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题型突破09 矩形（4大题型）
题型一．矩形的性质
1．（2025春 玉环市期中）矩形的一条对角线与一边的夹角为40°，则两条对角线相交所成的锐角是（　　）
A．20° B．40° C．60° D．80°
【答案】D
【分析】根据矩形的性质得OB＝OC，则∠OBC＝∠1＝40°，再由三角形的外角性质即可得出结论．
【解析】如图，∠1＝40°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠1＝40°，
∴∠AOB＝∠OBC+∠1＝2∠1＝80°，即两条对角线相交所成的锐角是80°．故选：D．
2．（2025春 德清县期中）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）
A．∠BAC＝∠DAC B．AC⊥BD C．BA＝BO D．
【答案】D
【分析】由矩形的性质分析每个选项，从而可得答案．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴BO＝DO＝AO＝COACBD，∠ADC＝90°，AD＝BC，AD∥BC，
∴AC⊥BD，∠BAC＝∠DAC不一定成立，AB＝AO一定不成立，BOAC，一定成立，故选：D．
3．（2025春 临海市校级月考）如图，两对全等的直角三角形拼成矩形ABCD，中空的部分是矩形EFGH，连结DE，若点M是GF的中点，BE＝3，AB＝3，AD＝2，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据全等三角形性质得DG＝BE＝3，证明△DGM和△EFM全等得DG＝EF＝GH＝3，则DH＝6，在Rt△ADH中，由勾股定理得AH＝2，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝9，则HE＝AE﹣AH＝7，然后在Rt△DHE中，由勾股定理即可求出DE的长．
【解析】∵Rt△ABE≌Rt△CDG，BE＝3，
∴DG＝BE＝3，
∵四边形EFGH是矩形，
∴DH∥BF，GH＝EF，∠DHE＝90°，
∴∠DGM＝∠EFM，∠GDM＝∠FEM，
∵点M是GF的中点，
∴GM＝FM，
在△DGM和△EFM中，，
∴△DGM≌△EFM（AAS），
∴DG＝EF＝3，
∴GH＝EF＝3，
∴DH＝DG+GH＝6，
在Rt△ADH中，AD，
由勾股定理得：AH2，
在Rt△ABE中，AB，
由勾股定理得：AE9，
∴HE＝AE﹣AH＝9﹣2＝7，
在Rt△DHE中，由勾股定理得：DE，即DE的长为．故选：B．
4．（2025春 上城区校级期中）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点．若AB＝8，OM＝3，则线段OB的长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．1
【答案】A
【分析】已知OM是△ADC的中位线，再结合已知条件则DC的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO的长即可求出．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点，
∴O M是△ADC的中位线，OM∥AD，
∵OM＝3，
∴AD＝2OM＝6，
∵CD＝AB＝8，
∴，
∴．
故选：A．
5．（2025春 拱墅区校级期中）如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，则∠BAC的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【分析】由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得∠BAE＝∠CAE＝∠ACE，由角的数量关系可求解．
【解析】∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵AE＝CE，
∴∠ACE＝∠EAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠ACE，
∵∠BAE+∠CAE+∠ACE＝90°，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠ACE＝30°，
∴∠BAC＝60°，
故选：C．
6．（2025春 柯桥区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在线段BD上（不与点B，D重合），∠AED＝2∠ADE，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．8
【答案】B
【分析】连接AC交BD于点O，过点A作AF⊥BD于点F，先求出BD＝10得OA＝OD＝5，进而得∠AOE＝2∠ADE＝∠AED，则△AOE是等腰三角形，由此得OE＝2OF，再由三角形的面积公式求出AF，由勾股定理求出OF，则OE＝2OF，然后根据DE＝OD+OE即可得出答案．
【解析】连接AC交BD于点O，过点A作AF⊥BD于点F，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，且AB＝6，BC＝8，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，OA＝ODBD，∠BAD＝90°，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD10，
∴OA＝ODBD＝5，
∴∠OAD＝∠ADE，
∵∠AOE是△OAD的外角，
∴∠AOE＝∠OAD+∠ADE＝2∠ADE，
∵∠AED＝2∠ADE，
∴∠AOE＝∠AED，
∴AE＝OA＝5，
∴△AOE是等腰三角形，
∵AF⊥BD，
∴OF＝EF＝1/2OE，
∴OE＝2OF，
由三角形的面积公式得：S△ABFDBD AFAB AD，
∴AF，
在Rt△AOF中，由勾股定理得：OF，
∴OE＝2OF，
∴DE＝OD+OE．故选：B．
7．（2026春 东阳市月考）如图，E为矩形ABCD对角线AC上的一点，AE＝AB＝3，AD＝4，下列哪条线段的长度是方程x2+6x﹣16＝0的其中一个解（　　）
A．线段AE的长 B．线段BE的长
C．线段CE的长 D．线段AC的长
【答案】C
【分析】根据矩形的性质可得∠ABC＝90°，AD＝BC＝4，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AC＝3，然后求出CE＝2，即可解答．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AD＝BC＝4，
∵AB＝AE＝3，
∴AC5，
∴CE＝AC﹣AE＝5﹣3＝2，
∵x2+6x﹣16＝0，
∴（x+8）（x﹣2）＝0，
∴x1＝﹣8，x2＝2，
∴线段CE的长方程x2+6x﹣16＝0的其中一个解，故选：C．
8．（2025春 钱塘区期末）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC交BC于点E，点F在CD上，连结BF交DE于点G，且BG＝GF＝DF．若，则CD的长为（　　）
A．6 B．8 C． D．
【答案】A
【分析】连接BD交AC于点O，连接OG，令AC交BF于点M，根据三角形中位线定理、平行线的性质、对顶角相等和余角的性质可得∠OMG＝∠CMF＝∠ACD＝∠COG，设OG＝x，DF＝2x，则OG＝GM＝MF＝FC＝x，解方程求出x的值，即可求出CD的值．
【解析】连接BD交AC于点O，连接OG，令AC交BF于点M，
∵BG＝GF＝DF，
∴∠FGD＝∠FDG，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，AB＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴OG是△BDF的中位线，
∴OG∥DC，DF＝BG＝GF＝2OG，
∴∠ACD＝∠COG，
∵DE⊥AC，
∴∠FGD+∠OMG＝90°，∠ACD+∠FDG＝90°，
∴∠OMG＝∠ACD，
∵∠OMG＝∠CMF，
∴∠OMG＝∠CMF＝∠ACD＝∠COG，
∴OG＝GM，MF＝FC，
设OG＝GM＝x，
则DF＝GF＝2x，
∴MF＝FC＝GF﹣GM＝2x﹣x＝x，CD＝DF+CF＝3x，
∴OG＝GM＝MF＝FC＝x，
∴BF＝4x，
在Rt△BCF中，BCx，
∵BD2＝BC2+CD2＝BF2﹣CF2+CD2＝（4x）2﹣x2+（3x）2＝24x2，
∴BD＝2x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC＝4，
∴2x＝4，解得：x＝2，
∴CD＝3x＝6，故选：A．
9．（2025春 嘉兴期末）如图，在矩形ABCD中，BC＞AB，对角线AC，BD交于点O，过点O作OE⊥AC交BC于点E，OF平分∠BOE交BC于点F．若矩形ABCD的周长为定值，则下列线段的长度为定值的是（　　）
A．CF B．BF C．CE D．OF
【答案】A
【分析】作OM⊥BC，垂足为M，由矩形性质可知OMCD，CMBC，再利用三角形外角性质证明FM＝OM，根据CF＝FM+CMCDBC（CD+BC）即可得到CF是定值．
【解析】如图，作OM⊥BC，垂足为M，
∵O是BD的中点，
∴OMCD，CMBC，
设∠OEM＝α，则∠OCB＝90°﹣α，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝90°﹣α，
∵OF平分∠BOE交BC于点F．
∴∠BOFBOE（α﹣90°+α）＝α﹣45°，
∴∠OFM＝∠OBC+∠BOF＝90°﹣α+α﹣45°＝45°，
∴FM＝OM，
∴CF＝FM+CMCDBC（CD+BC），
∵矩形ABCD的周长为定值，
∴CF是矩形周长的，是定值．故选：A．
10．（2025春 奉化区校级期中）如图，矩形ABCD中，ADAB，∠BAD的平分线交BC于点E，DF⊥AE，垂足为F，连接BF，CF，下列结论：
①AD＝AE；
②∠DEA＝∠DEC；
③DE⊥CF；
④BF＝FC；
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】由等腰直角三角形的性质可得AEAB，可证AD＝AE，故①正确；由“AAS”可证△ABE≌△AFD，可得∠DEA＝∠DEC，故②正确；可证DE垂直平分FC，故③正确；由“SAS”可证△ABF≌△DFC，可得BF＝CF，故④正确．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠AEB＝∠BAE＝45°，
∴AB＝BE，
∴AEAB，
∵ADAB，
∴AD＝AE，故①正确；
∵∠BAE＝∠DAE＝45°，AD＝AE，∠ABE＝∠AFD＝90°，
∴△ABE≌△AFD（AAS），
