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湖北武汉市第四中学等省级示范高中2025-2026学年下学期中测试
高二数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若为正整数，则等于( )
A. B. C. D.
2.设，则曲线在点处的切线的斜率为( )
A. B. C. D.
3.已知数列是等比数列，为前项和，若，，则
A. B. C. D.
4.年泡泡玛特旗下的“星星人”突然爆火，现有个不同造型的“星星人”。把这个“星星人”装入个不同的盒内，每盒至少装一个，共有 种不同的装法．
A. B. C. D.
5.已知函数，若在上不单调，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉分叉的角度约为，再沿直线繁殖，；每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心开始，沿直线繁殖到，然后分叉向与方向继续繁殖，其中，且与关于所在直线对称， ，，若，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径，单位：至少为( )
A. B. C. D.
7.为了迎接即将到来的端午节龙舟赛，某训练组进入备战状态，该队有名划手，其中有名只会划左桨，名只会划右桨，名既会划左桨又会划右桨现要从这名划手中选派名参加比赛，并预先选定其中名划左桨，剩下名划右桨，则不同的选定方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且，若时，函数满足，则下列说法正确的是( )
A. 在上单调递增 B.
C. D. 有且只有一个零点
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，为数列的前项和，则下列结论正确的有
A. B. 是递增数列
C. D. 中不存在连续三项成等差数列
10.一个正整数，如果将它从左向右读和从右向左读完全相同，就称为回文数，这种对称性质体现了数学中的数字美学，如等下列说法正确的是
A. 百位为的五位回文数有个 B. 十位大于个位的六位回文数有个
C. 位回文数有个 D. 位回文数有个
11.已知，是函数与的图像的两条公切线，记的倾斜角为，的倾斜角为，且，的夹角为，则下列说法正确的有
A. B.
C. 若，则 D. 与的交点一定在第一象限
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ．
13.个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，不同的传球方法数为 ．
14.已知函数，若恒成立，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的首项，且数列满足，
求数列的通项公式；
求证：．
16.本小题分
已知函数．
讨论的极值；
求在上的最小值．
17.本小题分
某实验室有个不同的团队，需要对、、、方向的个研发项目进行，每个团队只能承担一个项目，且每个项目至少交给一个团队．
若从中选出个团队去，共有多少种不同的安排方案？
若个团队都同时参与调研，且、两个团队同一个项目，共有多少种不同的安排方案？
18.本小题分
已知数列满足：；数列满足：．
求数列和的通项公式；
设，求数列的前项和；
定义：“若存在常数，使得对任意正整数，数列的前项和都满足，则称数列是和有上界数列，且和上界为”证明：数列的其中一个和上界为．
19.本小题分
拉格朗日是十八世纪著名的数学家，在数学领域作出了重大贡献，人们常把很多数学领域中新的发现用他的名字命名如对一组数据互不相等进行研究时，记时，，称为这组数据的拉格朗日插值多项式．
试求数据的拉格朗日插值多项式的表达式；
对于中求出的，若函数满足，
研究的单调性；
若有两个零点，求的取值范围．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：解：设等差数列的公差为，
因为且，可得，
又因为由，可得，解得，
所以，即数列的通项公式为．
证：由知：，可得，所以，
设
则．
两式相减得．
可得，
因为，可得，所以．

16.解：由题意知：的定义域为，
；
当时，，
恒成立，
在上单调递增，
无极值；
当时，若，；
若，；
在上单调递减，在上单调递增；
的极小值为，无极大值；
综上所述：当时，无极值；
当时，的极小值为，无极大值；
当时，在上恒成立，
在上单调递增，
；
当时，若；
若；
在上单调递减，在上单调递增，
；
当时，在上单调递减，
；
综上所述：在上的最小值
．

17.解：解：先从个团队中选个，有种选法，
接下来将个团队分配到种项目，且每个项目至少个团队负责，
则个团队分为：，，，四组，有种方法，
再将这四组对应种项目进行全排列，
由分步计数原理，可得不同的安排方案有种
解：先将和两个团队视为一个整体一个元素，
此时相当于个元素分配到种项目，每个项目至少有一个团队，
即分成元素个数分别为“，，，”四组，则有种方法，
再将这四组对应种项目进行全排列，有种方法，
所以共有种不同的安排方案．

18.因为，所以，
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则．
则．
由得，
则，
所以
由得，
当时，，
当时，，
所以，则，
所以数列的前项和
，
所以对于任意正整数，数列的其中一个和上界为

19.【详解】对于数据，
有，
，
所以，
即．
由知，
所以，
，
若，则在上单调递减；
若，则，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减．
综上所述，时，在上单调递减；
时，在上单调递增，在上单调递减．
因为函数有两个零点，所以关于的方程，即，
亦即有两个不同实数解．
令，则，
当时，在上单调递减，且当时，；
当时，在上单调递增，
所以当时，取得最大值．
作出函数的图象以及直线，如图所示：
由图可见，当且仅当，
即时，直线与函数的图象有两个公共点，
所以实数的取值范围是．

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