2026年湖南省中考数学 复习提升 2.1 图形的性质 课件(10份打包)

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2026年湖南省中考数学 复习提升 2.1 图形的性质 课件(10份打包)

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(共31张PPT)
2026年湖南省中考数学 复习提升
- 第二章 图形与几何
2.1 图形的性质
2.1.4 圆的有关性质
达标训练
基础检测
典例精讲
1.(2025 重庆)如图,点A,B,C在⊙O上,∠AOB=100°,则∠C的度数是(  )
A.40°  
B.50°  
C.80°  
D.100°
第1题图
B
2.(2024 宜宾)如图,AB是⊙O的直径.若∠CDB=60°,则∠ABC的度数为(  )
A.30°  
B.45°  
C.60°  
D.90°
第2题图
A
3.(2024 凉山)数学活动课上,同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径,小明的解决方案是:在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,交于点C,测出AB=40 cm,CD=10 cm,则圆形工件的半径为(  )
A.50 cm  
B.35 cm  
C.25 cm  
D.20 cm
第3题图
C 
4.(2024 北京)如图,⊙O的直径AB平分弦CD(不是直径).若∠D=35°,则∠C的度数为   .
第4题图
55°
5.(2024 安徽)如图,⊙O是△ABC的外接圆,D是直径AB上一点,∠ACD的平分线交AB于点E,交⊙O于另一点F,FA=FE.
(1)求证:CD⊥AB.

(2)设FM⊥AB,垂足为M,若OM=OE=1,求AC的长.
4
达标训练
基础检测
典例精讲
第二章 图形与几何
2.1 图形的性质
2.1.4 圆的有关性质
【例1】 (1)(2025 长沙)如图,AC,BC为⊙O的弦,连接OA,OB,OC.若∠AOB=40°,∠OCA=30°,则∠BCO的度数为(  )
A.40°  
B.45°  
C.50°  
D.55°
第(1)题图
C
(2)如图,PA,PB分别与⊙O相切于点A,B.若∠P=70°,C为⊙O上一点,则∠ACB的度数为(  )
A.110°  
B.120°  
C.125°  
D.130°
第(2)题图
C
(3)(2025 新疆)如图,CD是⊙O的直径,AB是弦,AB⊥CD,∠ADC=30°,则∠BOC的度数为(  )
A.30°  
B.45°  
C.60°  
D.75°
C
(4)(2025 青海)如图,AB是⊙O的直径,∠CAB=40°,则∠ADC的度数是(  )
A.80°  
B.50°  
C.40°  
D.25°
B
【例2】 如图,OA,OB,OC都是⊙O的半径,∠ACB=2∠BAC.
(1)求证:∠AOB=2∠BOC.
(2)若AB=4,BC=,求⊙O的半径.
【例3】 如图,线段AB与⊙O相切于点B,AO交⊙O于点M,其延长线交⊙O于点C,连接BC,∠ABC=120°,D为⊙O上一点且的中点为M,连接AD,CD.
(1)求∠ACB的度数.
30°
(2)四边形ABCD是否是菱形?如果是,请证明;如果不是,请说明理由.
四边形ABCD是菱形.理由略
(3)若AC=6,求的长.
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基础检测
典例精讲
第二章 图形与几何
2.1 图形的性质
2.1.4 圆的有关性质
一、选择题
1.如图,⊙O是一个盛有水的容器的横截面,⊙O的半径为10 cm.水的最深处到水面AB的距离为4 cm,则水面AB的宽度为(  )
A.8 cm 
B.12 cm
C.16 cm  
D.4 cm
C
2.如图,AB是⊙O的直径,点C为圆上一点,AC=3,∠ABC的平分线交AC于点D,CD=1,则⊙O的直径为(  )
A.  
B.2  
C.1  
D.2
第2题图
B
3.(2025 东营)如图,四边形ABCD内接于⊙O.若∠BOD=130°,则∠ECD的度数是(  )
A.50°  
B.55°
C.65°  
D.70°
第3题图
C
4.(2025 山西)如图,AB为⊙O的直径,点C,D是⊙O上位于AB异侧的两点,连接AD,CD.若=,则∠D的度数为(  )
A.30°  
B.45°  
C.60°  
D.75°
B
5.(2024 湖北)如图,AB为半圆O的直径,点C为半圆上一点,且∠CAB=50°.①以点B为圆心,适当长为半径作弧,交AB,BC于点D,E.②分
别以DE为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧交于点P.③作射线BP.
则∠ABP的度数为(  )
A.30°  
B.25°  
C.20°  
D.15°
C
二、填空题
6.如图,某博览会上有一圆形展示区,在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器,它的监控角度是55°,为了监控整个展区,最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器  台.
第6题图
4
7.(2025 广安)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∠BCD=120°,⊙O的半径为6,则BD的长为    .
第7题图
6
8.《九章算术》是我国古代数学著作,其中《方田》章给出计算弧田面
积所用公式为:弧田面积=(弦×矢+矢2),弧田(如图)是由圆弧和其所
对的弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长AB,“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差.在如图所示的弧田中,“弦”为8,“矢”为2,则cos∠OAB的值为  . 
三、解答题
9.(2025 吉林)图①、图②均是6×6的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点.△ABC内接于⊙O,且点A,B,C,O均在格点上.只用无刻度的直尺,在给定的网格中按要求画图.
(1)在图①中找一个格点D(点D不与点C重合),画出∠ADB,使∠ADB=∠ACB. 
图①

