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(共42张PPT)
2026年湖南省中考数学 复习提升
- 第二章 图形与几何
2.2 图形的变化
2.2.1 图形的对称、平移与旋转
达标训练
基础检测
典例精讲
1.(2025 辽宁)数学中有许多优美的曲线.下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
A.　　 B.
C.　 D.
B
2.(2025 吉林)如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能.图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为(　　)
A.90°　　
B.120°　　
C.150°　　
D.180°
B
3.某几何体的展开图如图所示，该几何体是(　　)
A.长方体
B.正方体
C.圆锥
D.圆柱
C
4.(2025 陕西)上马石是古人上下马的工具，形状如图①.它可以看作图②所示的几何体，该几何体的俯视图为(　　)
A.　　
B.
C.　　
D.
图①
图②
D
5.(2023 郴州)下列图形中，能由图形a通过平移得到的是(　　)
A　 B　 C　 D
B
6.如图，矩形ABCD中，AB＞AD.把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.
(1)求证：△ADE≌△CED.
(2)求证：△DEF是等腰三角形.
略
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第二章 图形与几何
2.2 图形的变化
2.2.1 图形的对称、平移与旋转
【例1】 (1)以下图形中，不是中心对称图形的是(　　)
　　A　　 B C　　 D
A
(2)如图，在 ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线翻折得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D.若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC＝，则B′D的长是(　　)
A.1　　
B.
C.　　
D.
第(2)题图　
B
(3)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1 cm.将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，使点C′落在AB边上.连接BB′，则BB′的长度为(　　)
A.1 cm　　
B.2 cm
C. cm　　
D.2 cm
第(3)题图
B
(4)(2024 连云港)如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是80 cm，则图中阴影图形的周长是(　　)
A.440 cm　　
B.320 cm
C.280 cm　　
D.160 cm
A
【例2】 (1)(2025 广东)如图是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是(　　)
　 A　 B　 C　 D
C
(2)已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为　　　 cm2.
3
【例3】 图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.A，B，C均为格点.在给定的网格中，按下列要求画图：
(1)在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点.
如图①，MN即为所求(答案不唯一).
(2)在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点.
如图②，PQ即为所求(答案不唯一).
(3)在图③中，画△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点.
如图③，△DEF即为所求(答案不唯一).
【例4】 如图①，在△ABC中，AB＝AC，点M，N分别为边AB，BC的中点，连接MN.
(1)MN与AC的数量关系是　 　　　，MN与AC的位置关系是　　 　　.
MN＝AC
MN∥AC
(2)如图②，若∠BAC＝90°，BC＝4，先将△BMN绕点B顺时针旋转α(α为锐角)，得到△BEF，当点A，E，F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF.
①求∠BCF的度数.
如图所示，连接EM，MN，NF.
∵MN是△BAC的中位线，∴MN∥AC，
∴∠BMN＝∠BAC＝90°.
∵将△BMN绕点B顺时针旋转α(α为锐角)，得到△BEF，
∴BE＝BM，BF＝BN，∠BEF＝∠BMN＝90°.
∵点A，E，F在同一直线上，∴∠AEB＝∠BEF＝90°.
在Rt△ABE中，M是斜边AB的中点，
∴ME＝AB＝MB，∴BM＝ME＝BE，∴△BME是等边三角形，
∴∠ABE＝60°，即旋转角α＝60°，∴∠NBF＝60°，BN＝BF，
∴△BNF是等边三角形.又∵BN＝NC，BN＝NF，∴NF＝NC，
∴∠NCF＝∠NFC，∴∠BNF＝∠NCF＋∠NFC＝2∠NCF＝60°，
∴∠FCB＝30°.
②求CD的长.
如图所示，连接AN.
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝4，
∴AB＝BC＝4，∠ACB＝∠ABC＝45°.
∵∠ADN＝∠BDE，∠ANB＝∠BED＝90°，
∴△ADN∽△BDE，∴＝＝＝.
设DE＝x，则DN＝x.
在Rt△ABE中，BE＝2，AE＝2，则AD＝2－x.
