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山东济宁市泗水县2025-2026学年第二学期期中质量检测
高一数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则实数
A. B. C. D.
3.在中，内角，，的对边分别为，，若，，，则( )
A. B. C. 或 D. 或
4.正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图如图，则原图形的面积是( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球体积为，则圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，，，则的最小值( )
A. B. C. D.
8.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，根等长的正四棱柱体分成组，经榫卯起来．若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为 容器壁的厚度忽略不计，结果保留
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 非零向量和满足，则与的夹角为
B. 向量不能作为平面内所有向量的一组基底
C. 若，则在方向上的投影向量的模为
D. 若，与共线的单位向量坐标为
10.已知，下列说法中正确的有( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则或 D. 若，则
11.在中，内角，，的对边分别为，，，且，则下列选项正确的是( )
A.
B.
C. 若，则的最大值为
D. 若，则面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，的夹角为，，，则 ．
13.我国许多地方都有风格迥异的古塔现在在某塔底共线三点处分别测得塔顶点的仰角为，，，且，设该塔高为，示意图如图，则该塔高 ．
14.已知点在以为圆心，为半径的圆上，且，则的取值范围 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，且，为实数．
求实数的值；
若为纯虚数，复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知分别为三个内角的对边，且．
求角；
若为锐角，边上的中线，求的面积最大值．
17.本小题分
如图，圆锥的底面直径是，其侧面展开图是一个顶角为的扇形．
一只蚂蚁从点出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点，求爬行的最短路程；
过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱如图所示，求剩下几何体的表面积和体积．
18.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求的值．
设的外接圆半径为，内切圆半径为．
若，，求的周长；
求的最大值．
19.本小题分
如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且．
记向量，若，则称与为正交向量．若对任意不同的，都有与为正交向量，则称为正交数表．
直接判断，是否为正交数表不需要说明理由；
当时，设，且与为正交向量，与为正交向量，求证：与不是正交向量；
求证：对任意，当时，不是正交数表．
参考答案
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15.【详解】，

为纯虚数，
，且
，
又
因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，则
解得因此，实数的取值范围是．

16.解：根据正弦定理，
因为中，，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以或；
因为为锐角，所以，
因为为的中点，所以，所以，
所以，即，
根据重要不等式知：，所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
因此，的面积最大值为．
17.解：设圆锥的母线长为，
根据题意可得，，
根据余弦定理可得最短路程．
由易得圆锥的高为，
设圆柱的底面半径为，
由三角形中位线定理可得，，圆柱的母线长为，
又圆锥的母线长为，
所以圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积为圆锥的表面积加上圆柱的侧面积，
则；
圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积等于圆锥的体积减去圆柱的体积，


18.解：，
故，
从而，
即，
因此或者或者，
即或舍或舍，
故C
依题意，由，
又，从而，
又，
即，
故，故，
故的周长为
由可知：，则，
则，
因此
，
又，所以，
所以，
因此，
即的最大值为．
19.解：对于，，是正交数表；
对于，，不是正交数表．
设，，
由与为正交向量，与为正交向量，得
且其中，．
故不妨设，，
则，
即，所以与不是正交向量．
因为，所以的最小值为因此我们可以从数表中选出三个不同的行向量，不妨设为．
若为正交数表，则有．
且若为正交数表，可得如下变换成立，
变换：交换正交数表的任意两行，所得的新数表仍是正交数表；
变换：交换正交数表的任意两列，所得的新数表仍是正交数表；
变换：将正交数表的任意一列实数都变成其相反数，所得的新数表仍是正交数表．
因此我们将第一行的所有元素都变成，即假设，
由得，在中，和的数量相等，即有个和；
同样地，中也有有个和现在考虑．
我们将乘积值的情况分成四类：
，设数量为
，设数量为
，设数量为
，设数量为．
且．
根据中有个和，，同样根据中有个和，．
所以得，从而有．
故有，所以，即正交数表的行列数必须是的倍数．
所以时必不成立命题得证．

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