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(共20张PPT)
18.1.1 矩形的性质
1.理解矩形的概念以及它和平行四边形的关系
2.理解矩形的性质，会用其解决相关问题.
问题1：下面图形中都含有平行四边形,请把它们找出来.
它们有什么共同的特征？你还能举出别的例子吗？
问题2：如图，用四根木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在桌面上并轻轻推动，你会发现什么？
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形.
它的特殊性体现在哪些方面呢？
活动1：准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
(1)小组合作，测量身边矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）四条边的长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数,并记录下表测量结果.
AC BD ∠BAD ∠ADC ∠BCD ∠ABC
橡皮擦
课本
桌子
物体
测量
（实物）
A
B
C
D
O
（形象图）
(2)根据测量的结果,猜想结论.当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？
结论：角： ；对角线： .
四个角为90°
相等
证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等)
AB∥DC(矩形的对边平行).
∴∠ABC+∠BCD=180°.
已知：如右图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线 AC与DB相交于点O.
求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；(2)AC=DB.
证一证
∴∠BCD = 90°.
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°.
又∵∠ABC = 90°,
A
B
C
D
O
(2)∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC(矩形的对边相等).
在△ABC和△DCB中，∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB，∴△ABC≌△DCB.
∴AC=DB.
A
B
C
D
O
性质定理1：矩形的四个角都是直角；
性质定理2：矩形的对角线相等.
做一做：请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考.
（1）矩形是不是中心对称图形 如果是,那么对称中心是什么？
（2）矩形是不是轴对称图形 如果是,那么对称轴有几条
矩形的性质：
对称性： .
对称轴： .
轴对称图形
2条
矩形是特殊的平行四边形,它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
对称性：是轴对称图形.
角：四条角都是90°.
对角线：相等.
角：对角相等.
边：对边平行且相等.
对角线：相交并相互平分.
矩形的特殊性质
平行四边形的性质
例1 如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5 ,求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC = BD(矩形的对角线相等).
OA= OC= AC,OB = OD = BD(矩形对角线相互平分)
A
B
C
D
O
∴OA = OD.
∵∠AOD=120°,
∴BD = 2AB = 2 ×2.5 = 5.
又∵∠DAB=90°（矩形的四个角都是直角），
∴∠ODA=∠OAD= (180°- 120°)=30°.
你还有其他解法吗？
提示：∠AOD=120° → ∠AOB=60°→ OA=OB=AB → AC=2OA=2×2.5=5.
例 2 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，
BE ⊥ AC，垂足为点 E . 求 BE 的长.
A
B
D
C
E
说一说你的解题思路
△ABC 为直角三角形
它的面积既可以用底和高来求.
也可以用两条直角边来求.
列出等式，从而求出 BE 的长.
解：在矩形 ABCD 中，∠ABC = 90°，
AC = = 5.
又∵S△ABC = AB·BC = AC·BE ，
∴BE = = = 2.4.
例 3 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AE 垂直且平分线段 BO，垂足为点 E，BD = 15 cm. 求 AC、AB 的长.
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AC = BD = 15 (矩形的对角线相等）.
∴AO = AC = 7.5.
∵AE 垂直平分 BO，
∴AB = AO = 7.5 .
即 AC 的长为 15 cm，AB 的长为 7.5 cm .
A
B
C
D
O
E
1.如图,在矩形ABCD中,对角线AC , BD交于点O ,已知∠AOB=60° ,
AC=16，则图中长度为8的线段有（ ）
A.2条 B.4条
C.5条 D.6条
D
A
B
C
D
O
60°
2.如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4 ,求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形.∴AC = BD，
OA= OC= AC,OB = OD = BD ,
∴OA = OB.
又∵∠AOB=60°,
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=4，
∴AC=BD=2OA=8.
矩形的对角线相等且互相平分
A
B
C
D
O
3. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，DE ⊥ AC 于点 E，且 ∠ADE ∶ ∠EDC ＝ 3 ∶ 2，求 ∠BDE 的度数．
解: ∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ADC ＝ 90°，OA ＝ OD．
∵∠ADE ∶ ∠EDC ＝ 3 ∶ 2，
∴∠ADE ＝ ∠ADC＝54°．
∵DE ⊥ AC，∴∠DEA＝ 90°
∴∠DAE＝90°－∠ADE＝36°
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝36°．
∴∠BDE＝∠ADE－∠ODA＝54°－36°＝18°．
1.定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
2.特殊性质
(1)矩形的四个角都是直角；
(2)矩形的对角线相等.
3.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴
矩形
矩形性质的应用
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( )
A.对角线相等 B.对边相等 C.对角相等 D.对角线互相平分
A
2. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，若 AB ＝ 3，AC＝ 6，则 ∠AOD 的度数为( )
A. 90° B. 100° C. 110° D. 120°
3
3
3
3
D
3. 如图，四边形 ABCD 是一个矩形，其中AD＝5， AB＝12，则 AC 的长为_____.
A
B
D
C
5
5
12
13
4.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_____.
能力提升：5.如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠2＝∠3.
又由折叠知∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴BE＝DE.
设BE＝DE＝x，则AE＝8－x.
∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
∴42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，即DE＝5.
∴S△BED＝DE·AB＝×5×4＝10.

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