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第二十四章 数据的分析
24.1 数据的集中趋势
24.1.1 平均数
人教 2024
引入新知
在日常生活、学习中，我们常说某班同学身高较高或者成绩较好，这往往比较的是身高或成绩数据的“中心”所在位置，统计中称之为数据的集中趋势. 本单元将学习刻画数据集中趋势的三个常见统计量——平均数、中位数和众数.
问题1 甲、乙两组同学的跳绳成绩(单位：次/min)如下：
甲组 182 194 143 185 156 乙组 199 148 242 170 141
你认为哪组的跳绳成绩更好？
为了方便，可以用每组跳绳成绩的平均数进行比较.
甲组跳绳成绩的平均数= (182+194+143+185+156)=172
乙组跳绳成绩的平均数= (199+148+242+170+141)=180
乙组的跳绳成绩的平均数大于甲组的，所以乙组成绩更好.
讨论一下：
是否可以用每组跳绳成绩的总数比较两组跳绳成绩？如果两组人数不同呢？
还可不可以举别的例子？
引入新知
一般的，有n个数据x1，x2，...，xn，我们把
叫作这n个数据的平均数，记作 .
(1)一组数据1，2，3，4，5的平均数是 ；
(2)一组数据22，24，27，19，x，32，33，30的平均数是27，则x= ；
(3)一组数据4，5，6，a，b的平均数为5，则a，b的平均数是 .
关于平均数的计算
设一组数据x1，x2，...，xn的平均数为 , 则
(1)数据x1+a，x2+a，...，xn+a的平均数为 +a；
(2)数据kx1，kx2，...，kxn的平均数为k ；
(3)数据kx1+a，kx2+a，...，kxn+a的平均数为k +a.
1. 某校规定数学竞赛成绩85分以上为优秀，老师将85分记为0，并将一组5名同学的成绩简记为-3，+14，0，+5，-6，这5名同学的平均成绩是 .
87分是这5名同学数学竞赛成绩的中心，这5名同学的成绩都在87分上下浮动. 平均数是用来刻画这5名同学数学竞赛成绩的集中趋势的.
小试牛刀
3. 求以下两组数据的平均数
(1)108，102，93，99，110，105，99，96，101，107；
(2)1.60，1.80，1.85，1.50，1.75，1.75，1.60，1.75；
2. (1)已知数据a1，a2，...，an的平均数是3，则数据2a1+5，2a2+5，...，2an+5的平均数是 .
(2)若数据3x1+2，3x2+2，...，3x20+2的平均数为20，则x1，x2，...，x20的平均数为 .
(3)若数据3x1+1，3x2+2，...，3x5+5的平均数为20，则x1，x2，...，x5的平均数为 .
4. 在数据4，5，6，5中去掉n(n>0)个数据，平均数没有变化，则n= .
加权平均数
问题2 一家公司打算招聘一名英文翻译.对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们的各项成绩(百分制)如下表：
应试者 听 说 读 写
甲 85 78 85 73
乙 73 80 82 83
(1)如果这家公司想招一名综合能力较强的英文翻译，计算两名应试者的成绩. 从他们的成绩看，应该录取谁？
(2)如果这家公司想招一名笔译能力较强的英文翻译，听、说、读、写成绩按照2：1：3：4的比确定，计算两名应试者的平均成绩. 从他们的成绩看，应该录取谁？
若n个数x1，x2，...，xn的权分别为 ，则
叫作这n个数的加权平均数.
思考：如果这家公司想招一名口语能力较强的英文翻译，听、说、读、写成绩按3：3：2：2的比确定，那么甲、乙两人谁将被录取？与(1)(2)作一个比较，有什么体会？
加权平均数
例1. 一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、语言表达、形象风度三个方面为选手打分，各项成绩均按演讲内容占50%、语言表达占40%、形象风度占10%，计算选手的综合成绩. 进入决赛的前两名选手的单项成绩如表所示，请确定两人的名次.
选手 演讲内容 语言表达 形象风度
A 85 95 95
B 95 85 95
选手A的综合成绩是
选手B的综合成绩是
选手B获得第一名，选手A获得第二名.
