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江苏宿迁市2025-2026学年第二学期期中质量监测高二数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.若展开式中常数项为90，则常数a的值为( ).
A. 4 B. 2 C. 8 D. 6
3.已知三点，，，满足，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.的展开式中只有第项的二项式系数最大，则( )
A. B. C. D.
5.在三棱锥中，点、分别是棱、的中点，若，则( )
A. B. C. D.
6.战争对百姓伤害极大，现有五个居民区受到战争波及，甲乙丙丁四位医生全部参加救助，每位医生至多负责两个居民区，每个居民区只能有一位医生负责，每个居民区都要有医生负责，则不同的安排方案种数共有( )
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.在正方体中，点为线段的中点点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列正确的是( )
A. B.
C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 由数字，，，能够组成个没有重复数字的三位数
B. 由数字，，，能够组成个没有重复数字的三位偶数
C. 由数字，，，能够组成个三位密码
D. 由数字，，，能够组成个比大的三位数
11.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是( )
A. 在棱上不存在点，使平面
B. 异面直线与所成的角为
C. 二面角的大小为
D. 平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，若，则与的夹角为 ．
13.在展开式中的系数 ．
14.编号为的个小球放入编号为的个盒子，要求每个盒子都要放球同时小球的编号与盒子的编号不相同，则不同的放法共有 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
有辆不同品牌的新能源汽车，其中有辆车合格，辆车不合格，现车辆检测中心每次抽一辆车进行检测，直到辆不合格车全部检测出为止．
求前次检测恰好都是不合格车辆的不同检测情形种数；
求最后辆不合格车正好在第次检测时被发现的不同检测情形种数；
若前次检测都是不合格车辆，求最多有多少种不同的检测情形种数．
16.本小题分
在的展开式中，前项的系数依次成等差数列．
求展开式中的系数；
求展开式中所有的有理项．
17.本小题分
如图，在正四棱锥中，底面正方形的对角线交于点，求：
直线与平面所成角的大小；
点到平面的距离．
18.本小题分
在直三棱柱中，，，，点在线段上，．

若为锐角，求实数的取值范围；
若二面角的余弦值为，求线段的长度．
19.本小题分
已知函数，其中．
若，求的值；
若，求；用表示
若，求实数的值．
参考答案
1.
2.D
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为有辆车不合格，
所以前次检测恰好都是不合格车辆的不同检测情形种数为种；
因为最后辆不合格车正好在第次检测时被发现的，
所以在前次检测中，必须恰有辆不合格的车被检测出，且前次检测中，还包含辆合格的车，
所以有种；
前次检测都是不合格车辆共有种，因为直到辆不合格车全部检测出就停止，
所以由题意在第次测出第辆不合格的车，
即第次，第次，第次，第次和第次各检测出辆合格的车有种

16.解：二项式展开式的通项为．
其中，
前项系数依次为，，．
由前项系数成等差数列，得．
整理得，解得舍去．
令，即，解得．
代入通项得系数：．
有理项要求为整数，即是的倍数．
又，故．
：
：
：
所以所求有理项为

17.解：因为多面体为正四棱锥，所以易得两两垂直．
所以
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系：
则
所以，，．
设平面的法向量．
由法向量与平面内向量垂直，得 即
令，则，．
所以平面的一个法向量
设直线与平面所成角为，则的正弦值等于．
所以，．
所以直线与平面所成角为
由，所以
由可知平面的一个法向量
所以
所以点到平面的距离为

18.解：以 为正交基底建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
设 由
得： ，所以
所以 ，
因为 为锐角，所以 ，即 且 ，所以
因为 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ．
令 得平面 的一个法向量为 ．
平面 的一个法向量为 ，
所以 解之得： ．
所以 即

19.解：因为，
所以，解得；
当时，，
两边求导得：．
令，所以
即；
当时，，
则，
因为，
所以，
，
，
又因为，
所以．

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