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第10章 二元一次方程组 专项训练
求二元一次方程组中参数的值
类型1 利用解相同求字母系数的值
两个方程组的解相同，其实就是这两个方程组的解是这四个方程的公共解．解这种题的常用方法是：先将两个不含参数的二元一次方程结合起来组成一个方程组，求出该方程组的解．再将所求的解代入另两个含参数的方程中，求解得出参数的值．
【例1】若关于x，y的二元一次方程组和的解相同，则2a＋b＝________．
【对应训练1-1】若关于,的方程组与 的解相同，则 的值为___．
【对应训练1-2】已知关于x，y的方程组和的解相同，求a，b的值．
【对应训练1-3】已知关于x，y的方程组与方程组的解相同，求a，b的值．
【对应训练1-4】已知关于，的二元一次方程组和有相同的解，求的值.
【对应训练1-5】已知关于，的二元一次方程组和有相同的解，求的算术平方根.
类型2 利用解出错求字母系数的值
看错方程组中某个未知数的系数，所得的解既是方程组中含此系数的方程的解，又是方程组中不含此系数的方程的解，故可把解代入不含此系数的方程中，分别构建新的方程求解．
【例2】在解方程组 时，哥哥正确地解得 弟弟因把写错而解得
(1)求 的值.
(2)弟弟把写错成了什么数？
【对应训练2-1】解方程组时，将 看错后得到正确结果应为则的值是___.
【对应训练2-2】甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为乙看错了方程组中的b，而得解为
(1)甲把a看成了______，乙把b看成了______；
(2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
【对应训练2-3】已知方程组由于甲看错了方程①中的 ，得到方程组的解为乙看错了方程②中的 ，得到方程组的解为
(1)求，的值.
(2)乙把方程②中的看成的数是____.
【对应训练2-4】解方程组时，小明把c写错，得到错解而正确的解是求a，b，c的值．
【对应训练2-5】甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得试求a2026＋(－b)2027的值．
类型3 方程组的解满足某一条件求字母系数的值
(1)把方程组中的参数看成已知数，解这个方程组，再根据方程组解的关系建立以参数为未知数的方程，解这个方程即可.
(2)将方程组中的两个方程相加减(或再除以一个系数)，得到与参数相关的式子，再结合方程组解的关系，得到关于参数的方程，解方程即可.
(3)将方程组中不含参数的方程与方程组的解的关系重新组成新方程组，解此方程组，将此方程组的解代入原方程组中含参数的方程，建立以参数为未知数的方程，解方程即可.
【例3】已知x，y满足方程组且x与y互为相反数，求a的值．
【对应训练3-1】已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x－y＝4，则m的值为(　　)
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
【对应训练3-2】已知关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x－y＝－7的解，求k的值．
【对应训练3-3】若关于x，y的方程组有非负整数解，则正整数m为( )
A．1，7 B．3，7 C．1，3 D．1，3，7
【对应训练3-4】已知关于,的二元一次方程组 有正整数解，则正整数的值是___.
【对应训练3-5】某中学七年级数学兴趣小组在一次活动中，遇到这样一个问题：
已知x，y满足x＋2y＝5，且求m的值．
小璐同学说：先解关于x，y的方程组再求m的值．
小明同学观察后说：方程组中含有字母，解方程组可能比较麻烦．但x＋2y＝5中不含母……，请你用一种比较简单的方法，求出m的值．
【对应训练3-6】对于有理数， ，定义新运算：
，，其中， 是常数.已知， .
(1)求，的值；
(2)若关于，的方程组的解满足，求的值.
【对应训练3-7】阅读以下内容：
已知有理数，满足，且求 的值.
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路.
甲同学：先解关于，的方程组再求 的值.
乙同学：先将原方程组中的两个方程相加，再求 的值.
丙同学：先解方程组再求 的值.
试选择其中一名同学的解题思路，解答此题.
类型4 方程组的解满足某一条件求字母系数的值
两个方程化为一个方程ax=b：
(1)a=0，b=0，方程组有无数个解；
(2)a≠0，方程组有唯一解；
(3)a=0，b≠0，原方程组无解。
【例4】请问，满足什么条件时，方程组
(1)有无数解；
(2)无解；
(3)有唯一的解.
