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河南商丘市睢县高级中学等校2025-2026学年高一下学期4月学业评估数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
2.设复数满足，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.设，是空间两条不同直线，则“与无公共点”是“与是异面直线”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.如图，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的周长为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，且向量在向量上的投影向量的坐标为，则( )
A. B. C. D.
6.在平面四边形中，与不共线，点满足，若，则( )
A. B. C. D.
7.如图，两座山峰的高度米，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点三点在同一水平面上测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8.已知是半径为的圆上的三个点，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. 平行六面体的各个面都是平行四边形
B. 圆柱的侧面展开图是一个正方形
C. 将棱台的侧棱延长后必交于一点
D. 将直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周形成的旋转体是圆锥
10.已知复数，下列说法正确的是( )
A. B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.在中，内角的对边分别为，则下列说法正确的是( )
A. 若，则符合条件的有两个
B. 若，则是直角三角形
C. 若，则是锐角三角形
D. 若，则为等腰三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数是纯虚数，则的值为 ．
13.已知甲乙两个圆台的上底面的半径均为，下底面的半径均为，母线长分别为和，记甲乙两个圆台的体积分别为，则 ．
14.在中，点分别是的三等分点，且，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量．
若，求的值；
若，求向量与的夹角的余弦值．
16.本小题分
在中，内角的对边分别为，且．
若，求和；
若的面积为，求的周长．
17.本小题分
在正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且B.
若正方体的所有顶点均在球的球面上，球的表面积为，求球的体积及正方体的体积
若平面，平面，平面，证明：，，三点共线．
18.本小题分
在中，内角的对边分别为，且．
求；
若为锐角三角形，求的取值范围；
已知点是边上的一点，且，求的长．
19.本小题分
在中，是的重心，且．
求的值；
若过点的直线与线段交于点，与线段交于点，且，求的值；
若，点是线段上一点不同于端点，过点分别向作垂线，垂足分别为，求的最小值．
参考答案
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14.
15.解：若，则，解得，
所以，则．
因为，则，
解得，设向量与的夹角为，
则，
即向量与的夹角的余弦值为．

16.解：解：因为，所以，
由正弦定理得，即，解得，
由余弦定理得，即，
解得舍去；
由题意，的面积，解得，
由余弦定理得，即，
所以，解得，
所以的周长为．

17.设球的半径为，正方体棱长为．
由球的表面积公式，得，解得．
球的体积为：
正方体的体对角线等于球的直径，即，
化简得，解得．
正方体的体积为：．
由题意得，是与平面的交点，是与平面的交点，是与平面的交点．
因为平面，所以平面；
同理，平面，所以平面；
平面，所以平面。
又因为均在平面内，根据平面基本性质公理，
平面与平面的交线为一条直线，故三点都在该交线上。
故结论成立，即三点共线．
18.解：因为，所以，
由余弦定理得，
又，所以．
由知，所以，
因为，
又为锐角三角形，则所以，
所以，所以，即的取值范围是．
设，则，
因为，所以，联立解得
因为，
所以，
，
所以．

19.解：因为是的重心，所以，得，
两边平方可得，又，
所以，
即，所以．
因为为的重心，所以，
又因为，所以，
由于三点共线，所以，
所以．
由知，又，
所以，解得，
，解得，
，解得，
所以的面积为，
又，
所以．
因为，
同理，，
所以，当且仅当时，取等号，
即的最小值为．

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