在Rt△ADN中，AD2＝DN2＋AN2，
∴(2－x)2＝(x)2＋(2)2，
解得x＝4－2或x＝－2－4(舍去)，
∴CD＝DN＋CN＝x＋2＝6－2.
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第二章 图形与几何
2.2 图形的变化
2.2.1 图形的对称、平移与旋转
一、选择题
1.(2025 福建)中国古算诗词歌赋较多.古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式.下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆凿”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是(　　)
A　　 B C　　 D
D
2.如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是(　　)
A　　 B C　　 D
C
3.(2025 广西)如图是一个正三棱柱，则它的俯视图是(　　)
A　 B　 C　 D
D
4.如图，△DEF是由△ABC经过平移得到的图形，点A的对应点是点D，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F.下列说法不正确的是(　　)
A.AB＝DE　　
B.AD∥CF
C.△ABC≌△DEF　　
D.BC＝DF
D
5.(2025 长沙)如图，将△ABC沿折痕AD折叠，使点B落在AC边上的点E处.若AB＝4，BC＝5，AC＝6，则△CDE的周长为(　　)
A.5　　
B.6　　
C.6.5　　
D.7
D
6.(2025 长春)将直角三角形纸片ABC(∠C＝90°)按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是(　　)
A.MN∥DE∥PQ
B.BC＝2DE＝4MN
C.AN＝BQ＝NQ
D.＝＝
D
二、填空题
7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是　 cm2.
(结果保留π)
24π
8.(2025 凉山)如图，将周长为20的△ABC沿BC方向平移2个单位长度得到△DEF，连接AD，则四边形ABFD的周长为　　　.　
24
9.(2025 山西)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将线段OA绕点O逆时针旋转45°，则点A对应点的坐标为　　 　　.
(3，3)
10.(2025 扬州)如图①，棱长为9 cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM＝7 cm.将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图如图②所示，则tan α＝　　.
三、解答题
11.如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上.
(1)在图①中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形.
(2)在图②中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形.
(3)在图③中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的格点三
角形.
略
12.综合与实践：
主题：制作无盖正方体纸盒.
素材：一张正方形纸板.
步骤1：如图①，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形.
步骤2：如图②，把剪好的纸板折成无盖正方体纸盒.
猜想与证明：
(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系.
解：∠ABC＝∠A1B1C1.
(2)证明(1)中你发现的结论.
解：证明：∵A1B1为小正方形对角线，∴∠A1B1C1＝45°.
设每个小正方形的边长为1，
则AB＝＝，AC＝BC＝＝，
得AC2＋BC2＝AB2，
由勾股定理的逆定理得△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠A1B1C1.
13.(2025 烟台)如图，BD是矩形ABCD的对角线，请按以下要求解决
问题：
(1)利用尺规作△BED，使△BED与△BCD关于直线BD成轴对称(不写作法，保留作图痕迹).
略
(2)在(1)的条件下，若BE交AD于点F，AB＝1，BC＝2，求AF的长.
14.(2024 河南)如图，矩形ABCD的四个顶点都在格点(网格线的交点)
上，对角线AC，BD相交于点E，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点A.
(1)求这个反比例函数的表达式.
y＝　
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象.
略
(3)将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离.
15.(2025 北京)在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，点D在射线BC上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转180°－2α得到线段AE(点E不在直线AB上)，过点E作EF∥AB，交直线BC于点F.
(1)如图①，α＝45°，点D与点C重合，求证：BF＝AC.
图①
略
图②
图②
(2)如图②，点D，F都在BC的延长线上，用等式表示DF与BC的数量关系，并证明.
DF＝2BC.证明略(共27张PPT)
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2026年湖南省中考数学 复习提升
- 第二章 图形与几何
2.2 图形的变化
2.2.2 图形的相似
第1课时 线段的比、比例线段与位似
1.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截.AB＝5，BC＝6，EF＝4.则DE的长为(　　)
A.2　　
B.3　　
C.4　　
D.