【对应训练4-1】已知关于，的方程组 其中， 为整数.
(1)若方程组有无穷多组解，求与 的值.
(2)当 时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由.
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参考答案
类型1 利用解相同求字母系数的值
两个方程组的解相同，其实就是这两个方程组的解是这四个方程的公共解．解这种题的常用方法是：先将两个不含参数的二元一次方程结合起来组成一个方程组，求出该方程组的解．再将所求的解代入另两个含参数的方程中，求解得出参数的值．
【例1】若关于x，y的二元一次方程组和的解相同，则2a＋b＝________．
【答案】－4
【对应训练1-1】若关于,的方程组与 的解相同，则 的值为___．
【答案】8
【对应训练1-2】已知关于x，y的方程组和的解相同，求a，b的值．
解：解方程组得把代入方程组中，得解得∴a的值是2，b的值是1
【对应训练1-3】已知关于x，y的方程组与方程组的解相同，求a，b的值．
解：由已知，得解得
把代入方程组得
解得
【对应训练1-4】已知关于，的二元一次方程组和有相同的解，求的值.
解：由题意联立，得方程组解得 联立，得方程组 将 代入方程组 得 解得 所以 .
【对应训练1-5】已知关于，的二元一次方程组和有相同的解，求的算术平方根.
解：根据题意，得 (联立不含字母的两个方程)
解得
把代入 (把方程组的解代入含字母的方程组中)得
解得
，
的算术平方根为4.
类型2 利用解出错求字母系数的值
看错方程组中某个未知数的系数，所得的解既是方程组中含此系数的方程的解，又是方程组中不含此系数的方程的解，故可把解代入不含此系数的方程中，分别构建新的方程求解．
【例2】在解方程组 时，哥哥正确地解得 弟弟因把写错而解得
(1)求 的值.
解：因为哥哥正确地解得 所以 ,.所以.因为弟弟因把写错而解得所以.联立，得解得 所以 .
(2)弟弟把写错成了什么数？
解：因为弟弟因把写错而解得
所以，解得 .
所以弟弟把写错成了 .
【对应训练2-1】解方程组时，将 看错后得到正确结果应为则的值是___.
【答案】5
【解析】把和分别代入(把错解代入不含的方程)，得 解得把代入 ，得，解得，所以 .
【对应训练2-2】甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为乙看错了方程组中的b，而得解为
(1)甲把a看成了______，乙把b看成了______；
(2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
解：(1)5 6
(2)把代入4x－by＝－4，得12＋b＝－4，解得b＝－16，把代入ax＋5y＝10，得5a＋20＝10，解得a＝－2，把a＝－2，b＝－16代入原方程组，得由②，得2x＋8y＝－2③，①＋③，得13y＝8，解得y＝，把y＝代入①，得－2x＋5×＝10，解得x＝－，∴原方程组的解为
【对应训练2-3】已知方程组由于甲看错了方程①中的 ，得到方程组的解为乙看错了方程②中的 ，得到方程组的解为
(1)求，的值.
解：将代入②，得 ，③
将代入①，得 ，④
联立③④，得
解得
(2)乙把方程②中的看成的数是____.
【答案】－6
【对应训练2-4】解方程组时，小明把c写错，得到错解而正确的解是求a，b，c的值．
解：把和分别代入ax＋by＝－3，得解得把代入cx－4y＝－6，得2c－4＝－6.
解得c＝－1.所以a＝2，b＝－7，c＝－1.
【对应训练2-5】甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得试求a2026＋(－b)2027的值．
解：将代入②，得－12＋b＝－11，解得b＝1.
将代入①，得5a＋20＝15，解得a＝－1.
∴a2026＋(－b)2027＝(－1)2026＋(－1)2027＝0.
类型3 方程组的解满足某一条件求字母系数的值
(1)把方程组中的参数看成已知数，解这个方程组，再根据方程组解的关系建立以参数为未知数的方程，解这个方程即可.
(2)将方程组中的两个方程相加减(或再除以一个系数)，得到与参数相关的式子，再结合方程组解的关系，得到关于参数的方程，解方程即可.