讨论：
1. 两名选手的单项成绩都是两个95分和一个85分，为什么综合成绩不同呢？
2. 本例中那些数据是权？
小试牛刀
1. (课本P152 Ex1)某公司欲招聘一名公关人员.对甲、乙两位应试者进行了面试和笔试，他们的成绩如下表：
(1)如果公司认为面试和笔试成绩同等重要，从他们的成绩看，谁将被录取？
(2)如果公司认为，作为公关人员面试成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，谁将被录取？
应试者 面试 笔试
甲 86 90
乙 92 83
2. 小贝班数学平均分为87分，女生有20人，平均分为92分，男生的平均分为83分，男生有多少人？
小试牛刀
3. (2025合肥庐阳区期末)某食堂销售三种午餐盒饭的有关数据如下表. 则该食堂销售午餐盒饭的平均价格是 .
品种 A B C
单价(元/份) 12 10 8
销售比例 15% 60% 25%
4. 学校开展立定跳远达标测试，以下是九(1)和九(2)班的测试数据，两个班的总达标率是多少？
班级 立定跳远达标率 学生数(人)
九(1)班 60% 25
九(2)班 72% 35
说一说：
本题中权是什么？
说一说：
本题中权是什么？
小试牛刀
6. 为了解张大爷今年引进3000株新品种黄瓜的产量，抽查
了部分黄瓜株上长出的黄瓜根数，得到下面的条形统计图.
估计张大爷种植的新品种黄瓜结了 根黄瓜.
说一说：
本题中权是什么？
5. 某水果店销售11元、18元、24元三种价格的水果，根据水果店一个月这三种水果的销售量的统计图(如右)，可计算出该店当月销售的水果的平均价格为 元.
小试牛刀
6. 端午假期，王先生计划与家人一同前往景区游玩，为了选择一个最合适的景区，王先生对A、B、C三个景区进行了调查与评估. 他依据特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面，为每个景区评分(10分制). 三个景区的得分(单位：分)如下表所示：
(1)若四项所占百分比如图所示，通过计算回答：王先生会选择哪个景区去游玩
(2)如果王先生认为四项同等重要，通过计算回答：王先生会选择哪个景区去游玩
(3)如果你是王先生，请按你认为的各项"重要程度"设计四项得分的百分比，选择最合适的景区，并说明理由.
景区 特色美食 自然风光 乡村民宿 科普基地
A 6 8 7 9
B 7 7 8 7
C 8 8 6 6
总结一下：
数据的权常见的表现形式：比值、频数以及百分比
组中值
平均数是用来刻画一组数据的集中趋势的，有些情况下，可以利用组中值近似去求一组数据的平均数.
1. 公交部门统计了某天10路公交车50班次的载客量，数据分布如下表，则这天10路公交车平均每班的载客量是人 .
载客量(x/人) 60≤x≤80 60≤x≤80 60≤x≤80 60≤x≤80
组中值
班次(频数) 5 15 20 10
2. 某灯泡厂为了测量一批灯泡的使用寿命，从中抽查了50只灯泡，它们的使用寿命如下表. 请完成表格并估计这一批灯泡的使用寿命是多少小时.
使用寿命(x/h) 600≤x<1000 1000≤x<1400 1400≤x<1800 1800≤x<2200 2200≤x<2600
组中值
灯泡只数 5 10 12 5
组中值
3. 八年级9班学生的身高情况如下(身高为x cm)：145≤x<155的有1人，155≤x<165的有3人，165≤x<175的有25人，175≤x<185的有11人. 估计这个班学生的平均身高为 .
4. 对一组数据进行了整理，结果如下表：
已知这组数据的平均数约是11，则y= .
分组 0≤x<10 10≤x<20
频数 8 y
与条形图相关
1. 某校为了解学生每周课外体育活动时间的情况，随机调查了50名学生，对这些学生每周课外体育活动时间x(单位：h)进行了统计，并绘制了一幅统计图如下.求这50名学生每周课外体育活动时间的平均数.