图②
(2)在图②中找一个格点E,画出∠AEC,使∠AEC+∠ABC=180°.
图②
10.(2025 安徽)如图,四边形ABCD的顶点都在半圆O上,AB是半圆O的直径,连接OC,∠DAB+2∠ABC=180°.
(1)求证:OC∥AD.
证明:∵∠AOC=2∠ABC,∠DAB+2∠ABC=180°,
∴∠DAB+∠AOC=180°,∴OC∥AD.
(2)若AD=2,BC=2,求AB的长.
解:如图,连接BD,交OC于点E.由题意知,
∠ADB=90°,O是AB的中点.
∵OC∥AD,∴OC⊥BD.
∴OE是△ABD的中位线,
∴OE=AD=1.
设半圆的半径为r,则CE=r-1.
由勾股定理知OB2-OE2=BE2=BC2-CE2,
即r2-1=2-2,解得r1=3,r2=-2(舍去).
∴AB=2r=6.
11.(2025 上海)如图,已知AB,CD为⊙O中的两条弦,连接OA,OB,分别交弦CD于点E,F,且CE=DF.
(1)求证:AB∥CD.
证明:如答图①,连接OC,OD.
∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC.
在△OCE和△ODF中,
∴△OCE≌△ODF(SAS),
∴OE=OF.
答图①
∵OA=OB,∴=.
又∵∠EOF=∠AOB,∴△OEF∽△OAB,
∴∠OEF=∠OAB,∴AB∥CD.
答图①
(2)如果=,求证:AB2=BF OB.
证明:如答图②,连接OD,BD.
∵=,∴∠AOB=∠BOD,AB=BD.
又∵OA=OB=OD,∴△AOB≌△BOD,∴∠OBD=∠OAB.
由(1)可得AB∥CD,∴∠OFE=∠OBA.
答图②
又∵∠OFE=∠BFD,∴∠OBA=∠BFD,∴△OAB∽△DBF,
∴=,∴AB DF=OB BF.
∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA,∴∠DFB=∠DBF,
∴BD=DF,∴DF=AB,∴AB2=OB BF.
答图②
12.(2024 浙江)如图,在圆内接四边形ABCD中,AD<AC,∠ADC<∠BAD,延长AD至点E,使AE=AC,延长BA至点F,连接EF,使∠AFE=∠ADC.
(1)若∠AFE=60°,CD为直径,求∠ABD的度数.
30°
(2)求证:①EF∥BC;