D
2.(2025 河北)“这么近，那么美，周末到河北”.嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片.回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7 cm和4 cm，笔的实际长度为14 cm，则该化石的实际长度为(　　)
A.2 cm　　 B.6 cm　　
C.8 cm　　 D.10 cm
C
3.(2025 广东)如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是　　 .
　
4.如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点.连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点.已知FG＝2，求线段AE的长度.
12
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第二章 图形与几何
2.2 图形的变化
2.2.2 图形的相似
第1课时 线段的比、比例线段与位似
【例1】 (1)(2024 连云港)下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为(　　)
A.甲和乙　　 B.乙和丁
C.甲和丙　　 D.甲和丁
甲 乙 丙 丁
D
(2)如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF.若AD＝OA，则△ABC与△DEF的面积之比为(　　)
A.1∶2　　
B.1∶4
C.1∶5　　
D.1∶6
第(2)题图
B
(3)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan∠ABC＝，将△ABC绕A点
顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)得到△AB′C′，连接BB′，CC′，则△CAC′与△BAB′的面积之比等于　　.
第(3)题图
【例2】 (2025 安徽)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点(网格线的交点).已知点A和A1的坐标分别为和.
(1)在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标.
解：点D位置如图所示，坐标为.
(2)以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点A的对应点为A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1.
解：如图所示，△A1B1C1即为所求作的三角形.
【例3】 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE.过点A作AF⊥DE，垂足为F.⊙O经过点C，D，F，与AD相交于点G.
(1)求证：△AFG∽△DFC.
证明：在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，
∴∠CDF＋∠ADF＝90°.∵AF⊥DE，∴∠AFD＝90°，
∴∠DAF＋∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠CDF.
∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，∴∠FCD＋∠DGF＝180°.
∵∠FGA＋∠DGF＝180°，∴∠FGA＝∠FCD，∴△AFG∽△DFC.
(2)若正方形ABCD的边长为4，AE＝1，求⊙O的半径.
解：如图，连接CG.
∵∠EAD＝∠AFD＝90°，∠EDA＝∠ADF，
∴△EDA∽△ADF，∴＝，即＝.
∵△AFG∽△DFC，∴＝，∴＝.
在正方形ABCD中，DA＝DC，
∴AG＝EA＝1，DG＝DA－AG＝4－1＝3，∴CG＝＝5.
∵∠CDG＝90°，∴CG是⊙O的直径，∴⊙O的半径为.
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第二章 图形与几何
2.2 图形的变化
2.2.2 图形的相似
第1课时 线段的比、比例线段与位似
一、选择题
1.(2024 绥化)如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，
B(3，2)，C(0，2)，以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，
则顶点B在第一象限对应点的坐标是(　　)
A.(9，4)　　
B.(4，9)
C.(1，)　　
D.(1，)
第1题图
D
2.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C.直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F.AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，
BC＝5.则的值为(　　)
A.　　
B.2
C.　　
D.
第2题图
D
3.(2025 河南)如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为(　　)
A.　　
B.1　　
C.　　
D.
B
4.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G.若AF＝2，FB＝1，则MG的长为(　　)
A.2　　
B.　　
C.＋1　　
D.
第4题图
B
5.将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似)，剩下的四边形纸片ABCD如图所示，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是
(　　)
A.　　
B.　　
C.10　　
D.
第5题图
A
6.如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE，AE分别交于点P，M.下列结论中正确的是(　　)
①△BAE∽△CAD；②MP MD＝MA ME；③2CB2＝CP CM.
A.①②③　　 B.①　　
C.①②　　 D.②③
A
二、填空题
7.(2025 成都)若＝3，则的值为　 　.
8.(2024 扬州)物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法.如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A′B′.设AB＝36 cm，A′B′＝24 cm.小孔O到AB的距离为
30 cm，则小孔O到A′B′的距离为　　　cm.
第8题图
4
20
9.(2025 甘肃)“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”.风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录.为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD.已知大、小风筝的对应边之比为3∶1，如果小风筝两条对角线的长分别为30 cm和35 cm，那么大风筝两条对角线长的和为　　　cm.