(3)将方程组中不含参数的方程与方程组的解的关系重新组成新方程组，解此方程组，将此方程组的解代入原方程组中含参数的方程，建立以参数为未知数的方程，解方程即可.
【例3】已知x，y满足方程组且x与y互为相反数，求a的值．
解：∵x与y互为相反数，∴x＋y＝0.∴解得把代入x＋2y＝2a－1中，得2a－1＝5＋2×(－5)，解得a＝－2
【对应训练3-1】已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x－y＝4，则m的值为(　　)
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
【答案】B
【对应训练3-2】已知关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x－y＝－7的解，求k的值．
解：　①＋②，得2x＝6k.解得x＝3k.②－①，得2y＝－2k.解得y＝－k.将x＝3k，y＝－k代入2x－y＝－7，得6k＋k＝－7.解得k＝－1.
【对应训练3-3】若关于x，y的方程组有非负整数解，则正整数m为( )
A．1，7 B．3，7 C．1，3 D．1，3，7
【答案】C
【对应训练3-4】已知关于,的二元一次方程组 有正整数解，则正整数的值是___.
【答案】4
【解析】原方程组为 ,得,所以.把 代入①,得.因为是正整数，所以 或2或17或34.所以或或4或12.5.又因为为正整数，所以 .因为是正整数，当时， ，符合题意，所以正整数 的值是4.
【对应训练3-5】某中学七年级数学兴趣小组在一次活动中，遇到这样一个问题：
已知x，y满足x＋2y＝5，且求m的值．
小璐同学说：先解关于x，y的方程组再求m的值．
小明同学观察后说：方程组中含有字母，解方程组可能比较麻烦．但x＋2y＝5中不含母……，请你用一种比较简单的方法，求出m的值．
解：∵x，y满足x＋2y＝5，且∴解得把代入3x＋7y＝5m－3，得3＋14＝5m－3，解得m＝4
【对应训练3-6】对于有理数， ，定义新运算：
，，其中， 是常数.已知， .
(1)求，的值；
解：由题意得解得
(2)若关于，的方程组的解满足，求的值.
解：由题意得 解得
因为，所以 ，
解得 .
【对应训练3-7】阅读以下内容：
已知有理数，满足，且求 的值.
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路.
甲同学：先解关于，的方程组再求 的值.
乙同学：先将原方程组中的两个方程相加，再求 的值.
丙同学：先解方程组再求 的值.
试选择其中一名同学的解题思路，解答此题.
解：选择甲同学的解题思路，解答如下：
，得，解得 .
，得，解得 .
因为，所以，解得 .
选择乙同学的解题思路，解答如下：
，得，所以 ，
因为，所以，解得 .
选择丙同学的解题思路，解答如下：
联立，得
，得 ，
把代入①,得,解得 ，
把,代入 ，
得，解得 .
类型4 方程组的解满足某一条件求字母系数的值
两个方程化为一个方程ax=b：
(1)a=0，b=0，方程组有无数个解；
(2)a≠0，方程组有唯一解；
(3)a=0，b≠0，原方程组无解。
【例4】请问，满足什么条件时，方程组
(1)有无数解；
解：由①,得 ,将其代入②，整理得 .③
若方程③有无数解,则所以
所以当, 时，原方程组有无数解.
(2)无解；
解：若方程③无解,则所以
所以当， 时，原方程组无解.
(3)有唯一的解.
解：若方程③有唯一解,则,即.所以当 ， 为任意实数时，原方程组有唯一解.
【对应训练4-1】已知关于，的方程组 其中， 为整数.
(1)若方程组有无穷多组解，求与 的值.
解：
由①，得 ，③
将③代入②,得 ，
整理得 .④
因为方程组有无穷多组解，
所以且，所以 .所以
.所以.所以 .
(2)当 时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由.
解：没有.理由如下：
由(1)得 ，
当时，可化为 .
①当 时，方程无解.
②当时，，代入 ，得
.
因为为整数，且为整数,所以或或或 ,此时
不可能为整数.
所以原方程组无整数解.
综上，原方程组没有整数解.
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