②EF=BD.(共26张PPT)
2026年湖南省中考数学 复习提升
- 第二章 图形与几何
2.1 图形的性质
2.1.2 三角形
第2课时 等腰三角形、等边三角形
达标训练
基础检测
典例精讲
1.(2024 辽宁)如图,在矩形ABCD中,点E在AD上,当△EBC是等边三角形时,∠AEB为(  )
A.30°  
B.45°  
C.60°  
D.120°
第1题图
C
2.(2025 贵州)如图,在 ABCD中,AB=3,BC=5,∠ABC=60°,以点A为圆心,AB长为半径作弧,交BC于点E,则EC的长为(  )
A.5  
B.4  
C.3  
D.2
第2题图
D
3.(2025 扬州)在如图的房屋人字梁架中,AB=AC,点D在BC上,下列条件不能说明AD⊥BC的是(  )
A.∠ADB=∠ADC   
B.∠B=∠C
C.BD=CD  
D.AD平分∠BAC
B
4.如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,则图中等腰三角形的个数是  .
3
5.(2024 无锡)如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,连接AE,DE.
求证:
(1)△ABE≌△DCE.

(2)∠EAD=∠EDA.
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基础检测
典例精讲
第二章 图形与几何
2.1 图形的性质
2.1.2 三角形
第2课时 等腰三角形、等边三角形
【例1】 (1)如图,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD∥BC.若∠1=65°,则∠BAC的大小为(  )
A.45°  
B.50°  
C.60°  
D.65°
第(1)题图
B
(2)如图,AB=10,BC=8,∠A=∠ACD,则△BCD的周长是(  )
A.18  
B.20  
C.26  
D.28
第(2)题图
A
(3)(2025 广西)如图,点A,D在BC同侧,AB=BC=CA=2,BD=CD=,则AD=     . 
-1
【例2】 (2024 威海)【感悟】
如图①,在△ABE中,点C,D在边BE上,AB=AE,BC=DE.求证:∠BAC=∠EAD. 
图①

【应用】
(1)如图②,用直尺和圆规在直线BC上取点D,点E(点D在点E的左侧),使得∠EAD=∠BAC,且DE=BC(不写作法,保留作图痕迹).
图②
(2)如图③,用直尺和圆规在直线AC上取一点D,在直线BC上取一点E,使得∠CDE=∠BAC,且DE=AB(不写作法,保留作图痕迹).
图③
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基础检测
典例精讲
第二章 图形与几何
2.1 图形的性质
2.1.2 三角形
第2课时 等腰三角形、等边三角形
一、选择题
1.(2024 雅安)如图,⊙O的周长为8 π,正六边形ABCDEF内接于⊙O,则△OAB的面积为(  )
A.4  
B.4  
C.6  
D.6
B
2.(2024 云南)已知AF是等腰△ABC底边BC上的高,若点F到直线AB的距离为3,则点F到直线AC的距离为(  )
A.   B.2  
C.3   D.
3.(2024 赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程x2-10x+21=0的两个根,则这个三角形的周长为(  )
A.17或13   B.13或21
C.17   D.13
C
C
4.(2025 达州)如图,在△ABC中,AB=AC=8,BC=5,线段AB的垂直平分线交AB于点E,交AC于点D,则△BDC的周长为(  )
A.21  
B.14  
C.13  
D.9
C
5.(2025 北京)如图,∠MON=100°,点A在射线OM上,以点O为圆心,OA长为半径画弧,交射线ON于点B.若分别以点A,B为圆心,AB
长为半径画弧,两弧在∠MON内部交于点C,连接AC,则∠OAC的大小为(  )
A.80°  
B.100°
C.110°  
D.120°
第5题图
B
6.(2024 福建)小明用两个全等的等腰三角形设计了一个形似“蝴蝶”的平面图案.如图,其中△OAB与△ODC都是等腰三角形,且它们关于直线l对称,点E,F分别是底边AB,CD的中点,OE⊥OF.下列推断错误的是(  )
A.OB⊥OD  
B.∠BOC=∠AOB
C.OE=OF  
D.∠BOC+∠AOD=180°
第6题图
B
二、填空题
7.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC交BC于点D,AD=5,CD=3,则△ABC的面积为  . 
第7题图
15
8.如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°.将△ABC沿着射线BC的方向平移2个单位后,得到△A′B′C′.连接A′C,则△A′B′C的周长为  .
第8题图
12
9.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,∠C=2∠B,AC=5,CD=3,则AB的长为  .
8
10.(2025 长春)图①、图②、图③均是4×3的网格,其中每个小方格都是边长相等的正方形,其顶点称为格点.只用无刻度的直尺,分别在给定的网格中按下列要求作△ABC,使△ABC的顶点均在格点上.
(1)在图①中,△ABC是面积最大的等腰三角形.
图①