第9题图
195
10.如图，点A为反比例函数y＝－(x＜0)图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点B，则的值为　 　.
三、解答题
11.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD.
(1)求证：DE＝AF.
(2)若∠ABC＝∠CDE.求证：AF2＝BF CE.
略
12.(2024 临夏)如图①，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重合的一动点，点F是对角线BD上一点，连接BE，AF交于点O，且∠ABE＝∠DAF.
【模型建立】
(1)求证：AF⊥BE.
图①
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，
∴∠ABE＋∠AEB＝90°.
∵∠ABE＝∠DAF，∴∠DAF＋∠AEB＝90°，
∴∠AOE＝90°，∴AF⊥BE.
【模型应用】
(2)若AB＝2，AD＝3，DF＝BF，求DE的长.
图①
解：如图，延长AF交CD于点G.
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，
∴△AFB∽△GFD，∴＝＝，
∴DG＝AB＝1.
∵∠BAD＝∠ADG＝90°，∠ABE＝∠DAF，
∴△ABE∽△DAG，
∴＝＝，∴AE＝DG＝，
∴DE＝AD－AE＝3－＝.
【模型迁移】
(3)如图②，若矩形ABCD是正方形，DF＝BF，求的值.
解：设正方形ABCD的边长为a，则AB＝AD＝a，延长AF交CD于点G，如图所示.
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ADG＝90°，AB∥CD，∴△AFB∽△GFD，
∴＝＝＝，∴DG＝AB＝a，FG＝AF，
∴AG＝＝a.
∵FG＝AF，∴AF＝AG＝a，∴＝＝.
图②(共24张PPT)
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- 第二章 图形与几何
2.3 图形与坐标
1.(2024 广西)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为(2，1)，则点Q的坐标为(　　)
A.(3，0)　　
B.(0，2)　　
C.(3，2)　　
D.(1，2)
C
2.(2024 临夏)如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为(3，4)，则顶点A的坐标为(　　)
A.(－4，2)　　
B.(－，4)
C.(－2，4)　　
D.(－4，)
C
3.(2024 甘孜)如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现.按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为，，则点C的位置可以表示为　　 　　.
(3，30°)
4.如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2，3)，求点F的坐标.
F(－1，5)
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第二章 图形与几何
2.3 图形与坐标
【例1】 (1)在平面直角坐标系中，将点A向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点B′的坐标为(　　)
A.　　 B.
C.　　 D.
B
(2)如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2.将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是(　　)
A.(－，3)　　
B.(－3，)
C.(－，2＋)　　
D.(－1，2＋)
A
【例2】 如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为(－4，5)，D是OB的中点，E是OC上的一点.当△ADE的周长最小时，求点E的坐标.
(0，)
【例3】 某实验中学为培养学生对数学的兴趣，举办主题为“数学素养”的探究活动，在这次探究活动中，同学们探讨了下面的问题：
【材料阅读】
如右图所示，在平面直角坐标系xOy中，对于点R，如果点T满足条件：以线段RT为对角线的四边形是正方形，且正方形的边分别与x轴，y轴平行，那么称点T为点R的“和谐点”.
【问题探究】
已知点A(－2，1)，D(1，2)，E(－1，2)，F(1，－2).
(1)在点D，E，F中，是点A的“和谐点”的是　　　　.
E，F
(2)已知点B的坐标为(0，b)，如果点B为点A的“和谐点”，求b的值.
3或－1
(3)已知点C(m，0)，如果线段DE上存在一个点M，使得点M是点C的“和谐点”，直接写出m的取值范围.