∴AB＝AF，BE＝DF，
∴AB＝BE＝AF＝DF＝CD，
∴EF＝CE，∠ADF＝45°，
又∵DE＝DE，
∴△DEC≌△DEF（SSS），
∴∠DEA＝∠DEC，故②正确；
∵DF＝DC，EF＝EC，
∴DE垂直平分FC，故③正确；
∵∠CDF＝90°﹣∠ADF＝45°，
∴∠BAE＝∠FDC＝45°，
又∵AB＝DF，AF＝CD，
∴△ABF≌△DFC（SAS），
∴BF＝CF，故④正确，
综上所述：正确的结论有①②③④，共4个，
故选：D．
11．（2026春 江北区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为　　 ．
【答案】
【分析】由矩形的性质得出CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∠D＝90°，由线段垂直平分线的性质得出CE＝AE，设CE＝AE＝x，则DE＝4﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∠D＝90°，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴CE＝AE，
设CE＝AE＝x，则DE＝4﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+DE2＝CE2，
即22+（4﹣x）2＝x2，
解得：x，
∴CE；
故答案为：．
12．（2025春 宁波期中）如图，AC是矩形ABCD的一条对角线，依据尺规作图的痕迹，AF与EF的交点为F，则∠AFE的度数是 　60°　 ．
【答案】60°．
【分析】依据尺规作图的痕迹得EF是线段AC的垂直平分线，AF是∠DAC的平分线，则AE＝AF，AC⊥EF，∠DAF＝∠CAF，进而得△AEF是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质得∠CAE＝∠CAF＝∠DAF再根据∠DAB＝90°得∠DAF＝∠CAE＝∠CAF＝30°，则∠EAF＝60°，由此得△AEF是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可得出∠AFE的度数．
【解析】依据尺规作图的痕迹可知：EF是线段AC的垂直平分线，AF是∠DAC的平分线，
∴AE＝AF，AC⊥EF，∠DAF＝∠CAF，
∴△AEF是等腰三角形，
∵AC⊥EF，
∴∠CAE＝∠CAF，
∴∠DAF＝∠CAE＝∠CAF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAB＝90°，
∴∠DAF+∠CAE+∠CAF＝90°，
∴∠DAF＝∠CAE＝∠CAF＝30°，
∴∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝60°，
又∵AE＝AF，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AFE＝60°．
故答案为：60°．
13．（2025春 瑞安市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（﹣2，3），则对角线AC的长度是　　 ．
【答案】．
【分析】根据勾股定理求出OB，根据矩形的性质得出AC＝OB即可解答．
【解析】连接OB，
∴OB，
∵四边形OABC是矩形，
∴OB＝AC，
故答案为：．
14．（2026春 慈溪市月考）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E是对角线AC上的一点，连接DE，BE，且满足∠AED＝2∠DAE，已知AE＝3CE，则　　 ．
【答案】．
【分析】如图，连接BD交AC于点O，过点E作EF⊥BD于点F，设EC＝x，表示出OA＝OD＝OB＝OC＝2x，设∠OAD＝∠ODA＝α，得到∠DOE＝∠DEO，推出DE＝DO＝2x，OE＝OC﹣EC＝x，设OF＝y，利用勾股定理表示出，，进而求解即可．
【解析】如图，连接BD交AC于点O，过点E作EF⊥BD于点F，
设EC＝x，则AE＝3CE＝3x，
∴AC＝AE+EC＝4x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD＝OB＝OC＝2x，
∴设∠OAD＝∠ODA＝α，
∴∠DOE＝∠OAD+∠ODA＝2α，
∵∠AED＝2∠DAE＝2α，
∴∠DOE＝∠DEO，
∴DE＝DO＝2x，
∴OE＝OC﹣EC＝x，
设OF＝y，则DF＝OD﹣OF＝2x﹣y，
∵EF⊥BD，
∴OE2﹣OF2＝EF2＝DE2﹣DF2，
∴x2﹣y2＝（2x）2﹣（2x﹣y）2，
∴，即，
∴，
在直角三角形EOF中，由勾股定理得：，
在直角三角形BEF中，由勾股定理得：，
∴，故答案为：．
15．（2025春 东阳市期末）如图，四边形ABCD为矩形，对角线交于点O，DE∥AC交BC延长线于点E．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形．
（2）若∠E＝35°，求∠BOC的度数．
【分析】（1）根据矩形性质得AD∥BC，再根据DE∥AC即可得出结论；
（2）根据DE∥AC，∠E＝35°得∠OCB＝∠E＝35°，再根据矩形性质得OB＝OC，进而得∠OBC＝∠OCB＝35°，然后再根据三角形内角和定理即可得出∠BOC的度数．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，
∵DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）解：∵DE∥AC，∠E＝35°，
∴∠OCB＝∠E＝35°，
在矩形ABCD中，OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝35°，
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝110°．
16．（2025春 海曙区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，EF是直线DB上的两点，DE＝BF．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若四边形AFCE是矩形，且BD⊥AD，AB＝5，AD＝3，求DE的长．
【分析】（1）连接AC交EF于点O，由平行四边形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，可证OE＝OF，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形AFCE是平行四边形；
（2）利用勾股定理可求BD，AO的长，由矩形的性质可得AO＝EO，即可求解．
【解答】证明：（1）连接AC交EF于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵DE＝BF，
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）∵BD⊥AD，AB＝5，AD＝3，
∴BD4，
∴BO＝DO＝2，
∴AO，
∵四边形AFCE是矩形，
∴AO＝CO，EO＝FO，AC＝EF，
∴AO＝EO，
∴DE2．
题型二．矩形的判定
17．（2026春 无锡期中）下列说法中，正确的是（　　）
A．四边相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直平分的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对边相等的平行四边形是矩形
【答案】C
【分析】根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，而其他选项均不符合矩形的定义或性质．
【解析】A、四边相等的四边形是菱形，不一定是矩形，故A不符合题意；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不一定是矩形，故B不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C符合题意；
D、对边相等是平行四边形的性质，平行四边形的对边都相等，所以对边相等不能作为判定平行四边形是矩形的条件，故D不符合题意．
故选：C．
18．（2025春 临海市期中）如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O．添加下列一个条件，仍不能判定 ABCD是矩形，该条件是（　　）
A．∠AOB＝90° B．∠ABC＝90° C．AC＝BD D．∠OAD＝∠ODA
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质，矩形的判定方法即可一一判断即可．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，故A错误；符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形，故B不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，故C不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，OD＝2BD，
∵∠OAD＝∠ODA，
∴OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，故D不符合题意；
故选：A．
19．（2026春 英山县校级期中）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　）
A．测量是否有三个角是直角
B．测量对角线是否相等
C．测量两组对边是否分别相等
D．测量对角线是否互相垂直
【答案】A
【分析】根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可．
【解析】∵有三个角是直角的四边形是矩形，
∴要判断这块木板是否是矩形，可以测量是否有三个角是直角；
故选：A．
20．（2025春 广阳区校级期中）如图，在 ABCD中．E为边AB的中点，F为CD上的点．连接BD、DE、BF．
嘉嘉：当DE∥BF时，若AD＝BD，则四边形DEBF为矩形；
淇淇：当∠ADB＝90°时，若BF＝CF，则点F为CD中点．
对于他俩的说法，正确的是（　　）
A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确
C．都正确 D．都不正确
【答案】C
【分析】根据嘉嘉的说法：当DE∥BF时，可判定四边形DEBF为平行四边形，根据AD＝BD，易证△ABD是等腰三角形，结合点E为边AB的中点，可得DE⊥AB，即可证明四边形DEBF为矩形；根据淇淇的说法：当∠ADB＝90°时，利用平行四边形的性质可得∠CDB+∠A＝90°，∠A＝∠C，即可求出∠C+∠CDB＝90°，进而求出∠CBD＝90°，再根据BF＝CF，推出∠C＝∠CBF，推出∠CDB＝∠DBF，得到DF＝BF，即可推出DF＝CF，从而得出结论．
