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北京汇文中学教育集团2025-2026学年第二学期期中考试
高二数学
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.若全集，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数则的值为( )
A. B. C. D.
3.将分别写有，，，的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数首位不为，则组成的不同四位数的个数为( )
A. B. C. D.
4.在的展开式中，常数项是( )
A. B. C. D.
5.两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则( )
A. B. C. D.
6.小明投篮次，每次投中的概率为，且每次投篮互不影响，若投中一次得分，没投中得分，总得分为，则( )
A. B. C. D.
7.一次演出，原计划要排个节目，因临时有变化，拟再添加个小品节目，若保持原有个节目的相对顺序不变，则这个节目不同的排列方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.已知，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.孙子算经是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究现给出一个同余问题：如果和被除得的余数相同，那么称和对模同余，记为若，则的值可以是( )
A. B. C. D.
10.已知集合，集合，，满足
每个集合都恰有个元素；
．
集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的值不可能为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.已知，那么 ．
12.已知二项式的所有项的系数和为，则 ； ．
13.甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为，且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为 若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为；若恰好被两人击中，则被击落的概率为，那么无人机被击落的概率为
14.若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是 ．
15.已知有限集如果中的元素满足，就称为“复活集”，给出下列结论：
集合是“复活集”；若，且是“复活集”，则；
若，则不可能是“复活集”；若，则“复活集”有且只有一个，且．
其中正确的结论是 填上你认为所有正确的结论序号
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.设函数，其中曲线在点处的切线方程为．
求，的值；
求的单调区间．
17.在中，．
求的大小；
在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，并求出边上的高线的长度．
条件：；
条件：；
条件：
18.如图，在三棱柱中，平面，为的中点．
求证：平面；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
19.为了解不同人群夏天户外运动的情况，分别从甲、乙两个单位随机选出几名职工，统计了他们的夏天户外运动时长，得到以下数据单位：小时：
甲单位：，，，，，，，，，；
乙单位：，，，，，，，，．
假设用频率估计概率，用样本估计总体，且每名职工的户外运动情况相互独立．
现要对乙单位中夏天户外运动时长不足小时的职工进行体检，已知乙单位共有名职工，试估计乙单位此次参加体检的职工人数．
从甲单位职工中随机抽取人、乙单位职工中随机抽取人，记为这人中夏天户外运动时长不少于小时的人数，求的分布列和数学期望；
设样本中甲单位职工户外运动时长的方差为、乙单位职工户外运动时长的方差为，写出与的大小关系．结论不要求证明
20.已知．
当，时，求曲线在点处的切线方程；
已知有两个极值点，，且满足，求的值；
在的条件下，若在上恒成立，求的取值范围．
21.对任意的非空数集，定义：，其中表示非空数集中所有元素的乘积，特别地，如果，规定．
若，，请直接写出集合和；
若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由；
若，其中是正实数，求集合中元素个数的最小值，并说明理由．
参考答案
1.
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14.
15.
16.解：依题意，，又，则，解得，
所以．
由知，的定义域为，，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以函数的递增区间为，递减区间为．

17.解：在中，，由正弦定理可得．
因为，所以．
故，
所以．
因为，，所以，
因为，所以；
条件：，
又，故，且为锐角，
因为，故，
此时，不合题意，此时不存在；故不能选；
选条件：，
由余弦定理，得，
即，解得：，负值舍去，
则边上的高线．
选择：，
因为，且为锐角，则，
，
则边上的高线．

18.【详解】连接，设与相交于点，连接，
四边形是平行四边形，点为的中点．
为的中点，为的中位线，
，
平面，平面，
平面；
依题意知，，所以，
因为平面，平面，
所以，又，平面，
所以平面，设的中点为，连接，则，
因为平面，所以平面，
以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴和轴，
建立空间直角坐标系．
在，所以，
则，，，．
，．
设平面的法向量为，
由及，得
令，得，故平面的一个法向量为，
又，
设直线与平面所成角为，
则．
直线与平面所成角的正弦值为．

19.解：乙单位样本中夏天户外运动时长不足小时的职工有人，
所以运动时长不足小时的频率为，
所以乙单位名职工，估计参加体检的职工数为人；
甲单位职工户外运动时长不少于小时概率为，乙单位职工户外运动时长不少于小时的概率为，
由题意可知，，
，，
，，
分布列如下：
；
．

20.解：当，时，，
将代入可得：，
对求导：，
将代入可得：，
所以切线方程点斜式为：，即，
因此，曲线在点处的切线方程为．
因为，定义域为，
则，
因为有两个极值点，，所以，是方程的两个不等正根，
根据二次方程根的分布，则需同时满足：两根不等，
两根之和，即，两根之积，即，
根据韦达定理可得：，，
所以
，
将，代入上式，
，
而故，因此：，即，解得，
此时，满足两根为正的条件，且，
所以的值为．
由知，则，在上恒成立，
即在上恒成立，
移项可得在上恒成立，
令 ，，则，
则，
令，因为 时，故 的符号由 决定，
若，即，解得，
此时 开口向上，对称轴，故存在 使得，
当 时，，则，在 上单调递减，
因此，与 恒成立矛盾，故 不满足条件，
若，即，解得，
此时 的对称轴，因此 在 上单调递增，
故，即 在 上恒成立，
因此 在 上单调递增，故，满足条件，
由中 有两个极值点，方程 有两个不等正根，
则 ，解得，故 需满足，
综上，的取值范围为：．

21.，．
最大值即：集合的非空子集为个，所以最多有个元素，
可能构造如下：，
则集合中任意两个非空子集中得元素乘积不同，从而集合中的数字由大于的因子组成；
最小值：不妨设，显然有，
则，
则至少有个元素，
可能的构造如下：，集合中的元素成等比数列即可．
中至少有个元素，可能得构造如下：，
所以，
证明如下：
考虑对集合进行分类：，，，
设，，，表示集合中元素的个数，
则，，
设，在对集合进行分类：
，，，
设，，，分析与的关系：
对集合中的元素：，则，
则；
对集合中的元素：；
对集合中的元素：，
则，
则；
得到
，
因为，则当时，，当或时等号成立；
当时，，当且仅当时等号成立，
从而元素个数至少为．

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