－3≤m≤－1或1≤m≤3
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第二章 图形与几何
2.3 图形与坐标
一、选择题
1.在平面直角坐标系中，点A(3，2)关于原点对称的点的坐标是(　　)
A.(－3，2)　　 B.(3，－2)
C.(－2，－3)　　 D.(－3，－2)
D
2.(2025 湖南)在平面直角坐标系中，将点P向右平移3个单位长度到P1处，则点P1的坐标为(　　)
A.　　 B.
C.　　 D.
3.(2025 辽宁)在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段AB平移得到线段CD，点A的对应点C的坐标为，则点B的对应点D的坐标为(　　)
A.　　 B.
C.　　 D.
B
B
4.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点A，C分别在y轴，x轴上，以AB为弦的⊙M与x轴相切.若点A的坐标为(0，8)，则圆心M的坐标为(　　)
A.(－4，5)　　
B.(－5，4)
C.(5，－4)　　
D.(4，－5)
第4题图
A
5.在方格图中，以格点为顶点的三角形叫作格点三角形.在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC与△DEF成位似关系，则位似中心的坐标为(　　)
A.(－1，0)　　
B.(0，0)
C.(0，1)　　
D.(1，0)
第5题图
A
6.(2024 包头)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O(0，0)，A(1，2)，B(3，3)，C(5，0)，则四边形OABC的面积为
(　　)
A.14　　
B.11　　
C.10　　
D.9
第6题图
D
7.(2024 河北)在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是(　　)
A.点A　　
B.点B　　
C.点C　　
D.点D
第7题图
B
二、填空题
8.(2025 深圳)如图，将无人机沿着x轴向右平移3个单位长度，若无人机上一点P的坐标为，则平移后点P的坐标为　　　　.　
(4，2)
9.(2024 齐齐哈尔)如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，
N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线
OH.若H的坐标为(2a－1，a＋1)，则a的值为　　.
第9题图
2
10.(2024 河南)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(－2，0)，点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为(0，6)，则点E的坐标为　　　　.　
第10题图
(3，10)
三、解答题
11.(2024 安徽)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点(网格线的交点)A，B，C，D的坐标分别为(7，8)，(2，8)，(10，4)，(5，4).
(1)以点D为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1.
略
(2)直接写出以B，C1，B1，C为顶点的四边形的面积.
40
(3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线AE平分∠BAC，写出点E的坐标.
(3，0)或(4，2)或(5，4)或(6，6)(写出一个即可)(共31张PPT)
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- 第二章 图形与几何
2.2 图形的变化
2.2.2 图形的相似
第3课时 锐角三角函数
1.(2024 天津)cos 45°－1的值等于(　　)
A.0　　 B.1
C.－1　　 D.－1
A
2.(2024 临夏)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin B＝，则BC的长是
(　　)
A.3　　
B.6
C.8　　
D.9
第2题图
B
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos B＝　　　.
4.(2025 眉山)人字梯为现代家庭常用的工具.如图，若AB，AC的长都为2 m，当α＝65°时，人字梯顶端离地面的高度是　　　m.(结果精确到0.1 m，参考依据：sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14)
第4题图
　
1.8
5.(2024 甘孜)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37°方向，距离灯塔100 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处.这时，B处距离A处有多远？(参考数据：sin 37°
≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)　
140 n mile
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第二章 图形与几何
2.2 图形的变化
2.2.2 图形的相似
第3课时 锐角三角函数
【例1】 (1)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度.如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等.小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1 m.则旗杆PA的高度为(　　)
A. m　　
B. m
C. m　
D. m
A
(2)如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是(3，m)，且
OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是.则sin α的值是(　　)
A.　　
B.　　
C.　
D.
A
【例2】 (2024 湖南)某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动.
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如图所示.

活动过程 测绘过程与 数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上；
②过点E作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4 m；
③在点F处用测角仪测得∠CFG＝60.3°，∠BFG＝45°，∠AFG＝21.8°；
④用计算器计算得sin 60.3°≈0.87，cos 60.3°≈0.50，tan 60.3°≈1.75.sin 21.8°≈0.37，cos 21.8°≈0.93，
tan 21.8°≈0.40.
(1)求线段CE和BC的长度.
解：∵GH⊥CE，EF＝4 m，∠CFG＝60.3°，
∴tan∠CFE＝tan 60.3°＝≈1.75，∴CE＝7 m.
∵∠BFG＝45°，∴BE＝EF＝4 m，∴CB＝CE－BE＝3 m.