【解析】∵在 ABCD中，DF∥BE，
当DE∥BF时，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∵AD＝BD，
∴△ABD是等腰三角形，
∵点E为边AB的中点，
∴DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形DEBF为矩形，故嘉嘉说法正确，符合题意；
∵在 ABCD中，∠A＝∠C，∠ADC+∠A＝180°，
当∠ADB＝90°时，
∴∠CDB+∠A＝180°﹣∠ADB＝90°，
∴∠C+∠CDB＝90°，
∴∠CBD＝∠CBF+∠DBF＝90°，
∵BF＝CF，
∴∠C＝∠CBF，
∴∠CDB＝∠DBF，
∴DF＝BF，
∴DF＝CF，即点F为CD中点，故淇淇说法正确，符合题意；
故选：C．
21．（2025春 淄博期末）如图，在 ABCD中，AE⊥BC与点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是 BE＝CF（答案不唯一）　 （写出一个即可）．
【答案】BE＝CF（答案不唯一）
【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，再证AD＝EF，得四边形AEFD是平行四边形，然后证∠AEF＝90°，即可得出结论．
【解析】添加条件为：BE＝CF，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
∴AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
又∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFD是矩形，故答案为：BE＝CF（答案不唯一）．
22．（2025春 孝义市期末）工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这依据的道理是 　对角线相等的平行四边形是矩形　 ．
【答案】对角线相等的平行四边形是矩形
【分析】根据已知条件和矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形为矩形）解答即可．
【解析】因为门窗所构成的形状是矩形，
所以根据矩形的判定（对角线相等的平行四边形为矩形）可得出．
故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形．
23．（2025春 靖江市校级期末）已知平行四边形ABCD，从①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD四个条件中，选一个作为补充条件，使得平行四边形ABCD是矩形．选择的条件可以是　②③　 ．（写出所有的可能，填写序号即可）
【答案】②③．
【分析】分别将①②③④作为补充条件判断即可．
【解析】补充①AB＝BC；
∵平行四边形ABCD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故本条件不成立，不符合题意；
补充②∠ABC＝90°；
∵平行四边形ABCD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故条件成立，符合题意；
补充③AC＝BD；
∵平行四边形ABCD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故本条件成立，符合题意；
补充④AC⊥BD；
∵平行四边形ABCD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故本条件不成立，不符合题意，
综上所述，选择的条件可以是②③，故答案为：②③．
24．（2025春 睢宁县期中）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF，添加一个适当的条件，使四边形BEDF是矩形，这个条件可以是 　∠BED＝90°（答案不唯一）　 ．（填一个条件即可）
【答案】∠BED＝90°（答案不唯一）．
【分析】由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，进而证明OE＝OF，再证明四边形BEDF是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论．
【解析】这个条件可以是∠BED＝90°，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
即OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
又∵∠BED＝90°，
∴平行四边形BEDF是矩形，故答案为：∠BED＝90°（答案不唯一）．
25．（2026春 鼓楼区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，BM＝CM，∠1＝∠2．求证：平行四边形ABCD为矩形．
【分析】由平行四边形的性质，可得AB＝CD，∠A+∠D＝180°，由题干信息证明△ABM≌△DCM，即可得∠A＝∠D＝90°，可证出结果．
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∵AB＝CD，BM＝CM，∠1＝∠2，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴∠A＝∠D，
又∵∠A+∠D＝180°，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴平行四边形ABCD为矩形．
26．（2025春 杭州校级期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，AE分别平分∠BAC和∠CAF，AD交BC于点D，AE＝DC．求证：四边形ADCE是矩形．
【分析】由在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，可得AD⊥BC，即∠ADC＝90°，再由AE平分∠CAF和∠CAF＝2∠B，可证明AE∥DC，又因为AE＝DC，所以四边形ADCE是平行四边形，再根据有一个角为直角的平行四边形即可证明四边形ADCE是矩形．
【解答】证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，∠B＝∠ACB，∴∠ADC＝90°，
∵AE为△ABC的外角∠CAF的平分线，
∴∠CAE＝∠FAE，
∵∠FAC＝∠B+∠ACB，
∴∠FAC＝2∠B，
∴∠FAE＝∠B，
∴AE∥CD，
∵AE＝DC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC＝90°，∴四边形ADCE为矩形．
27．（2026春 盐都区期中）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，E是AB的中点，AC，DE交于点F，AF＝FC，BF∥CD．求证：四边形BCDF为矩形．
【分析】先根据三角形的中位线定理可得ED∥BC，则可得四边形BCDF为平行四边形，再根据矩形的判定定理即可得证．
【解答】证明：∵AF＝FC，
∴点F是AC的中点，
又∵E是AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴ED∥BC，
又∵BF∥CD，
∴四边形BCDF为平行四边形，
∵∠BCD＝90°，
∴四边形BCDF为矩形．
28．（2026春 孝义市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AM为外角∠CAE的平分线，D为底边BC上一点，连接AD，过点C作CF∥AD交AM于点F，连接DF，交AC于点O．
（1）判断四边形ADCF的形状，并说明理由．
（2）在不增加辅助线和字母的前提下，请添加一个条件：　∠ADC＝90°　 ，使得四边形ADCF为矩形．
【分析】（1）根据题意得到∠B＝∠ACB，以及三角形外角和定理得到∠EAC＝∠B+∠ACB，证明∠FAC＝∠ACD，证明AF∥CD，即可证明结论．
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形添加条件即可．
【解析】（1）平行四边形，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AM为外角∠CAE的平分线，
∴，
∵∠EAC＝∠B+∠ACB，
∴∠MAC＝∠ACB，
∴AF∥CD，
∵CF∥AD，
∴四边形ADCF是平行四边形；
（2）在不增加辅助线和字母的前提下，令∠ADC＝90°，
则四边形ADCF是矩形．
故答案为：∠ADC＝90°．
29．（2026 鼓楼区一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AB＝BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？
【分析】（1）由∠ABD＝∠CDB得出AB∥CD，再证明△ABE≌△CDF（AAS）得出AB＝CD，即可得证；
（2）证明△ABO是等边三角形，得出AO＝BO，结合平行四边形的性质得出AC＝BD，即可得证．
【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CDF，
∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：当∠ABE＝30°时，四边形ABCD是矩形，理由如下：
∵AB＝BO，BE⊥AO，
∴∠ABO＝2∠ABE＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AO＝BO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO，
∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．
30．（2026春 东阿县月考）如图，在△ABC中，O是AC边上一点，过点O作BC的平行线，交∠BCA的平分线于点E，交外角∠ACD的平分线于点F．
（1）求证：EO＝OF；
（2）连接AE，AF，当点O沿AC移动时，四边形AECF是否能成为一个矩形？此时，点O在什么位置？说明理由
【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，则EO＝CO，FO＝CO，即可得出结论；
（2）先证明四边形AECF是平行四边形，再由对角线相等，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵EF∥BC，
