练习 第1题】
2. 判断下列命题是否正确：
（1）正方形有四条对称轴；
（2）正方形的两条对角线将其分成 4 个全等的等腰直角三角形；
（3）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（4）对角线相等的菱形是正方形.
√
√
√
√
【选自教材练习 第2题】
3. 在下列各方格图中，有多少个正方形？有多少个矩形？
①
②
有 5 个正方形，9 个矩形.
有 14 个正方形，36 个矩形.
【选自教材练习 第3题】
4. 已知正方形纸片 ABCD 的边 AB 长 2 cm. 求这个正方形的周长、对角线长和面积.（长度精确到 0.1 cm）
解: 正方形的周长为 4×2 ＝8 (cm)，
对角线 AC ＝BD ＝ ≈ 2.8 (cm)，
正方形的面积为 2×2＝4 (cm2).
A
B
C
D
【选自教材练习 第4题】

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