请根据表格中提供的信息，解决下列问题(结果保留整数)：
(2)求底座的底面ABCD的面积.
解：过点A作AM⊥GH于点M，如图所示.
∵∠AFG＝21.8°，
∴tan∠AFG＝tan 21.8°＝≈0.4.
∵AM＝BE＝4 m，∴MF＝10 m，
∴AB＝ME＝10－4＝6(m)，
∴底座的底面ABCD的面积为3×6＝18(m2).
【例3】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3.点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E.连接CE，求：
(1)线段BE的长.
解：∵AD＝2CD，AC＝3，∴AD＝2.
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，
∴∠A＝∠B＝45°，AB＝＝＝3.
∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∠ADE＝∠A＝45°.
∴AE＝AD cos 45°＝2×＝.
∴BE＝AB－AE＝3－＝2，即线段BE的长为2.
(2)∠ECB的正弦值.
解：过点E作EH⊥BC，垂足为H，如图所示.
在Rt△BEH中，∵∠EHB＝90°，∠B＝45°，
∴EH＝BH＝BE cos 45°＝2×＝2.
∵BC＝3，∴CH＝1.
在Rt△CHE中，CE＝＝，sin∠ECB＝＝＝，即∠ECB的正弦值为.
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第二章 图形与几何
2.2 图形的变化
2.2.2 图形的相似
第3课时 锐角三角函数
一、选择题
1.(2025 云南)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.若AB＝13， BC＝5，则sin A＝(　　)
A.　　
B.
C.　　
D.
第1题图
D
2.如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(2，1)，则tan α的值为(　 )
A.　　
B.　　
C.　　
D.2
第2题图
C
3.(2025 长春)如图，已知某山峰的海拔高度为m m，一位登山者到达海拔高度为n m的点A处.测得山峰顶端B的仰角为α.则A，B两点之间的距离为(　　)
A.sin α m　　
B. m
C.cos α m　　
D. m
B
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A(0，1)，B(4，1)，C(5，6)，则sin∠BAC的值为(　　)
A.　　
B.
C.　　
D.
第4题图
C
5.(2024 德阳)某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10 m的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30°.(AB，CD在同一平面内，B，D在同一水平面上)，则建筑物CD的高为(　　)
A.20 m　　
B.15 m
C.12 m　　
D.(10＋5)m
第5题图
B
6.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的一种重要体现.在计算tan 15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延
长CB，使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan 15°＝＝＝＝2－.类比这种方法，可算得tan 22.5°的值为(　　)
A.＋1　　
B.－1
C.　　
D.
B
二、填空题
7.(2025 辽宁)如图，为了测量树AB的高度，在水平地面上取一点C，在C处测得∠ACB＝51°，BC＝6 m，则树AB的高约为　　　m(结果精确到0.1 m.参考数据：sin 51°≈0.78，cos 51°≈0.63，tan 51°≈1.23).
第7题图
7.4
8.(2025 内蒙古)如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量.他们将无人机上升并飞行至距湖面90 m的点C处.从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°(A，B，C三点在同一竖直平面内)，则湖泊两端A，B的距离为　　　　m(结果保留根号).
第8题图
120
9.如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点.将△ABE沿直线BE翻折，点A落在点F处.连接DF，那么∠EDF的正切值是　　.
2
三、解答题
10.(2025 湖南)如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线l于点B，D，AB＝19 dm，CD＞AB.在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，AE＝13 dm，一件连衣裙MN挂在点E处(点M与点E重合)，且直线MN⊥l.
图①
图②
(1)如图①，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到直线AB的距离EG等于12 dm，求该连衣裙MN的长度.
14 dm
(2)如图②，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤(点F在点E的右侧)，若∠BAE＝76.1°，求此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米？(结果保留整数，参考数据：sin 76.1°
≈0.97，cos 76.1°≈0.24，tan 76.1°≈4.04)
图②
2 dm
11.(2025 青岛)学校综合实践小组测量博学楼的高度.