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，
∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴EO＝FO；
（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形；理由如下：
∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，
又∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO＝CO，
∴AO＝CO＝EO＝FO，
∴AO+CO＝EO+FO，
即AC＝EF，
∴平行四边形AECF是矩形，
即当点O沿AC移动时，四边形AECF能成为一个矩形，此时，点O在AC的中点．
题型三．直角三角形斜边上的中线
31．（2025春 玉环市校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AB＝8，则CD的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，AB＝8，
则CDAB，即CD8＝4．故选：A．
32．（2026春 惠城区期中）如图，将直角三角尺ABC放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：cm），则CD的长度为（　　）
A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm
【答案】A
【分析】由直角三角形斜边中线的性质得到CDAB＝3（cm）．
【解析】∵A，D，B对应的刻度分别为1，4，7，
∴AD＝4﹣1＝3（cm），BD＝7﹣4＝3（cm），AB＝7﹣1＝6（cm），
∴AD＝BD，
∵∠ACB＝90°，
∴CDAB＝3（cm）．
故选：A．
33．（2026春 晋安区期中）如图，在Rt△ABC中，D为BC的中点，以DC为斜边作Rt△CDE，F为CD的中点．若EF＝2，则AD的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以求出DC＝4，根据中点的定义可以求出BC＝8，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以求出AD＝4．
【解析】∵在 Rt△CDE，F 为CD 的中点．EF＝2，
∴DC＝2EF＝2×2＝4，
∵点D 为BC 的中点，
∴BC＝2DC＝2×4＝8（直角三角形中线定理），
∴在Rt△ABC 中，D 为BC 的中点，
∴（直角三角形中线定理）．
则AD的长为4，
故选：B．
34．（2026春 高唐县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，，则BE的值是（　　）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质及中位线定理，求出BC和AC的长，进而得到CE的长，最后在Rt△BCE中利用勾股定理求解即可
【解析】∵∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，
∴，
∵DE⊥AC，
∴，即点E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝2×2＝4，
在Rt△ABC中，，
∴，
在Rt△BCE中，，
则BE的值是4，
故选：A．
35．（2025秋 桂林期末）如图，一把长为10m的梯子AB斜靠在墙上，当梯子的顶端沿墙下滑的过程中，梯子的中点C到墙角O的距离变化情况是（　　）
A．变大 B．变小
C．先变小再变大 D．不变
【答案】D
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案．
【解析】连接OC，
根据题意得∠AOB＝90°，AB＝10m，点C是AB的中点，
∴根据直角三角形斜边上的中线得，OCAB10＝5m，即当梯子的顶端沿墙在下滑的过程中，梯子的中点C到墙角O的距离不变．
故选：D．
36．（2026春 襄城区校级月考）如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点，∠CDE＝56°，则∠DCE的度数是（　　）
A．56° B．62° C．63° D．68°
【答案】A
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质得EC＝ED，再根据等腰三角形的性质求解即可．
【解析】∵∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点，
∴△ACB和△ADB均为直角三角形，且点E是公共斜边AB的中点，
∴EC，ED，
∴EC＝ED，
∴∠DCE＝∠CDE，
∵∠CDE＝56°，
∴∠DCE＝56°，
故选：A．
37．（2025春 临海市期末）直角三角形斜边上高和中线分别是5和6，则它的面积是 　30　 ．
【答案】30．
【分析】根据直角三角形的性质求出斜边长，根据三角形的面积公式计算即可．
【解析】∵直角三角形斜边上的中线CD是6，
∴斜边AB长为：2×CD＝6×2＝12，
∴它的面积AB×CE12×5＝30，
故答案为：30．
38．（2026春 海淀区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D、F分别是BC、AC的中点，连接AD，点E是边DC的中点，连接EF，若BC＝5，则EF的长为　1.25　 ．
【答案】1.25．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AD的长，再利用三角形中位线定理求出EF的长．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴，
由题意可得：EF是△ADC的中位线，
∴．
故答案为：1.25．
39．（2026春 东西湖区期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠DCE＝ 　45　 °．
【答案】45．
【分析】根据题意先求出∠A C D＝67.5°，∠B C D＝22.5°，利用直角三角形两锐角互余求得∠B＝67.5°，再根据直角三角形斜边上中线性质得到BE＝CE，求得∠BCE的度数，进而得到答案．
【解析】∵∠A C D＝3∠B C D，∠A C B＝90°，
∴∠A C D＝67.5°，∠B C D＝22.5°，
∵CD⊥AB，
∴∠B＝90°﹣∠B C D＝90°﹣22.5°＝67.5°，
又∵E是斜边AB的中点，
∴BE＝CE，
∴∠BCE＝∠B＝67.5°，
∴∠E C D＝∠B C E﹣∠B C D＝67.5°﹣22.5°＝45°．
故答案为：45．
40．（2026春 仓山区期中）如图，以线段AB为斜边向两侧作Rt△ABC和Rt△ABD，∠ACB＝∠ADB＝90°，E是线段AB的中点，连接CE，DE．若∠CED＝100°，则∠CBD的度数为　130°　 ．
【答案】130°．
【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半得到CE＝BE＝DE，等边对等角，结合三角形的内角和定理以及角的和差关系进行求解即可．
【解析】以线段AB为斜边向两侧作Rt△ABC和Rt△ABD，∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵E是线段AB的中点，
∴，
∴，
∵∠CED＝∠CEB+∠DEB＝100°，
∴．
故答案为：130°．
41．（2025春 惠州月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∠A＝30°，BC＝2．
（1）求CD的长．
（2）请直接写出线段BC与线段AB之间的数量关系．
【分析】（1）根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可；
（2）先判定等边三角形，然后得出BCAB即可．
【解析】∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝AD＝BD，
∵∠A＝30°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴△BDC为等边三角形，
∴CD＝BC＝2；
（2）∵CD＝AD＝BD，
∴CDAB，
∴BCAB．
42．（2025秋 鼓楼区期中）已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点．
（1）求证：EF⊥BD；
（2）若∠BAD＝30°，AC＝8，求BD的长．
【分析】（1）连接BE、DE，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出BE＝DE，再根据等腰三角形的性质证明即可；
（2）先证明△BED是等边三角形，再根据求解即可．
【解答】（1）证明：连接BE、DE，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，
∴，
∵F是BD的中点，
∴EF⊥BD；
（2）解：由（1）可知，，
∴∠EAB＝∠EBA，∠EAD＝∠EDA，
∴2∠EAB＝∠CEB，2∠EAD＝∠CED，
∵∠BAD＝30°，
∴∠BED＝60°，
∵BE＝DE，
∴△BED是等边三角形，
∴BD＝BE＝4．
43．（2025春 城关区校级期末）如图，BN，CM分别是△ABC的两条高，点D，E分别是BC，MN的中点．
（1）求证：DE⊥MN；
（2）若BC＝26，MN＝10，求DE的长．
【分析】（1）连接DM，DN．根据直角三角形的中线得到DM＝DN，根据等腰三角形的性质证明即可；
（2）根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】（1）证明：如图，连接DM，DN，
∵BN、CM分别是△ABC的两条高，
∴BN⊥AC，CM⊥AB，
∴∠BMC＝∠CNB＝90°，
∵D是BC的中点，
∴DMBC，DNBC，
∴DM＝DN，
∵E为MN的中点，
∴DE⊥MN；
（2）解：∵BC＝26，
∴DMBC＝13，
∵点E是MN的中点，MN＝10，
∴ME＝5，
由勾股定理得：DE12．
题型四．矩形的判定与性质的综合
44．（2026 南通模拟）平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若△OAB是等边三角形，OC＝3，则四边形ABCD的面积是（　　）
A． B．27 C． D．24
【答案】A
【分析】首先证明四边形ABCD是矩形，求出AB，BC可得结论．
【解析】∵△AOB为等边三角形，
∴OA＝OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴BD＝AC，
∴平行四边形ABCD为矩形，
