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18.2.2 第1课时 菱形的判定定理1
1.理解菱形的定义判定法及判定定理1，会用这两个判定方法进行有关的论证和计算．
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形
特有的性质
①四条边都相等.
②两条对角线互相垂直.
菱形的定义是什么？有哪些特殊性质？
可以用定义来判定菱形
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形
特有的性质
①四条边都相等.
②两条对角线互相垂直.
运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？
定义法判定菱形：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
A
B
C
D
几何语言：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
且 AB = AD，
∴四边形 ABCD 是菱形.
1.如图，四边形ABCD是矩形，AE∥BD，DE∥AC，则四边形AODE是 (　　)
A．平行四边形但不是菱形　　
B．矩形
C．菱形
D．无法确定
C
分析：由矩形的对角线相等且互相平分得到OA＝OD，再由两组对边分别平行可得四边形OAED是平行四边形，所以 AODE是菱形．
类比矩形的判定定理，有两个是由矩形的性质的逆命题通过猜想证明得到的，那么对于菱形可以吗？
试一试：如图，作一个四条边都相等的四边形.
作法：
A
B
C
D
1. 作两条相等的线段 AB、AD；
2. 分别以点 B 和点 D 为圆心、AB
长为半径作弧，两弧相交于点 C；
3. 连结 BC、CD.
四边形 ABCD 即为所要求作的四边形.
四条边相等的四边形是菱形吗，怎么证明？
已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = DA .
求证：四边形 ABCD 是菱形.
证明：∵AB = CD，DA = BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又 ∵AB = BC，
∴ □ ABCD 是菱形.
A
B
C
D
菱形的判定定理 1：四条边都相等的四边形是菱形.
几何语言：
∵在四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD .
∴四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
思 考：有三条边相等的四边形是菱形吗？画一画.
例题：如图，在矩形 ABCD 中，点 E、F、G、H 分别是四条边的中点. 试问：四边形 EFGH 是什么图形？并说明理由.
A
B
D
C
E
H
F
G
解题思路：
1. 先证明这四个三角形全等.
2. 再利用菱形的判定定理 1.
证明: ∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠A =∠B =∠C =∠D =90°，AD=BC，AB=CD．
∵E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，AD 的中点，
∴AH=DH=BF=CF，AE = BE = CG = DG．
∴△AHE≌△BFE≌△CFG≌△DHG (SAS)，
∴HE = FE = FG = HG.
∴四边形 EFGH 是菱形．
1.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（　　）
A．AB=BC B．AC=BC
C．∠B=60° D．∠ACB=60°
B
解：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AC∥DE，AC=DE，
∴四边形ACED为平行四边形.
当AC=BC时，AC=CE，平行四边形ACED是菱形．
2
2.如图,在△ABC中,，AD是角平分线,点E、F分别在 AB、AD上，且AE=AC，EF = ED.
求证：四边形CDEF是菱形.
A
C
B
E
D
F
1
证明： ∵ ∠1= ∠2，AE=AC，AD=AD,
∴ △ACD≌ △AED (SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS) .
∴CD=ED， CF=EF.
又∵EF=ED，∴CD=ED=CF=EF,
∴四边形CDEF是菱形.
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的判定
菱形的判定定理 1：四条边相等的四边形是菱形.
1.下列命题中正确的是（ ）
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.三条边相等的四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是菱形
D.四个角相等的四边形是菱形
C
2. 如图，在 □ ABCD 中，若添加一个条件使得□ ABCD 是菱形，则这个条件可以是 ( )
A. ∠ABC＝90° B. AB＝AD C. AB＝CD D. AB∥CD
B
3. 如图，在四边形ABCD 中，E、F、G、H 分别是AB、CD 、AC、BD的中点，添加下列条件，可以判定四边形EHFG 为菱形的是（ ）
A. AC＝BD B. AB∥CD C. AD＝BC D. AC⊥BD
C
4.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F．求证：四边形AEDF是菱形．
证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.
又∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°.
∵在△AEO和△AFO中，
∠EAO＝∠FAO，AO＝AO，∠AOE＝∠AOF,
∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO=FO，AE=AF.
∵EF垂直平分AD，∴EF、AD相互平分，
∴四边形AEDF是平行四边形.
又∵AE=AF，∴平行四边形AEDF为菱形．
1.你还记得做过的剪纸探索吗？如图，将一张矩形的纸对折，再对折，然后沿着虚线剪下，打开，你发现这是一个特殊的平行四边形——菱形. 现在你能说明其中的理由吗？
解: 沿着虚线剪开后，得到四边形的四条边长都等于 AB 的长，所以这个四边形是菱形.
【选自教材练习 第1题】
2. 如图，在四边形 ABCD 中，AD // BC，AB = AD，∠BAD的平分线 AE 交 BC 于点 E，连结 DE .
求证：四边形 ABED 是菱形.
证明：∵ AD∥BC，∴ ∠1 ＝∠3.
∵ AE 平分∠BAD，∴ ∠1＝∠2，
∴ ∠2＝∠3，∴ AB ＝ BE.
∵ AB ＝ AD，∴ AD ＝ BE.
又∵ AD∥BE，∴ 四边形 ABED 是平行四边形.
又∵ AB ＝AD，
∴ 四边形 ABED 是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).
A
B
E
C
D
1
2
3
【选自教材练习 第2题】
解: □ ABCD 是菱形.
理由如下:
∵ PE ⊥ AB，PF ⊥ AD，PE ＝ PF，∴ AC 是∠DAB 的平分线，
∴ ∠DAC ＝∠BAC.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB∥CD，
∴ ∠BAC ＝∠ACD，
∴ ∠DAC ＝∠ACD，∴ AD ＝ DC，
3. 如图，在□ ABCD 中，点P 是对角线AC 上的一点，PE ⊥ AB，PF ⊥ AD，垂足分别为点E、F，且 PE = PF.□ ABCD 是菱形吗？为什么？
∴ 四边形 ABCD 是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).
A
B
C
D
P
E
F
【选自教材练习 第3题】

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