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18.2.2 第2课时 菱形的判定定理2
1.理解菱形的判定定理2，能初步综合应用菱形的性质与判定定理解决相关的计算与证明问题．
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
性质定理 1
菱形的四条边都相等.
性质定理 2
菱形的两条
对角线互相垂直.
?
菱形有哪些特殊性质？如何判定图形是菱形？
可以用来判定菱形
菱形的判定定理1
如图，取两根长度不等的细木棒，让两个木棒的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线.
平行四边形
转动其中一个木棒，重复上面的做法，当两根木棒之间的夹角等于 90°时，得到的是什么图形？
试一试:作一个两条对角线互相垂直的平行四边形.
1.作 2 条互相垂直的直线 m、n，记交点为点 O；
2.以点 O 为圆心、适当长为半径作弧，在直线 m 上截取相等的两条线段 OA、OC；
3.以点 O 为圆心、另一适当长为半径作弧，在直线 n 上截取相等的两条线段 OB、OD；
4.顺次连结所得的四点.
A
B
C
D
m
n
O
它是菱形吗，怎么证明？
已知：四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 与 BD相交于点 O，AC ⊥ BD.
求证：平行四边形 ABCD 是菱形.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC，
又∵AC ⊥ BD,
∴BD 所在直线是线段 AC 的垂直平分线，
∴AB = BC
∴平行四边形 ABCD 是菱形.（菱形的定义）
A
O
C
B
D
菱形的判定定理 2：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
几何语言：
∵在 □ ABCD 中，AC ⊥ BD，
∴四边形 ABCD 是菱形.
A
O
C
B
D
思 考：若四边形 ABCD 的对角线 AC ⊥ BD，则四边形 ABCD 是不是菱形？
只有对角线互相垂直平分的四边形才是菱形.
例题：如图，已知矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于点 E、F. 求证：四边形 AFCE 是菱形.
2
A
B
C
D
F
E
O
1
要证四边形 AFCE 是菱形
已知条件可知 EF ⊥ AC
只需要证明四边形 AFCE 是平行四边形
又知 EF 垂直平分 AC
所以只需证明 OE = OF
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠1 = ∠2.
∵EF 平分 AC，
在△AOE 和 △COF 中，
∴△AOE ≌ △COF，∴OE = OF，
∴四边形 AFCE 是平行四边形.
又∵EF ⊥ AC，
∴四边形 AFCE 是菱形 (对角线互相垂直的平行四边形是菱形.)
∴ AE ∥ FC，
∴OA = OC.
∵∠1 = ∠2，OA = OC，∠AOE = ∠COF，
如图，在△ABC中，DE∥BC，且2DE＝BC，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
解：(1)∵DE∥BC，且2DE＝BC，
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．
又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形；
(2)∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为2????，
∴菱形的面积为4×2????=8????.
?
四条边都相等
菱形
一组邻边相等
对角线互相垂直
对角线互相平分
一组对边平行且相等
两组对边分别平行或相等
四边形
平行四边形
两组对角分别相等
1. 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 互相垂直平分，AB ＝ 3，则四边形 ABCD 的周长为 ( )
A. 6 B. 9 C. 12 D. 18
A
O
C
B
D
C
A
B
C
D
O
E
2.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE ∥BD.
求证：四边形OCED是菱形.
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形．
3. 如图，□ ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AB ＝ 5，OA ＝ 4，OB ＝ 3. 求证: 四边形 ABCD 是菱形．
证明: ∵AB ＝ 5，OA ＝ 4，OB ＝ 3，
∴OA2 + OB2 ＝42 + 32 ＝25＝52＝AB2，
∴△AOB 是直角三角形，∠AOB＝90°，
∴AC ⊥ BD．
又∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴四边形 ABCD 是菱形．
A
O
C
B
D
4.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形.
A
D
O
E
M
证明：∵MN是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AD=CD，OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°.
∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO，
∴△ADO≌△CEO（ASA）．
∴AD=CE，OD=OE，
∵OD=OE，OA=OC，∴四边形ADCE是平行四边形
又∵∠AOD=90°，∴四边形ADCE是菱形．
给定一条线段 AC，你能否利用尺规作图作出一个菱形，使 AC 为该菱形的一条对角线？试试看.
提示: 作线段 AC 的垂直平分线，
并以垂足为圆心，任意长为半径
交垂直平分线于 B，D 两点，
连结 AB、CB、AD、CD 即可.
A
C
O
D
B
【选自教材练习 第1题】
2. 如图，过 □ ABCD 的对角线的交点 O，作互相垂直的两条直线 EG、FH，与 □ ABCD 各边分别相交于点 E、F、G、H.
求证：四边形 EFGH 是菱形.
证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC，OB ＝OD，∴ ∠GBO ＝∠EDO.
又∵ ∠BOG ＝∠DOE，∴ △BOG≌△DOE，∴ OG ＝OE.
同理可证△BOF≌△DOH，∴ OF ＝OH，
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形.
又∵ EG ⊥ FH，
∴ 四边形 EFGH 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
A
B
C
D
E
F
G
H
O
【选自教材练习 第2题】
解: 如图，作两条对角线长分别为 6 cm 和 4 cm 的四个菱形，
这个图形就是所设计的花边图案. (答案不唯一)
3. 设计一个由一条对角线在同一条直线上的四个菱形交叉组成
的花边图案，其长为 15 cm，宽为 4 cm，试画出它的图形.
【选自教材练习 第3题】

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