如图，点A，B，C，D，E在同一平面内，点B，C，D
在同一水平线上，一组成员从19 m高的厚德楼顶部A
测得博学楼的顶部E的俯角为22°，另一组成员沿BD方向从厚德楼底部B点向博学楼走15 m到达C点，在C点测得博学楼顶部E的仰角为42°，
求博学楼DE的高度.(参考数据：sin 22°≈，cos 22°≈，tan 22°≈
，sin 42°≈，cos 42°≈，tan 42°≈)
9 m
12.(2024 天津)综合与实践活动中，要用测角仪测量一座桥的桥塔AB的高度.某学习小组设计了一个方案：如图，点C，D，E依次在同一条水平直线上，DE＝36 m，EC⊥AB，垂足为C.在D处测得桥塔顶部B的仰角(∠CDB)为45°，测得桥塔底部A的俯角(∠CDA)为6°，又在E处测得桥塔顶部B的仰角(∠CEB)为31°.
(1)求线段CD的长(结果取整数).
解：设CD＝x m，由DE＝36 m，
得CE＝CD＋DE＝(x＋36)m.
∵EC⊥AB，垂足为C，∴∠BCE＝∠ACD＝90°.
在Rt△BCD中，tan∠CDB＝，∠CDB＝45°，
∴BC＝CD tan∠CDB＝x tan 45°＝x(m).
在Rt△BCE中，tan∠CEB＝，∠CEB＝31°，
∴BC＝CE tan∠CEB＝(x＋36) tan 31°.
∴x＝(x＋36) tan 31°.
得x＝≈＝54(m).
答：线段CD的长约为54 m.
(2)求桥塔AB的高度(结果取整数).(参考数据：tan 31°≈0.6，tan 6°≈0.1)
解：在Rt△ACD中，tan∠CDA＝，∠CDA＝6°，
∴AC＝CD tan∠CDA≈54×tan 6°≈54×0.1＝5.4(m).
∴AB＝AC＋BC≈5.4＋54≈59(m).
答：桥塔AB的高度约为59 m.(共28张PPT)
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- 第二章 图形与几何
2.2 图形的变化
2.2.2 图形的相似
第2课时 相似三角形的判定与性质
1.(2024 重庆)若两个相似三角形的相似比是1∶3，则这两个相似三角形的面积比是(　　)
A.1∶3　　 B.1∶4　　
C.1∶6　　 D.1∶9
D
2.(2025 云南)如图，在△ABC中，已知D，E分别是AB，AC边上的点，
且DE∥BC.若＝，则＝(　　)
A.
B.
C.
D.
A
3.(2025 贵州)如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝2∶1.若DF＝2，则AC的长为(　　)
A.1　　
B.2　　
C.4　　
D.8
C
4.(2024 湖南)如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点.下列结论中，错误的是(　　)
A.DE∥BC
B.△ADE∽△ABC
C.BC＝2DE
D.S△ADE＝S△ABC
D
5.如图，在△ABC中，D为边AC上一点，∠DBC＝∠A.若BC＝4，AC＝8，求CD的长.
解：在△BCD和△ACB中，
∵∠C＝∠C(公共角)，∠DBC＝∠A(已知)，
∴△BCD∽△ACB，∴＝.
∵BC＝4，AC＝8，∴＝，∴CD＝2.
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第二章 图形与几何
2.2 图形的变化
2.2.2 图形的相似
第2课时 相似三角形的判定与性质
【例1】 (1)(2024 辽宁)如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，且△AOB与△DOC的面积比是1∶4，若AB＝6，则CD的长为　 　.　
第(1)题图
12
(2)如图，在△ABC中，AB＝6，CA＝4，点D为AC的中点，点E在AB上，当AE为 　　 　时，△ABC与以点A，D，E为顶点的三角形相似.