在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，AC＝2OC＝6，
∴ABAC＝3，
∴BC3，
∴矩形ABCD的面积＝33＝9．
故选：A．
45．（2025春 义乌市月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB上一个动点，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥CB于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（　　）
A．5 B．2.5 C．2.4 D．4.8
【答案】D
【分析】连接CD，由题意可得四边形CEDF是矩形，得到EF＝CD，可知当CD⊥AB时，CD的值最小，利用勾股定理和三角形的面积求出CD的最小值即可求解．
【解析】连接CD，
∵DE⊥AC，DF⊥CB，
∴∠DEC＝∠DFC＝∠ACB＝90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∴EF＝CD，
当CD⊥AB时，可知CD的值最小，此时，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB10，
∴，
解得CD＝4.8，
∴线段EF的最小值是4.8，故选：D．
46．（2025春 云南期末）已知平面直角坐标系中，有两点A（a，0），B（0，b），且满足b4，P为AB上一动点（不与A，B重合），PE⊥x轴，PF⊥y轴，垂足分别为E，F，连接EF，则EF的最小值为（　　）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】连接OP，先求出a＝3，则b＝4，再由勾股定理得AB＝5，然后证四边形OEPF是矩形，则EF＝OP，当OP⊥AB时，OP最小，EF也最小，进而由面积法求解即可．
【解析】如图，连接OP，
∵b4，
∴a﹣3≥0，3﹣a≥0，
∴a＝3，
∴b＝4，
∴A（3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∵∠AOB＝90°，
∴AB5，
∵PE⊥x轴，PF⊥y轴，
∴∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF＝OP，
当OP⊥AB时，OP最小，EF也最小，
此时，OP，
∴EF的最小值为，故选：A．
47．（2025春 临高县期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E，F分别为AD，CD上的动点，且EF＝2，点P为EF的中点，过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，则线段MN的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】由斜中线易得DP＝1，易得四边形BMPN是矩形，则BP＝MN，最后理利用三边关系可得BP最小值，据此得解．
【解析】连接DF，BD，BP，
在矩形ABCD中，∠B＝∠ADC＝90°，AB＝CD＝3，
由题可得四边形BMPN是矩形，
∴BP＝MN，
在Rt△DEF中，DPEF＝1，
在Rt△BCD中，BD5，
∴BP≥BD﹣DP＝4，当且仅当B、P、D三点共线时取等，
∴BP最小值为4，
∴MN最小值为4．故选：C．
48．（2025春 渭城区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝5，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，动点P从点B出发，沿着BC以每秒1个单位长度的速度匀速向终点C运动，设运动时间为t秒．下列说法正确的有（　　）
①线段EF的长度先减小后增大；
②当时，EF的值最小；
③当t＝6时，EF＝5．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】①先证明四边形AEPF是矩形，根据矩形对角线相等，线段EF的变化与线段AP变化一致，得到结论；
②当AP⊥BC时，线段AP的值最小，得到线段EF的值最小，根据直角三角形的性质得到当时，EF的值最小，故②符合题意；
③得到BP＝6，如图，连接EF，或A作AH⊥BC于H，则BH，AH，根据勾股定理得到EF＝AP.故③不符合题意．
【解析】①如图，连接AP，
∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，∠A＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF＝AP，
∴在点P的运动过程中，线段AP的值先减小，后增大，
∴在点P的运动过程中，线段EF的值先减小，后增大，故①符合题意；
②当AP⊥BC时，线段AP的值最小，
∴线段EF的值最小，
∵∠A＝90°，∠C＝30°，
∴∠B＝60°，
∵∠APB＝90°，
∴∠BAP＝30°，
∴BP，
∴，
∴当时，EF的值最小，故②符合题意；
③∵t＝6，
∴BP＝6，
如图，连接EF，或A作AH⊥BC于H，
则BH，AH，
∴PH＝BP﹣BH，
∴EF＝AP.故③不符合题意；故选：C．
49．（2025春 建华区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，动点E从点B开始，沿四边形的边BA﹣AD运动至点D停止，CE与BD相交于点N，点F是线段CE的中点．连接OF，下列结论中：
①四边形ABCD是矩形；
②当CD＝4OF时，点E是AB的中点；
③当AB＝3，BC＝4时，线段OF长度的最大值为2；
④当点E在边AB上，且∠COF＝60°时，△OFN是等边三角形，
其中正确的有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据矩形的判定得出①正确，再根据中位线定理判断②不一定正确，然后根据当点E与点D重合时，OF的值最大得出③正确，进而根据等边三角形的判定得出④错误，即可得出结论．
【解析】①∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故①正确，符合题意；
②当点E在AB上时，
由①可知，四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，
∵点O，F分别是AC，CE的中点，
∴OF是△ACE的中位线，
∴AE＝2OF，
∵CD＝4OF，
∴CD＝AB＝2AE，
∴点E是AB的中点；
当点E在AD上时就不成立；
故②不正确，不符合题意；
③当点E与点D重合时，OF的值最大，
∵AD＝BC＝4，
∴AE的最大值是4，
∴OF2，
即线段OF长度的最大值是2，故③正确，符合题意；
④当∠COF＝60°时，∠OAB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠OBA＝60°，
∴∠FON＝60°，
∵∠BEN＞∠OAB，
∴∠OFN≠60°，
∴△OFN不是等边三角形，故④错误，不符合题意；
综上所述，其中正确的有2个，故选：B．
50．（2025春 西峰区校级期末）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快　4　 s后，四边形ABPQ成为矩形．
【答案】4
【分析】根据矩形的性质，可得BC与AD的关系，根据矩形的判定定理，可得BP＝AQ，构建一元一次方程，可得答案．
【解答】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得
3x＝20﹣2x．解得x＝4，故答案为：4．
51．（2025春 罗庄区期末）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上的一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于E，F，连接PB，PD．若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积是　3　 ．
【答案】3．
【分析】作PM⊥AD于M，交BC于N；则得四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，由矩形的对角线平分矩形的面积，得S矩形EPNB＝S矩形DMPF＝3，由此即可求解．
【解析】∵点P是矩形ABCD的对角线AC上的一点，作PM⊥AD于M，交BC于N，
则有四边形AEPM是矩形，四边形DFPM是矩形，四边形CFPN是矩形，四边形BEPN是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∴S矩形EPNB＝S矩形DMPF＝1×3＝3，
∴，
∴S阴影＝1.5+1.5＝3，故答案为：3．
52．（2025春 海淀区校级月考）四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，连接AC、EF，已知∠BAC＝90°，，AC＝AD＝CD＝4，则EF的长为 　　 ．
【答案】．
【分析】作DH⊥BA交BA延长线于点H，作DG⊥AC于点G，连接BD，推出四边形AGDH是矩形，设DH＝AG＝x，在Rt△ADG和Rt△DGC中，利用勾股定理列式得到42﹣x2＝42﹣（4﹣x）2，求得DH＝AG＝2，再在Rt△DGC中，求得AH的长，再在Rt△BHD中，求得，最后根据三角形中位线定理即可求解．
【解析】四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，∠BAC＝90°，，AC＝AD＝CD＝4，如图，作DH⊥BA交BA延长线于点H，作DG⊥AC于点G，连接BD，
∵DH⊥BA，DG⊥AC，∠BAC＝90°，
∴四边形AGDH是矩形，
∴DH＝AG，
设DH＝AG＝x，则CG＝AC﹣AG＝4﹣x，
在Rt△ADG中，由勾股定理得：DG2＝AD2﹣AG2＝42﹣x2，
在Rt△DGC中，由勾股定理得：DG2＝CD2﹣CG2＝42﹣（4﹣x）2，
∴42﹣x2＝42﹣（4﹣x）2，
解得x＝2，
∴DH＝AG＝2，
在Rt△DGC中，由勾股定理得：，
∴，
在Rt△BHD中，由勾股定理得：，
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴，
故答案为：．
53．（2025春 南关区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为　　 ．
【答案】
【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DEAF是矩形，可得EF＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
【解析】连接AD、EF，
∵∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，
