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河南信阳市2025-2026学年普通高中高一下学期期中教学质量检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
2.设复数在复平面内对应的点位于第三象限，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.下列向量运算错误的是( )
A. B.
C. D.
4.的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知是复数的共轭复数，为虚数单位，则的虚部是( )
A. B. C. D.
6.已知正方形的边长为，点、分别为边、上的动点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.设函数，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
8.已知，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 若命题，则命题的否定为：
C. 若，则或
D. 若，且，则
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 直线是的图象的一条对称轴
C. 在区间上单调递增
D. 在区间上有个零点
11.悬链线是工程中常见的曲线如两端固定的柔软链条，在某一悬链线拱桥的桥面设计中，三个锚点位于悬链线上，且悬链线内部一点满足向量关系：根据平面向量的知识，下列结论正确的是( )
A. 点在的内部 B. 点是的重心
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则 ．
13.已知函数为奇函数，则实数的值为 ．
14.已知定义在上的函数的图象连续不断，若存在非零常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是“回旋函数”若函数是的“回旋函数”，则在上至少有 个零点．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合 ，．
当时，求；
已知，求实数的取值范围．
16.本小题分
在中，分别为内角的对边，且．
求角的大小；
若在的条件下，有，求边的最小值．
17.本小题分
已知在中，为中点，，，．
若，求
若线段上一动点满足，试确定点的位置．
18.本小题分
如图，是函数图象的一部分．
求函数的解析式．
将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的倍横坐标不变，得到函数的图象．
求函数在上的单调递增区间；
若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
19.本小题分
定义：设向量，我们称为向量的“伴随函数”；称向量为函数的“伴随向量”．
已知向量的“伴随函数”为，求的最大值．
设向量，，函数，求函数的“伴随向量”．
已知向量、满足，且“伴随函数”分别为和，设，且的“伴随函数”为，其最大值为．
若，求的取值范围；
求证：向量的充要条件是．
参考答案
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15.解：或，
当时，，
或；
，，
若，则，；
若，有，
，
或，
综上所述，或，
实数的取值范围为

16.解：由正弦定理可得，
即，
又，故，故，则；
由，故，
由余弦定理可得，
当且仅当时，等号成立，
故边的最小值为．

17.解：因为，则，可得，
因为，，，
由平面向量数量积的定义可得，
所以，
．
因为点在线段上的一点，设，其中，
则，所以，，
又因为，且、不共线，
所以，，解得，此时，点为线段的中点．

18.解：由图像可知，函数最大值为，最小值为，且，得．
，所以周期又，，因此．
将最高点代入得：，则，
解得因为，所以．
因此函数解析式为．
向右平移个单位，则，
再纵坐标伸长为原来的倍横坐标不变，则．
令，解得．
因为，所以在上的单调递增区间为．
当时，令，则．
因为方程在区间上恰有两个不同的实数解，
则在上恰有两个不同解．
由在的图象可知，当时，方程恰有两个不同解，
解得．
因此的取值范围为．

19.解：因为向量的“伴随函数”为，则，
故函数的最大值为．
因为向量，，所以，，
所以，
所以函数的“伴随向量”为．
因为向量、满足，不妨设，，
因为实数、满足，设，，其中，
所以
，
所以
，
其中满足，
所以函数的最大值为
，
因为，则，所以，
又因为，则，所以，
故，
故，即的取值范围是．
由题意，
则，
，
其中，
所以
．
先证明必要性：若，则，所以，
所以，则，
所以；
接下来证明充分性：若，
所以，则，则，
所以，，
故．
因此向量的充要条件是．

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