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广东东莞实验中学等校2025-2026学年第二学期期中教学质量自查
高二数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算：( )
A. B. C. D.
2.函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
3.的展开式中常数项是( )
A. B. C. D.
4.端午节是中国四大传统节日之一，端午节当天，名同学要从超市购买粽子，现有种不同口味的粽子，每名同学只购买其中一种口味的粽子，则不同的购买方式种数是( )
A. B. C. D.
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.若直线是曲线与曲线的公切线，则( )
A. B. C. D.
7.已知定义在上的函数满足，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数有两个极值点，求的取值范围( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 若，则正整数的值是
10.已知，且第项与第项的二项式系数相等，则( )
A. B. 展开式的二项式系数和为
C. 展开式的各项系数和为 D.
11.已知函数，则( )
A. 函数在上单调递减，在上单调递增
B.
C. 若，则实数的取值范围是
D. 当时，若方程有且只有一个根，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从，，，中任取个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是 用数字作答
13.展开式中，的系数为 ．
14.对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数；，请你根据上面探究结果，计算 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求在区间上的最值．
16.本小题分
某校志愿者团队共派出人参加志愿服务活动，其中男生人，女生人．
从这人中选出男、女队长各人参加志愿服务活动，共有多少种选法？
从这人中选出人完成本次活动的宣传工作，其中至少需要名女生和名男生，共有多少种选法？
活动后人排成一排拍照，男生甲在女生乙左边，有多少种不同的排法？
现要将名志愿者分配到三所学校参加志愿服活动，每所学校至少分配人，共有多少种不同的安排方法？
17.本小题分
为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本万元，每年需另投入流动成本万元与成正比其中台表示产量，并知当生产台该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量台的函数关系为万元其中记当年销售该产品台获得的利润利润销售收入生产成本为万元．
求函数的解析式；
当产量为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？结果精确到
18.本小题分
已知的展开式中仅第项的二项式系数最大，且第项第项第项的系数成等差数列．
求和的值；
若，且，求被除的余数；
若，求的展开式中系数最大的项．
19.本小题分
已知函数．
讨论单调性；
若恒成立，求的值；
当时，证明：当时，恒成立．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，
所以曲线在点处的切线方程为，
即，
，令
所以在区间单调递增；
在区间单调递减，
，
所以在区间上的最小值为，最大值为．

16.从这人中选出男、女队长各人参加志愿服务活动，分两步完成，
第一步从男生人中选人有种选法，第二步从女生人中选人共种选法，故有种选法；
从这人中选出人完成本次活动的宣传工作，其中至少需要名女生和名男生，共有种情况：
第一种：男生选人，女生选人，共有种选法，
第一种：男生选人，女生选人，共有种选法，
故总共有种选法；
活动后人排成一排拍照共有种排法，男生甲与女生乙有种排法，满足顺序排法相同，
所以活动后人排成一排拍照，男生甲在女生乙左边共有排法；
现要将名志愿者分配到三所学校参加志愿服活动，每所学校至少分配人，则三所学校分配志愿者人数为：，
若人数为，则有种安排方法，
若人数为，则有种安排方法，
若人数为，则有种安排方法，
根据分类加法计数原理共有种安排方法．

17. 台，万元
18.解：由二项式系数性质，仅第项最大，则 为偶数且，解得．
第、、项系数、、，成等差数列得
由，，，
整理得，解得 或．
故，或；
由知，或因为，所以
又，则
，
故 被除的余数为
由知，或因为，所以．
展开式通项为，系数为，．
设第 项系数最大，则满足
由，得，即．
由组合数计算公式得，故，因为，所以．
由 得，即．
故，因为，所以，所以．
综上，即 或．
故系数最大的项为第项和第项：，；

19.解：解：由函数，可得其定义域为，且，
当时，，故在单调递增；
当时，令，解得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
解：由函数的定义域为．
若，由知在单调递增，
因为，所以不满足恒成立；
若，由知，在单调递减，在单调递增，
故在时取得最小值，所以，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
又因为，所以，当且仅当时取到等号，
所以的解为，故所以实数的值为．
证明：当，且时，则，可得．
要证明，即证，
而，
令，只需证明即可，
由，再令，可得，
由于函数在上单调递增，所以在上单调递增，
则，即在上单调递增，
可得，即在上单调递增，
故，得证．

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