第(2)题图
3或　
【例2】 (2024 湖北)某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下表：
活动项目 测量校园中树AB的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案
方案示意图

实施过程 ①选取与树底B位于同一水平地面的D处； ②测量D，B两点间的距离； ③站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角∠ACF； ④测量C到地面的高度CD ①选取与树底B位于同一水平地面的E处；
②测量E，B两点间的距离；
③在E处水平放置一个平面镜，沿射线BE方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A；
④测量E，D两点间的距离；
⑤测量C到地面的高度CD
测量数据 ①DB＝10 m； ②∠ACF＝32.5°； ③CD＝1.6 m ①EB＝10 m；
②ED＝2 m；
③CD＝1.6 m
备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直； ③参考数据： tan 32.5°≈0.64 ①图上所有点均在同一平面内；
②AB，CD均与地面垂直；
③把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得∠CED＝∠AEB
请你从以上两种方案中任选一种，计算树AB的高度.
8 m
【例3】 如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，DE⊥BC交BC的延长线于点E，BO BD＝BC BE.
(1)求证：四边形ABCD为菱形.
略
(2)连接AE交DC于点F，如果AE⊥CD，求证：＝.
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第二章 图形与几何
2.2 图形的变化
2.2.2 图形的相似
第2课时 相似三角形的判定与性质
一、选择题
1.(2024 内江)已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△A1B1C1的周长比为(　　)
A.1∶1　　 B.1∶3　　
C.1∶6　　 D.1∶9
B
2.(2025 威海)如图，△ABC的中线BE，CD交于点F，连接DE.下列结论错误的是(　　)
A.S△DEF＝S△BCF
B.S△ADE＝S四边形BCED
C.S△DBF＝S△BCF
D.S△ADC＝S△AEB
B
3.(2025 宜宾)如图，一张锐角三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，
AC上，AD＝2DB，沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，则的值为
(　　)
A.1　　
B.2　　
C.3　　
D.4
C
4.(2025 内江)阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图①，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头，示意图如图②所示，动力臂OA＝150 cm，阻力臂OB＝50 cm，BD＝20 cm，则AC的长度是(　　)
A.80 cm　　
B.60 cm
C.50 cm　　
D.40 cm
图①
图②
B
5.(2024 镇江)如图，小杰从灯杆AB的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长CD＝3 m，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是(　　)
A.4.5 m　　
B.4 m
C.3.5 m　　
D.2.5 m
第5题图
D
6.(2024 陕西)如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为(　　)
A.2　　
B.3　　
C.　　
D.
第6题图
B
二、填空题
7.(2025 青海)如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝3，DB＝2，则的
值是　 　.
第7题图
　
8.(2024 吉林)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是
OA的中点，点F是OD上一点，连接EF.若∠FEO＝45°，则的值
为　　 .
第8题图
　
9.(2025 河南)定义：有两个内角的差为90°的三角形叫作“反直角三角形”.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形”，则BP的长为　　　　.
第9题图
或
三、解答题
10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.
(1)实践与操作：用尺规作图法在边BC上找一点
P，连接AP，使得△APC∽△BAC.(保留作图痕
迹，不写作法，不用证明)
略
(2)应用与求解：若AD为BC边上的中线，且AB＝6，AC＝7，△ABD的周长为16，求△ACD的周长.
17
11.如图，点C在以AB为直径的⊙O上，＝，点D在上，过点C作AD的垂线，分别交⊙O，AB，AD于点E，F，G，连接AE，CD.
(1)求∠DAE的度数.
45°
(2)求证：①CD∥AE；②＝.
略
12.综合与实践
【感知特例】
(1)如图①，点A，B在直线l上，AC⊥l，DB⊥l，垂足分别为A，B，点P在线段AB上，且PC⊥PD，垂足为P.求证：AC BD＝AP BP；
图①
略
【建构模型】
(2)如图②，点A，B在直线l上，点P在线段AB上，且∠CAP＝∠DBP＝∠CPD，结论AC BD＝AP BP仍成立吗？请说明理由.
AC BD＝AP BP成立.理由略.
【解决问题】
(3)如图③，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝8，点P和点D分别是线段AB，BC上的动点，始终满足∠CPD＝∠A.当AP(0＜AP＜8)为何值时，BD有最大值，并求出最大值.
图③
当AP＝4时，BD有最大值，最大值为.

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