2. 顺安中学809班为了解同学们一天的消费情况，对本班48名同学开展了调查，将同学们一天的零花钱以2元为组距，绘制如下图，已知从左到右各组的频数之比为2：3：4：2：1.
(1)人数最多的是左数第 组，有 人；
(2)零花钱在8元以上的有 人；
(3)估计该班每名同学的日平均零花钱是 元.
分组数据的平均数
例2. 某天访问A、B两个新闻类网站的用户数分别为3×107和1×107，下表是用户在每个网站的停留时间和关于军事话题调查的统计结果.
这天两个网站所有用户停留时间的平均数和对军事话题感兴趣的百分比分别为多少？
网站 停留时间的平均数/h 对军事话题感兴趣的百分比/%
A 0.5 24
B 0.7 32
两个网站所有用户停留时间的平均数=
两个网站所有用户对军事话题感兴趣的百分比=
计算分组数据的平均数或百分数，只需知道两类信息：(1)每组数据的平均数或百分数；(2)每组数据的个数(频数)或每组数据个数所占的比值(频率).
以频数或频率为权，通过计算加权平均数即可.
小试牛刀
1. (课本P154 Ex2)某超市有5家分店，其中一天的营业情况统计结果如下表所示. 这家超市的每人次平均消费金额和非现金结账百分比分别是多少
分店 结账人次 每人次平均消费金额/元 非现金结账百分比/%
A 4000 46 70
B 2000 32 76
C 3000 68 73
D 7000 95 85
E 4000 80 82
小试牛刀
社团类型 训练时长的平均数/h 对体育赛事感兴趣的百分比/%
篮球 1.8 82
足球 2.1 80
2. 学校组织篮球、足球两项体育社团活动，参与篮球社团和足球社团的人数分别有50人和30人. 两项社团活动中，成员训练时长的平均数和对体育赛事感兴趣的百分比统计如下：
求参与这两项体育社团活动的所有成员训练时长的平均数和对体育赛事感兴趣的百分比分别是多少.
参与这两项体育社团活动的所有成员训练时长的平均数为
参与这两项体育社团活动的所有成员对体育赛事感兴趣的百分比为
用样本平均数估计总体平均数
根据样本数据计算得到的平均数，叫作样本平均数；根据总体数据计算得到的平均数，叫作总体平均数. 抽样调查中，经常用样本平均数估计总体平均数.
2. 809班在开展"节约每一滴水"的活动中，从全班48名同学中选出8名同学汇报各自家庭一个月的节水情况，发现节水0.5m3的有1个家庭，节水1m3的有4个家庭，节水1.5m3的有1个家庭，节水2m3的有2个家庭. 用你所学的统计知识估计全班同学的家庭一个月节约用水的总量为 .
1. 某外贸公司要出口一批食品罐头，标准质量为每听454克，现抽取10听样品进行检测，它们的质量与标准质量的差值(单位：克)如下：
-10，+5，0，+5，0，0，-5，0，+5，+10.
估计这批食品罐头平均每听的质量为 .
用样本平均数估计总体平均数
3. 小黄在自家种的西瓜地里随意称了10个西瓜，质量(单位：斤)分别是：
5，8，6，8，10，9，9，9，7，9，
按市场价西瓜每斤2元的价格计算，
估计小黄今天卖了350个西瓜收入元 .
4. 某灯泡厂测量一批灯泡的使用寿命，从中随机抽查了50只灯泡，它们的使用寿命统计结果如右表.
根据表中信息，完成下列问题：
(1)m= ，n= ；
(2)估计这批灯泡的平均使用寿命是多少；
(3)若灯泡的使用寿命不小于1800h，则为"超长照明灯泡"，估计这批总数为3万只的灯泡里面有多少只灯泡属于"超长照明灯泡".
组别 使用寿命x/h 组中值 频数
A 600≤x<1000 800 5
B 1000≤x<1400 m 10
C 1400≤x<1800 1600 n
D 1800≤x<2200 2000 17
E 2200≤x<2600 2400 6
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