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什么是矩形？它有哪些特殊性质？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形
1.角：
2.对角线：
四个角都是直角
对角线相等
类比平行四边形，矩形的这些性质对判定
矩形会有什么帮助呢？
它能判定一个四边形是矩形
18.1.2 第1课时 矩形的判定
1.理解并掌握矩形的判定定理，能应用其解决证明和计算问题.
探究一：矩形的判定
活动：请写出矩形两条性质的逆命题并尝试判断它的真假.
逆命题1：如果一个四边形的四个角都是直角，那么它是矩形.”
成立
矩形
1.角：
2.对角线：
四个角都是直角
对角线相等
逆命题2：“如果一个四边形的对角线相等,那么它是矩形.”
不一定，等腰梯形的对角线也相等.
思考交流：（1）条件能否再减少一些，三个角是直角的四边形是矩形吗？试一试：作一个三个角都是直角的四边形.
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.
如何证明？
作法：1. 任意作两条互相垂直的线段 AB、AD；
2. 过点 B 作垂直于 AB 的直线 l；
3. 过点 D 作垂直于AD 的直线 m，与直线l相交于点C.
四边形 ABCD 即为所要求作的四边形.
A
B
D
C
l
m
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠D=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证一证
证明:∵ ∠A=∠B=∠D=90°,
∴∠A+∠D=180°,∠A+∠B=180°，
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形.
D
A
B
C
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠D=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
画一画，你发现有一个角是直角的四边形是矩形吗？有两个角是直角的四边形是矩形吗？
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有二个角是直角)
所以至少有三个角是直角的四边形才是矩形
矩形的判定定理1：
有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
思考交流：（2）需要添加什么条件才能使对角线相等的四边形是矩形吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
试一试：作一个对角线相等的平行四边形.
作法：
1.任意作两条相交的直线，交点记为 O；
O
A
B
C
D
2.以点O为圆心、适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段OA、OB、OC、OD；
3.顺次连结所得的四点.
四边形 ABCD 的两条对角线相等且互相平分，即为所要求作的四边形.
如何证明呢？
已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.
求证：□ABCD是矩形.
A
B
C
D
证明：∵AB = DC，BC = CB，AC = DB,
∴ △ABC≌△DCB ,
∴∠ABC = ∠DCB.
∵AB∥CD,
∴∠ABC + ∠DCB = 180°,
∴ ∠ABC = 90°,
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.
证一证
矩形的判定定理2：
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言描述：
在平行四边形ABCD中，∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
1.如图，∠AOB 是一个直角，任意一点 P 到这个角的两边的距离之和为 6，则图中四边形的周长为______．
12
2. 依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ）
D
A
B
C
D
例1 如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.
B
C
D
E
F
G
H
O
A
证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD（矩形的对角线相等)，
AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分），
∵ AE=BF=CG=DH，
∴OE=OF=OG=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EO+OG=FO+OH，
即EG=FH，
∴四边形EFGH是矩形.
探究二：矩形判定定理的应用
思路：根据已知条件，我们可以先证明四边形 EFGH 是平行四边形，再证明对角线 EG 和 FH相等，即可得证.
例2 如图，四边形 ABCD 是由两个全等的正三角形 ABD 和 BCD 组成的，M、N 分别为 BC、AD的中点. 求证：四边形 BMDN 是矩形.
A
B
C
D
M
N
分析：由已知条件，可知 BN ⊥ AD，DM ⊥ BC，
因此，在四边形 BMDN 中，已有两个角是直角，只需再证明另一个角也是直角即可得到它是一个矩形.
证明：∵△ABD 和△BCD 是全等的正三角形，
∴∠ADB = ∠CDB = 60°.
又∵M、N分别为BC、AD的中点，
∴ BN⊥AD，DM⊥BC，∠BDM=∠BDC=30°.
∴∠DNB = ∠DMB = 90°,
∠MDN = ∠ADB + ∠BDM = 90°.
∴四边形 BMDN 是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形.
例3 如图，在 △ABC 中，AB = AC，AD ⊥ BC，垂足
为点 D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE//AB，
交 AG 于点 E. 求证：四边形 ADCE 是矩形.
分析：根据已知条件 AB = AC，我们可以先通过证明四边形 ABDE 是平行四边形，得到 DE=AB=AC.
因此可以利用“对角线相等的平行四边形是矩形”这一判定定理.
A
B
C
D
E
G
F
证明：∵AB = AC， AD ⊥ BC，
∴∠B = ∠ACB， BD = DC.
又∵AE 是△ABC 的外角 ∠CAF 的平分线，
∴∠FAE = ∠CAF = (∠B + ∠ACB) = ∠B.
又∵DE // AB，
∴AE // BC.
∴四边形 ABDE 是平行四边形.
∴AE = BD，AB = DE.
∴AC = DE， AE = DC.
∴四边形 ADCE 是平行四边形.
∴四边形 ADCE 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
要获取足够证明一个四边形为矩形的条件,往往需要结合图形中的其他条件,进行相关的推理.应根据已知条件,猜测最可能获取到的条件,从而选择合适的判定方法.
3.如图，△ABC中，AB＝AC，点F在CA的延长线上，AD，AE分别是∠BAC和∠BAF的平分线，BE⊥AE于点E.
(1)求证：DA⊥AE；(2)试判断AB与DE是否相等，并说明理由．
解：(1)∵AD平分∠BAC，AE平分∠BAF，
∴∠BAD＋∠BAE＝(∠BAC＋∠BAF)＝90°，
∴DA⊥AE；
(2)AB＝DE.
理由：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，
∵BE⊥AE，DA⊥AE，∴∠ADB＝∠BEA＝∠DAE＝90°，
∴四边形ADBE是矩形，∴AB＝DE.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA= OC,OB = OD.
又∵△ABO是等边三角形，∴OA= OB=AB= 4,∠BAC=60°.
∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8.
A
B
C
D
O
4.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ，△ABO是等边三角形， AB=4，求□ABCD的面积.
∴□ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形），
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角） .
在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB2 + BC2 =AC2 ,
∴BC= .
∴S□ABCD=AB·BC=4× =
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
运用定理进行计算和证明
矩形的判定
定义
判定定理
D
E
F
M
N
Q
P
A
B
C
1.如图，直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点，AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、 ∠MCA、 ∠ ACN、∠CAF的平分线，则四边形ABCD是（ ）
A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定
C
2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．
证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，
∴∠ADC=90°.
又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，
满足132=52+122，
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
A
B
C
D
3.如图，在 ABCD 中，过点 B 作 BE ⊥ CD 于点 E，点 F 在边 AB 上，AF ＝CE，连结 DF、CF.
(1)求证: 四边形 DFBE 是矩形；
(2)当 CF 平分∠DCB 时，若 CE ＝ 3，BE ＝ 4，求 CD 的长.
A
B
C
D
E
F
(1)证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∴ AB∥CD，AB ＝CD.
∵ AF ＝CE，
∴ AB－AF ＝CD－CE，即 BF ＝DE，
∴ 四边形 DFBE 是平行四边形.
∵ BE ⊥ CD，∴ ∠BED ＝90°，
∴ DFBE 是矩形.
(2)在Rt△BEC 中，∵ BE ＝4，CE ＝3，
∴ CB ＝ ＝ ＝ 5.
∵ CF 平分∠DCB，∴ ∠DCF ＝∠BCF.
∵ AB∥CD，∴ ∠DCF ＝∠CFB，
∴ ∠BCF ＝∠CFB，
∴ CB ＝BF. ∴ DE ＝BF ＝CB ＝ 5，
∴ CD ＝CE + DE ＝3 + 5＝ 8.

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