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北京市第一六一中学2025-2026学年第二学期期中阶段练习高二数学
一、选择题：本大题共12小题，共60分。
1.函数在处的瞬时变化率( )
A. B. C. D.
2.函数的极值点是( )
A. B. C. D.
3.如果，，，，成等比数列，那么( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
6.设是公差为的等差数列，其前项和为，则“”是“，”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 有最大值也有最小值 B. 有最大值无最小值
C. 无最大值有最小值 D. 无最大值也无最小值
8.某企业今年年初有资金万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到，每年年底需要扣除下一年的消费基金万元，剩余资金投入再生产，设该企业从今年起每年年初拥有的资金数依次为，则表示与之间关系的递推公式为( )
A. B.
C. D.
9.关于函数，有以下四个结论：
为奇函数；
是的一个极值点；
在上有且仅有一个零点；
的值域是
其中正确的个数为( )
A. B. C. D.
10.若则( )
A. B.
C. D.
11.拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为( )
A. B. C. D.
12.已知集合设集合满足，且对任意的，存在，使得，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
13.曲线在点处的切线方程为，则 ．
14.函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
15.已知数列的前项和公式为，则数列的通项公式 ；当 时，取得最小值．
16.已知函数，当时，有极小值．写出符合上述要求的一组，的值为 ， ．
17.设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则 ．
18.已知函数存在两个极值点，，给出下列四个结论：
函数有零点；
的取值范围是；
；
．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共5小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.已知是等比数列，．
求的通项公式；
若等差数列满足，，求的前项和．
20.已知函数在处取得极值．
求曲线在处的切线方程；
求在区间上的最小值和最大值；
写出不等式的解集无需说明理由．
21.函数，其中．
讨论函数的单调区间；
若函数在区间上有两个零点，求的取值范围．
22.已知函数
当时，若函数在点处的切线平行于，求点坐标及此时的切线方程；
若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．
23.已知数列：，，，的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为．
Ⅰ若数列：，，，，求集合，并写出的值；
Ⅱ若是递增数列，求证：“”的充要条件是“为等差数列”；
Ⅲ若，数列由，，，，，这个数组成，且这个数在数列中每个至少出现一次，求的取值个数．
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.
14. 和
15.
16.不唯一
不唯一

17.
18.
19.解：设公比为，因为，所以
设公差为，因为，所以，解得
故

20.解：由函数在处取得极值，求导得，
由极值点处导数为得，解得，
因此，，
当，，当，符合是函数的极值点，故，
，切线斜率，由点斜式得切线方程，即．
由可知，得，
所以在上单调递减，在单调递增；
则，，，
比较可得：最小值为，最大值为．
不等式等价于或，
因式分解得或，解得．

21.解：由题可知的定义域为，．
当时，恒成立，因此在上单调递增，无递减区间；
当时，令，解得．
时，，单调递增；
时，，单调递减．
综上，时，的单调递增区间为，无递减区间；
时，递增区间为，递减区间为．
在上有两个零点，即方程在上有两个不同实根，
变形得令，求导得．
当时，，单调递减；时，，单调递增．
则，，，且．
即与在有两个交点，需满足，
综上，．

22.解：设点，当时，，
又因为切线平行于，
所以切线斜率，
所以或，
即或，
在直线上舍去，
所以，此时切线方程为；
因为不等式恒成立，
所以，，
当时，，即得，
设，
因为为整数且，当时，
则，
当，；，，
在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为，则恒成立，
所以整数的最小值符合题意．

23.Ⅰ解：因为，，，，
所以，；
Ⅱ证明：充分性：若是等差数列，设公差为．
因为数列是递增数列，所以．
则当时，．
所以，，
必要性：若．
因为是递增数列，所以，
所以，，，，且互不相等．
所以
又，
所以，，，，，且互不相等．
所以，，，．
所以，
所以为等差数列；
Ⅲ解：因为数列由，，，，，这个数组成，任意两个不同的数作差，
差值只可能为，，，，和，，，．
共个不同的值；
且对任意的，，，，，，，，和这两个数中至少有一个在集合中，
又因为，，，，，这个数在数列中共出现次，所以数列中存在，所以．
综上，，且．
设数列：，，，，，，，，，，，，此时，．
现对数列分别作如下变换：
把一个移动到，之间，得到数列：，，，，，，，，，，，，
此时，．
把一个移动到，之间，得到数列：，，，，，，，，，，，，
此时，．
把一个移动到，之间，得到数列：，，，，，，，，，，，，，，
此时，．
把一个移动到，之间，得到数列：，，，，，，，，，，，，
此时，．
再对数列依次作如下变换：
把一个移为的后一项，得到数列：，，，，，，，，，，，，
此时，；
再把一个移为的后一项：得到数列：，，，，，，，，，，，，
此时，；
依此类推
最后把一个移为的后一项：得到数列：，，，，，，，，，，，，
此时，．
综上所述，可以取到从到的所有个整数值，所以的取值个数为．
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