∴BC15，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA＝∠DFA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DEAF是矩形，
∴EF＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积AB×ACBC×AD，
∴AD，
∴EF的最小值为，
∵点G为四边形DEAF对角线交点，
∴GFEF；
故答案为：．
54．（2026 石家庄开学）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm．点P在边AD上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在边BC上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两点同时出发，当点P到达点D时停止，求经过多长时间，四边形ABQP为矩形？
【答案】秒或4秒或秒或12秒．
【分析】根据矩形性质得BC＝AD＝12cm，∠A＝∠B＝90°，由此得当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，设运动的时间为t秒，再根据点P的运动时间为12秒，点Q从点C到点B的运动时间为3秒得有以下四种情况：①当0＜t＜3时，此时点Q从点C向点B运动，AP＝t（cm），BQ＝（12﹣4t）cm，由此得t＝12﹣4t，解得t；②当3≤t＜6时，此时点Q从点B向点C运动，AP＝t（cm），BQ＝（4t﹣12）cm，由此得t＝4t﹣12，解得t＝4；③当6≤t＜9时，此时点Q从点C向点B运动，AP＝t（cm），BQ＝（36﹣4t）cm，由此得t＝36﹣4t，解得t；④当9≤9≤12时，此时点Q从点B向点C运动，AP＝t（cm），BQ＝（4t﹣36）cm，由此得t＝4t﹣36，解得t＝12，综上所述即可得出答案．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，AD＝12cm，
∴BC＝AD＝12cm，∠A＝∠B＝90°，
∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，设运动的时间为t秒，
∵点P在边AD上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，到达点D时停止，
∴点P的运动时间为：12÷1＝12（秒），
又∵点Q在边BC上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，
∴点Q从点C到点B的运动时间为：12÷4＝3（秒），
∴有以下四种情况：
①当0＜t＜3时，此时点Q从点C向点B运动，AP＝t（cm），BQ＝（12﹣4t）cm，
又∵当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，
∴t＝12﹣4t，解得：t，
∴当t秒时，四边形ABQP是矩形；
②当3≤t＜6时，此时点Q从点B向点C运动，AP＝t（cm），BQ＝（4t﹣12）cm，
又∵当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，
∴t＝4t﹣12，
解得：t＝4，
∴当t＝4秒时，四边形ABQP是矩形；
③当6≤t＜9时，此时点Q从点C向点B运动，AP＝t（cm），BQ＝（36﹣4t）cm，
又∵当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，
∴t＝36﹣4t，解得：t，
∴当t秒时，四边形ABQP是矩形；
④当9≤9≤12时，此时点Q从点B向点C运动，AP＝t（cm），BQ＝（4t﹣36）cm，
又∵当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，
∴t＝4t﹣36，解得：t＝12，
∴当t＝12秒时，四边形ABQP是矩形，
综上所述：当经过的时间为秒或4秒或秒或12秒时，四边形ABQP是矩形．
55．（2025春 杭州期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F，BE＝CF．
（1）求证： ABCD是矩形．
（2）若OD＝13，CF＝12，求BF的长．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠BEO＝∠CFO，根据全等三角形的性质得到OB＝OC，根据平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，求得AC＝BD，于是得到结论；
（2）根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠BEO＝∠CFO＝90°，
∵∠BOE＝∠COF，BE＝CF，
∴△BOE≌△COF（AAS），
∴OB＝OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴AO＝OB＝OC＝OD，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形；
（2）解：∵OD＝13，
∴OB＝OC＝OD＝13，
∵CF＝12，
∴OF5，
∴BF＝OB+OF＝18．
56．（2025春 杭州校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD⊥BD，点E、F分别是CD、BC的中点，连接EF．
（1）求证：四边形OEFB是矩形；
（2）若AD＝8，DC＝12，求四边形OEFB的面积．
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出BO＝DO，AD∥BC，再证明OE、EF都是△BCD的中位线，从而可得OE∥BC，EF∥BD，就可以判定四边形OEFB是平行四边形，再证明∠CBD＝90°，可得出平行四边形OEFB是矩形；
（2）先根据平行四边形的性质得出BC＝AD＝8，AB＝DC＝12，，再根据三角形的中位线定理得出，然后利用勾股定理求得DB，从而可求得OB，再求出四边形OEFB的面积．
【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴AD∥BC，BO＝DO，
∵点E、F分别是CD、BC的中点，
∴OE、EF都是△BCD的中位线，
∴OE∥BC，EF∥BD，
∴四边形OEFB是平行四边形，
∵AD⊥BD且AD∥BC，
∴BC⊥BD，
∴∠CBD＝90°，
∴平行四边形OEFB是矩形；
（2）解：∵在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝8，DC＝12，
∴BC＝AD＝8，AB＝DC＝12，，
∵OE是△BCD的中位线，
∴，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
在直角三角形ABD中，由勾股定理得：，
∴，
∴四边形OEFB的面积为：．
57．（2025春 西湖区校级期中）如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO＝5，BO＝DO，且AB＝6，BC＝8．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC于点E，求∠BDF的度数．
【分析】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形，则可证明四边形ABCD是平行四边形，再由勾股定理的逆定理可证明∠ABC＝90°，则可证明四边形ABCD是矩形；
（2）由矩形的性质得到∠ADC＝90°，则∠FDC＝36°，进而求出∠DCO＝54°，由矩形的性质得到CO＝OD，由等边对等角得到∠ODC＝∠DCO＝54°，则∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．
【解析】（1）∵AO＝CO＝5，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝AO+CO＝10，
∵AB＝6，BC＝8，
∴AB2+BC2＝62+82＝100＝102＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是矩形
∴∠ADC＝90°，
∵∠ADF：∠FDC＝3：2，∠ADF+∠FDC＝∠ADC，
∴，
∵DF⊥AC，
∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CO＝OD，
∴∠ODC＝∠DCO＝54°，
∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．
58．（2026春 鄞州区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E为BC的中点，EF⊥CD于点F，点G为CD上一点，连接OG，OE，且OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG为矩形；
（2）若AC＝10，BD＝6，∠ABD＝45°，求矩形OEFG的面积．
【分析】（1）证OE是△BCD的中位线，得OE∥CD，再证四边形OEFG是平行四边形，然后证∠EFG＝90°，即可得出结论；
（2）AB∥CD，∠ODG＝∠ABD＝45°，证△ODG是等腰直角三角形，得DG＝OG＝3，然后由勾股定理得GC＝4，得出DC＝7，得出OE，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵点E为BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥CD
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
又∵EF⊥CD，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG为矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OB＝OD＝3，
∴∠ODG＝∠ABD＝45°，
由（1）可知，四边形OEFG为矩形，
∴∠OGF＝90°，
∴∠OGD＝90°，
∴△ODG是等腰直角三角形，
∴DG＝OG，
∵OD2＝OG2+DG2，
∴DG＝OG＝3，
∵GC2+GO2＝OC2，
GC2+9＝25，
∴GC＝4，
∴DC＝DG+GC＝3+4＝7，
∴OE，
∴S矩形OEFG＝OG OE＝3，故答案为：．
