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山东济宁市泗水县2025-2026学年第二学期期中质量检测
高二数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.小红从条不同的裙子，双不同的皮鞋中选择一条裙子和一双皮鞋搭配，则不同的搭配方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.若，且，则( )
A. B. C. D.
3.函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是( )
A. B.
C. D.
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.为了落实五育并举，全面发展学生素质，学校准备组建书法、音乐、美术、体育社团，现将名同学分配到这个社团进行培训，每名同学只分配到个社团，每个社团至少分配名同学，则不同的分配方案的种数为( )
A. B. C. D.
6.随机变量的分布列如下，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，对，当时，恒有，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数，则( )
A. B. 在上单调递增
C. 没有零点 D. 最大值为
10.先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为，，设事件“”，“为偶数”，“为奇数”，则
A. B.
C. 事件与事件相互独立 D.
11.在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角如图，小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将的展开式按的升幂排列，将各项系数列表如下如图：
上表图中第行的第个数用表示，即展开式中的系数为，则( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若随机变量，则 ．
13.已知，，，则 ．
14.一质点在平面内每次只能向左或向右跳动个单位，且第次向左跳动．若前一次向左跳动，则后一次向左跳动的概率为；若前一次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为记第次向左跳动的概率为，则 ；
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在的展开式中，第项的二项式系数是第项的二项式系数的倍．
求的值；
求的展开式中的常数项；
求展开式中系数绝对值最大的项．
16.本小题分
从甲、乙、丙等人中选出人排成一排．以下问题均用数字作答
甲、乙、丙三人恰有两人在内，有多少种排法？
甲、乙、丙三人全在内，且甲在乙、丙之间可以不相邻有多少种排法？
甲、乙、丙都在内，且甲、乙必须相邻，甲、丙不相邻，有多少种排法？
17.本小题分
已知函数，．
讨论的单调性；
若函数有两个极值点，求的取值范围．
18.本小题分
强基计划于年在有关高校开始实施，主要选拔有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动．
若数学组的名学员中恰有人来自中学，从这名学员中随机选取人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望；
在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值．
19.本小题分
若函数与在区间上满足：存在实数，使得对任意，都有则称为和在上的同步斜率．已知，，．
验证是否为和在上的同步斜率；
若是和在区间上的同步斜率，求实数的取值范围；
证明：当且时，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：依题意，第项的二项式系数是第项的二项式系数的倍，
即，即，因为，解得；
二项式展开式的通项公式为，
令，解得，故常数项为；
设第项的系数的绝对值最大，
则，即，解得且，则，
所以系数的绝对值最大值的项为．

16.解：由于甲、乙、丙三人中恰有两人在内，所以可以分步完成：
第步，从人中选中人，有种选法．
第步，从其余人中选出人，有种选法．
第步，将选出的个人全排列，有种排法．
根据分步乘法计数原理，不同的排法有
；
由于三人全在内，且甲在乙、丙之间，所以可以分步完成：
第步，从其余人中选出人，有种选法．
第步，将人安排到个位置，有种方法．
第步，剩余个位置排甲、乙、丙三人，有种方法
根据分步乘法计数原理，不同排法有
；
由于甲、乙必须相邻，甲、丙不相邻，所以分步完成：
第步：从其余人中选出人，有种选法．
第步：将甲、乙捆绑与选出的人排列，有种方法．
第步：将丙插空有种方法．
根据分步乘法计数原理，共有
．
17.解：因为，所以，
当时，，函数在上是增函数，
当时，令，得，即，
当，，函数的减区间为，
当，，函数的增区间，
故当时，函数在上是增函数，
当时，函数的减区间为，函数的增区间；
由得，
所以．
令，得．
设，；则，
令，即，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增；在上单调递减．
分别作出函数与的图象，如图所示，
由图象可知，时，解得，函数有两个极值点，
所以当时，函数两个极值点．
18.解：由题意知，的可能取值有，
，，
，，
所以的分布列为
．
设甲、乙两位同学在每轮答题中取胜为事件，
则
，
由，得
令，因为，，所以，
所以，设，则，
因为，当时，取得最大值．
所以，当时，甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率取得最大值．

19.解：是和在上的同步斜率，
证明如下：由题意知，只需证时，，
令，则，所以时，，在上单调递增，
又因为，所以时，，即在上恒成立．
令，则恒成立，
所以在上单调递减，
又因为，所以，即，所以时，，即是和在上的同步斜率；
解：由题意知恒成立，
令，则在区间上恒成立，
，
当即时，在区间上恒成立，所以在区间上单调递增，，符合条件
当，即时，时，，在区间上单调递减，
所以存在，使，不符合条件．
综上，的取值范围为；
证明：令，由知在区间上恒成立，
当且时，，令，得，
所以
．
即当且时，．
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