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广东佛山市新质高中联盟2025-2026学年高二（下）期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，若，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知数列是首项为，公比为的等比数列，若成等差数列，则( )
A. B. C. D.
5.若在和处有极值，则函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
6.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.已知数列满足：，，若，则数列的最大项为第 项．
A. B. C. D.
8.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来近似计算，例如：求，我们先求得在处的切线方程为，再把代入切线方程，即得，类比上述方式，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导计算中，错误的有( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.记为等差数列的前项和．已知，则( )
A. B.
C. 为等差数列 D. 为等比数列
11.已知函数，，则( )
A. 在上单调递增
B. 当时，有且只有一个极值点
C. 若有两个极值点，则
D. 若有两个极值点，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列的前项和为，且，则 ．
13.设函数，若函数在上是单调减函数，则的取值范围是 ．
14.已知等差数列首项为，公差为，前项和为，数列前项和为，且满足若对于任意，成立，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．
求函数的解析式；
当时，求函数的最值．
16.本小题分
已知数列中，，．
求证：数列为等差数列；
令的前项和为，求证：．
17.本小题分
如图，已知斜四棱柱，底面为等腰梯形，，点在底面的射影为，且，，，．
求证：平面平面；
已知点满足，，且平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知数列的前项和为，且．
求数列的通项公式；
等差数列满足，对于任意的，恒成立，求实数的取值范围；
若数列，对于任意的正整数，均有成立，求证：数列是等差数列．
19.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
当时，判断的零点个数，并证明结论；
不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
所以，
由题意可知，，，，
所以，解得，，，
所以函数的解析式为，经检验适合题意，
所以；
由知，
令，则，解得，或，
当时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
当时，取的极大值为，
当时，取得极小值为，
又，，
所以，．

16.解：已知，且，由递推关系可知对任意正整数成立，
则该递推关系可整理为，又首项，
因此数列是首项为，公差为的等差数列．
由可得，所以，
所以，
所以

17.解：
证明：等腰梯形中，，，延长，交于，则，，所以为等边三角形，
所以，且，，平面，平面，
所以面，
又因为平面，则平面平面．
过作交于，
以为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴，为轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
，
设平面的一个法向量为
，则，取，则
取平面的法向量，
，得，因为，所以，
即，，
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成的角正弦值为．

18.解：因，即，则当时，，即，
而当，则，即，于是有数列是以为公比，为首项的等比数列，
因此，，
所以数列的通项公式是：，．
数列为等差数列且，则公差，，
对于任意的，恒成立，即，亦即恒成立，
令，则，
当，时，，当时，，
于是得，，则，
所以实数的取值范围是．
对于任意的正整数，，
当时，，而，则，
当时，，
上式两边同时乘以得：，
因此，，
即，从而有，而也满足上式，则，，，
所以数列是以为首项，公差为的等差数列．

19.解：由函数的定义域为，且，
若，令，解得，当时，；当时，，
若，令，解得或，
若时，即时，
当时，；当时，；
若时，即时，
当或，；当时，；
若时，即时，可得，且仅；
若时，即时，
当或，；当时，；
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，．
只有一个零点证明：由知，当时，单调递增，
又由，可得，此时在只有一个零点；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，，
当时，函数取得极大值，极大值为，在没有零点；
当时，函数取得极小值，其中，
在没有零点；
当时，，；又，
，由，必有正根，
当时，
取，显然，有，所以在有一个零点．
综上，命题成立．
由在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，则，
令，则，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
当时，在内存在唯一的零点，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，，单调递增，
所以，，
因为，所以，，
所以，
因为，所以，所以，
所以实数的取值范围为．

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