59．（2026春 鼓楼区校级期中）如图1，已知AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，分别以点A，C为圆心，BC，AB为半径，在BC的上方画弧，两弧相交于点D，连接AD，CD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）如图2，连接AC，BD，E是边AD上一点，EF⊥AC于点E，EG⊥BD于点G．则EF+EG＝　4.8　 ．
【分析】（1）由题意可知，AD＝BC，AB＝CD，则四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论；
（2）由矩形的性质得OA＝OCAC，OB＝ODBD，AC＝BD，∠ABC＝90°，则OA＝OD，再由刮骨疗毒得AC＝10，则OA＝OD＝5，然后由三角形面积关系即可求解．
【解答】（1）证明：由题意可知，AD＝BC，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：设AC、BD交于点O，连接OE，如图2所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OCAC，OB＝ODBD，AC＝BD，∠ABC＝90°，
OA＝OD，
∴AC10，
∴OA＝OD＝5，△AOD的面积矩形ABCD的面积6×8＝12，
又∵△AOE的面积+△DOE的面积＝△AOD的面积，
∴OA×EFOD×EG＝12，
即5×（EF+EG）＝12，
解得：EF+EG＝4.8，
故答案为：4.8．
60．（2026春 朝阳区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（4，2），C（4，0），P为矩形ABCO内（不包括边界）一点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，这两条平行线分矩形ABCO为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于OA，则称P为矩形ABCO的矩宽点．
例如：如图中的P（，）为矩形ABCO的一个矩宽点．
（1）在点D（，），E（2，1），F（，）中，矩形ABCO的矩宽点是 D和F ；
（2）若G（m，）为矩形ABCO的矩宽点，求m的值．
【分析】（1）根据矩宽点的定义即可判断；
（2）根据矩宽点的定义构建方程即可解决问题．
【解析】（1）∵1，
∴点D是矩形ABCO的矩宽点，
∵（4）+（2）1，
∴点F是矩形ABCO的矩宽点．
故答案为：D和F；
（2）若G（m，）为矩形ABCO的矩宽点，
∴2m+22或2m+2×（2）＝2或2（4﹣m）+22或2（4﹣m）+2×（2）＝2，
解得m＝±或或，
因为G为矩形内的点，
∴m和m不合题意，舍去，
∴m的值为或．
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题型突破09 矩形（4大题型）
题型一．矩形的性质
1．（2025春 玉环市期中）矩形的一条对角线与一边的夹角为40°，则两条对角线相交所成的锐角是（　　）
A．20° B．40° C．60° D．80°
2．（2025春 德清县期中）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）
A．∠BAC＝∠DAC B．AC⊥BD C．BA＝BO D．
3．（2025春 临海市校级月考）如图，两对全等的直角三角形拼成矩形ABCD，中空的部分是矩形EFGH，连结DE，若点M是GF的中点，BE＝3，AB＝3，AD＝2，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025春 上城区校级期中）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点．若AB＝8，OM＝3，则线段OB的长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．1
5．（2025春 拱墅区校级期中）如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，则∠BAC的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
6．（2025春 柯桥区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在线段BD上（不与点B，D重合），∠AED＝2∠ADE，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．8
7．（2026春 东阳市月考）如图，E为矩形ABCD对角线AC上的一点，AE＝AB＝3，AD＝4，下列哪条线段的长度是方程x2+6x﹣16＝0的其中一个解（　　）
A．线段AE的长 B．线段BE的长
C．线段CE的长 D．线段AC的长
8．（2025春 钱塘区期末）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC交BC于点E，点F在CD上，连结BF交DE于点G，且BG＝GF＝DF．若，则CD的长为（　　）
A．6 B．8 C． D．
9．（2025春 嘉兴期末）如图，在矩形ABCD中，BC＞AB，对角线AC，BD交于点O，过点O作OE⊥AC交BC于点E，OF平分∠BOE交BC于点F．若矩形ABCD的周长为定值，则下列线段的长度为定值的是（　　）
A．CF B．BF C．CE D．OF
10．（2025春 奉化区校级期中）如图，矩形ABCD中，ADAB，∠BAD的平分线交BC于点E，DF⊥AE，垂足为F，连接BF，CF，下列结论：
①AD＝AE；②∠DEA＝∠DEC；③DE⊥CF；④BF＝FC；
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2026春 江北区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为　 　 ．
12．（2025春 宁波期中）如图，AC是矩形ABCD的一条对角线，依据尺规作图的痕迹，AF与EF的交点为F，则∠AFE的度数是 　 　 ．
13．（2025春 瑞安市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（﹣2，3），则对角线AC的长度是　 　 ．
14．（2026春 慈溪市月考）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E是对角线AC上的一点，连接DE，BE，且满足∠AED＝2∠DAE，已知AE＝3CE，则　 　 ．
15．（2025春 东阳市期末）如图，四边形ABCD为矩形，对角线交于点O，DE∥AC交BC延长线于点E．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形．
（2）若∠E＝35°，求∠BOC的度数．
16．（2025春 海曙区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，EF是直线DB上的两点，DE＝BF．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若四边形AFCE是矩形，且BD⊥AD，AB＝5，AD＝3，求DE的长．
题型二．矩形的判定
17．（2026春 无锡期中）下列说法中，正确的是（　　）
A．四边相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直平分的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对边相等的平行四边形是矩形
18．（2025春 临海市期中）如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O．添加下列一个条件，仍不能判定 ABCD是矩形，该条件是（　　）
A．∠AOB＝90° B．∠ABC＝90° C．AC＝BD D．∠OAD＝∠ODA
19．（2026春 英山县校级期中）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　）
A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等
C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直
20．（2025春 广阳区校级期中）如图，在 ABCD中．E为边AB的中点，F为CD上的点．连接BD、DE、BF．
嘉嘉：当DE∥BF时，若AD＝BD，则四边形DEBF为矩形；
淇淇：当∠ADB＝90°时，若BF＝CF，则点F为CD中点．
对于他俩的说法，正确的是（　　）
A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确
C．都正确 D．都不正确
21．（2025春 淄博期末）如图，在 ABCD中，AE⊥BC与点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是 　 　 （写出一个即可）．
22．（2025春 孝义市期末）工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这依据的道理是 　 　 ．
23．（2025春 靖江市校级期末）已知平行四边形ABCD，从①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD四个条件中，选一个作为补充条件，使得平行四边形ABCD是矩形．选择的条件可以是　 　 ．（写出所有的可能，填写序号即可）
24．（2025春 睢宁县期中）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF，添加一个适当的条件，使四边形BEDF是矩形，这个条件可以是 　 　 ．（填一个条件即可）
25．（2026春 鼓楼区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，BM＝CM，∠1＝∠2．求证：平行四边形ABCD为矩形．
26．（2025春 杭州校级期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，AE分别平分∠BAC和∠CAF，AD交BC于点D，AE＝DC．求证：四边形ADCE是矩形．
27．（2026春 盐都区期中）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，E是AB的中点，AC，DE交于点F，AF＝FC，BF∥CD．求证：四边形BCDF为矩形．
28．（2026春 孝义市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AM为外角∠CAE的平分线，D为底边BC上一点，连接AD，过点C作CF∥AD交AM于点F，连接DF，交AC于点O．
（1）判断四边形ADCF的形状，并说明理由．
（2）在不增加辅助线和字母的前提下，请添加一个条件：　 　 ，使得四边形ADCF为矩形．
