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18.2.2 第2课时 菱形性质的应用
1.能进一步运用菱形的性质解决有关的问题.
菱形的性质
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
特殊性质
四条边都相等
对角线互相垂直
是轴对称图形
菱形的面积 = 底×高或对角线乘积的一半
什么是菱形？它有哪些性质？
例 1 如图，已知菱形ABCD 的边长为2 cm，∠BAD = 120°，对角线AC、BD相交于点O . 求这个菱形的两条对角线 AC 和 BD 的长(保留根号).
解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴OB = OD，AB = AD（菱形的四条边都相等）.
又∵AO = AO，
∴△ABO ≌ △ADO.
∴∠BAO = ∠DAO = ∠BAD = 60°.
在△ABC 中，∵AB = BC， ∠BAC = 60°，
∴△ABC 为等边三角形.
∴AC = AB = 2 (cm).
A
D
B
C
O
在菱形 ABCD 中，
∵AC ⊥ BD (菱形的对角线互相垂直），
∴△AOB 为直角三角形.
∴BO = = = .
∴BD = 2BO = 2（cm).
分析：若菱形中含有120°的内角，容易想到等边三角形与等腰三角形的“三线合一”，再由菱形对角线产生直角，所以可以利用勾股定理求出对角线的长．
例2 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AE 垂直且平分 CD，垂足为点 E. 求 ∠BCD 的大小.
解: ∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD = DC = CB = BA (菱形的四条边都相等）.
又∵AE 垂直平分 CD，∴AC = AD.
∴AC = AD = DC = CB = BA，
即△ADC 和△ABC 都是等边三角形.
∴ ∠ACD = ∠ACB = 60°.
∴∠BCD = 120°.
B
A
C
D
O
E
1.菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的周长是（　　）
A．40 B．24
C．20 D．10
分析：根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．
C
2.已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于点E.求证：∠AFD＝∠CBE.
E
F
B
C
D
A
分析：根据菱形的对边平行可以推出∠AFD＝∠CDF，问题得以转化，只需证这两个角所在的三角形全等即可．
证明：连结BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，OB＝OD，∴OC平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE.
又∵CE＝CE，∴△BCE≌△DCE，
∴∠CBE＝∠CDE.
在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD＝∠FDC，∴∠AFD＝∠CBE.
O
3.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF．
(1)求证：AE＝AF；(2)若∠B＝60°，求∠AEF的度数．
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＋∠BAD＝180°.
又∵∠B＝60°，∴∠BAD＝120°.
∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAE＝30°.
由(1)知△ABE≌△ADF，∴∠BAE＝∠DAF＝30°.
∴∠EAF＝120°－30°－30°＝60°.
又∵AE＝AF，∴△AEF是等边三角形．
∴∠AEF＝60°.
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D.
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°.
在△ABE与△ADF中，
∵∠AEB＝∠AFD，
∠B＝∠D，AB＝AD，
∴△ABE≌△ADF. ∴AE＝AF.
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半.
菱形的周长=边长的4倍边长的4倍.
与菱形有关的计算
与菱形有关的证明
菱形性质的应用
1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A=60°，AB=5，则△ABD的周长是 ( 　)
A.10 B.12 C.15 D.20
C
2.如图，在菱形ABCD中，E是边AB 上一点，DE ＝ AD，
连结 EC．若∠ADE ＝ 36°，则∠DEC 的度数为 ( )
A. 72° B. 54° C. 50° D. 48°
B
3. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，OE ⊥ AB，垂足为点 E．若 OE ＝ 3，菱形 ABCD 的面积是 48，则菱形的边长为____.
8
4. 如图，在菱形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上一动点，过点 P 作 PE ⊥ BC 于点 E，PF ⊥ AB 于点 F. 若菱形 ABCD 的周长为 10，面积为 12，则 PE + PF 的值为______.
4.8
1.如图，已知菱形 ABCD 的边 AB = 5 cm，一条对角线 AC = 6 cm. 求这个菱形的周长和它的面积.
解: 如图，设 AC、BD 相交于点 O.
在菱形 ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝5 cm，AC ⊥ BD，
∴ 菱形的周长＝4AB ＝20 cm.
又∵ AO ＝CO ＝ AC ＝ 3 cm，BO ＝ DO，
在 Rt△ABO 中，
BO ＝ ＝ ＝ 4 (cm)，
A
C
B
D
∴ BD ＝ 8 cm，
∴ S菱形ABCD ＝ AC · BD ＝ ×6×8 ＝24 ( cm2 ).
O
【选自教材练习 第1题】
2.如图，已知菱形 ABCD 的一条对角线 BD 恰好与其边 AB的长相等. 求这个菱形各内角的大小.
解: 在菱形 ABCD 中，AB ＝AD，AB∥ CD.
又∵ BD ＝AB，∴ △ABD 为等边三角形，
∴ ∠A ＝60°，∴ ∠C ＝∠A ＝ 60°.
∵ DC∥AB，∴ ∠A + ∠ADC ＝ 180°，
∴ ∠ADC ＝ 120°，
∴ ∠ABC ＝∠ADC ＝120°.
A
B
C
D
【选自教材练习 第2题】
3.如图，在菱形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，且 DE ⊥ AB，AB = 4.
(1)求两条对角线 AC、BD的长（保留根号）；
(2)求菱形ABCD的面积（精确到 0.1）.
解:（1）如图，AC 交 BD 于点 O.
∵ E 是 AB 的中点，DE ⊥ AB，
∴ AE ＝ AB ＝ ×4 ＝ 2，BD ＝ AD.
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AD ＝AB ＝4，OB ＝ BD，OA ＝ AC，AC ⊥ BD.
∴ BD ＝ 4，OB ＝ 2.
在 Rt△AOB 中，AO ＝ ＝ ＝ ，
∴ AC ＝ 2AO ＝ 2.
A
B
C
D
E
O
(2)在菱形 ABCD 中，AC ＝ 2，BD ＝ 4，
∴ 菱形ABCD的面积 AC · BD ≈ 13.9
【选自教材练习 第3题】

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