29．（2026 鼓楼区一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AB＝BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？
30．（2026春 东阿县月考）如图，在△ABC中，O是AC边上一点，过点O作BC的平行线，交∠BCA的平分线于点E，交外角∠ACD的平分线于点F．
（1）求证：EO＝OF；
（2）连接AE，AF，当点O沿AC移动时，四边形AECF是否能成为一个矩形？此时，点O在什么位置？说明理由
题型三．直角三角形斜边上的中线
31．（2025春 玉环市校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AB＝8，则CD的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
32．（2026春 惠城区期中）如图，将直角三角尺ABC放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：cm），则CD的长度为（　　）
A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm
33．（2026春 晋安区期中）如图，在Rt△ABC中，D为BC的中点，以DC为斜边作Rt△CDE，F为CD的中点．若EF＝2，则AD的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
34．（2026春 高唐县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，，则BE的值是（　　）
A． B． C．5 D．
35．（2025秋 桂林期末）如图，一把长为10m的梯子AB斜靠在墙上，当梯子的顶端沿墙下滑的过程中，梯子的中点C到墙角O的距离变化情况是（　　）
A．变大 B．变小
C．先变小再变大 D．不变
36．（2026春 襄城区校级月考）如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点，∠CDE＝56°，则∠DCE的度数是（　　）
A．56° B．62° C．63° D．68°
37．（2025春 临海市期末）直角三角形斜边上高和中线分别是5和6，则它的面积是 　 　 ．
38．（2026春 海淀区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D、F分别是BC、AC的中点，连接AD，点E是边DC的中点，连接EF，若BC＝5，则EF的长为　 　 ．
39．（2026春 东西湖区期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠DCE＝ 　 　 °．
40．（2026春 仓山区期中）如图，以线段AB为斜边向两侧作Rt△ABC和Rt△ABD，∠ACB＝∠ADB＝90°，E是线段AB的中点，连接CE，DE．若∠CED＝100°，则∠CBD的度数为　 　 ．
41．（2025春 惠州月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∠A＝30°，BC＝2．
（1）求CD的长．
（2）请直接写出线段BC与线段AB之间的数量关系．
42．（2025秋 鼓楼区期中）已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点．
（1）求证：EF⊥BD；
（2）若∠BAD＝30°，AC＝8，求BD的长．
43．（2025春 城关区校级期末）如图，BN，CM分别是△ABC的两条高，点D，E分别是BC，MN的中点．
（1）求证：DE⊥MN；
（2）若BC＝26，MN＝10，求DE的长．
题型四．矩形的判定与性质的综合
44．（2026 南通模拟）平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若△OAB是等边三角形，OC＝3，则四边形ABCD的面积是（　　）
A． B．27 C． D．24
45．（2025春 义乌市月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB上一个动点，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥CB于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（　　）
A．5 B．2.5 C．2.4 D．4.8
46．（2025春 云南期末）已知平面直角坐标系中，有两点A（a，0），B（0，b），且满足b4，P为AB上一动点（不与A，B重合），PE⊥x轴，PF⊥y轴，垂足分别为E，F，连接EF，则EF的最小值为（　　）
A． B．3 C．4 D．5
47．（2025春 临高县期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E，F分别为AD，CD上的动点，且EF＝2，点P为EF的中点，过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，则线段MN的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
48．（2025春 渭城区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝5，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，动点P从点B出发，沿着BC以每秒1个单位长度的速度匀速向终点C运动，设运动时间为t秒．下列说法正确的有（　　）
①线段EF的长度先减小后增大；②当时，EF的值最小；③当t＝6时，EF＝5．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
49．（2025春 建华区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，动点E从点B开始，沿四边形的边BA﹣AD运动至点D停止，CE与BD相交于点N，点F是线段CE的中点．连接OF，下列结论中：
①四边形ABCD是矩形；
②当CD＝4OF时，点E是AB的中点；
③当AB＝3，BC＝4时，线段OF长度的最大值为2；
④当点E在边AB上，且∠COF＝60°时，△OFN是等边三角形，
其中正确的有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
50．（2025春 西峰区校级期末）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快　 　 s后，四边形ABPQ成为矩形．
51．（2025春 罗庄区期末）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上的一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于E，F，连接PB，PD．若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积是　 　 ．
52．（2025春 海淀区校级月考）四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，连接AC、EF，已知∠BAC＝90°，，AC＝AD＝CD＝4，则EF的长为 　 　 ．
53．（2025春 南关区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为　 　 ．
54．（2026 石家庄开学）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm．点P在边AD上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在边BC上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两点同时出发，当点P到达点D时停止，求经过多长时间，四边形ABQP为矩形？
55．（2025春 杭州期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F，BE＝CF．
（1）求证： ABCD是矩形．
（2）若OD＝13，CF＝12，求BF的长．
56．（2025春 杭州校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD⊥BD，点E、F分别是CD、BC的中点，连接EF．
（1）求证：四边形OEFB是矩形；
（2）若AD＝8，DC＝12，求四边形OEFB的面积．
57．（2025春 西湖区校级期中）如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO＝5，BO＝DO，且AB＝6，BC＝8．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC于点E，求∠BDF的度数．
58．（2026春 鄞州区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E为BC的中点，EF⊥CD于点F，点G为CD上一点，连接OG，OE，且OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG为矩形；
（2）若AC＝10，BD＝6，∠ABD＝45°，求矩形OEFG的面积．
59．（2026春 鼓楼区校级期中）如图1，已知AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，分别以点A，C为圆心，BC，AB为半径，在BC的上方画弧，两弧相交于点D，连接AD，CD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）如图2，连接AC，BD，E是边AD上一点，EF⊥AC于点E，EG⊥BD于点G．则EF+EG＝　 　 ．
60．（2026春 朝阳区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（4，2），C（4，0），P为矩形ABCO内（不包括边界）一点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，这两条平行线分矩形ABCO为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于OA，则称P为矩形ABCO的矩宽点．
例如：如图中的P（，）为矩形ABCO的一个矩宽点．
（1）在点D（，），E（2，1），F（，）中，矩形ABCO的矩宽点是 　 　 ；
（2）若G（m，）为矩形ABCO的矩宽点，求m的值．
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