图②
图③
(2)在图②中,△ABC是面积最大的直角三角形.
(3)在图③中,△ABC是面积最大的等腰直角三角形.
11.(2024 常州)如图,B,E,C,F是直线l上的四点,AC,DE相交于点G,AB=DF,AC=DE,BC=EF.
(1)求证:△GEC是等腰三角形.

(2)连接AD,则AD与l的位置关系是    . 
AD∥l
12.(2025 长沙)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=72°,以点C为圆心,适当长为半径作弧,交CA于点M,交CB于点N,再分别以点M,N
为圆心,大于MN的长度为半径作弧,两弧相交于点P,作射线CP交AB
于点D.
(1)求∠BCD的度数.
36°
(2)若BC=2.5,求AD的长.
2.5
13.(2025 福建)如图,△ABC是等边三角形,D是AB的中点,CE⊥BC,垂足为C,EF是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点A,BE交CD于点G.
(1)求∠DCE的大小.
60°
(2)求证:△CEG是等边三角形.
略(共30张PPT)
2026年湖南省中考数学 复习提升
- 第二章 图形与几何
2.1 图形的性质
2.1.1 点、线、面、角、相交线与平行线
达标训练
基础检测
典例精讲
1.(2025 甘肃)如图①,三根木条a,b,c相交成∠1=80°,∠2=110°,固定木条b,c,将木条a绕点A顺时针转动至如图②所示,使木条a与木条b平行,则可将木条a旋转(  )
A.30°  
B.40°
C.60°  
D.80°
图① 图②
A
2.如图,直线a,b被直线c所截,下列条件中,不能判定a∥b的是(  )
A.∠2=∠4  
B.∠1+∠4=180°
C.∠5=∠4  
D.∠1=∠3
第2题图
D
3.(2025 河北)榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式.如图是
某个构件的截面图,其中AD∥BC,∠ABC=70°,则∠BAD的度数
为(  )
A.70°  
B.100°
C.110° 
D.130°
第3题图
C
4.如图,点O在直线AB上,OC⊥OD.若∠AOC=120°,则∠BOD的大小为(  )
A.30°  
B.40°  
C.50°  
D.60°
A
5.某小区大门栏杆的平面示意图如图所示,BA垂直地面AE于点A,CD平行于地面AE.若∠BCD=150°,求∠ABC的度数.
120°
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典例精讲
第二章 图形与几何
2.1 图形的性质
2.1.1 点、线、面、角、相交线与平行线
【例1】 (1)如图,点P是∠AOB的平分线OC上一点,PD⊥OB,垂足为D.若PD=2,则点P到边OA的距离是(  )
A.2  
B.3 
C.  
D.4
A
(2)(2025 兰州)如图是集热板示意图,集热板与太阳光线垂直时,光能利用率最高.春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角β为54°.若光能利用率最高,则集热板与水平面夹角α的度数是(  )
A.26°  
B.30°  
C.36°  
D.54°
C
(3)已知直线m∥n,将一个含45°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置,其中斜边BC与直线n交于点D.若∠1=25°,则∠2的度数为(  )
A.60°  
B.65°  
C.70°  
D.75°
C
(4)如图,∠1=∠2=65°,∠3=35°,则下列结论错误的是(  )
A.AB∥CD
B.∠B=30°
C.∠C+∠2=∠4
D.CG>FG
C
(5)下列计算正确的是(  )
A.15°2′-11°4′=3°8′
B.15°8′+11°4′=27°2′
C.15°32′+7°42′=23°14′
D.15°12′-11°55′=3°57′
C
【例2】 (2025 江西)如图,已知点C在AE上,AB∥CD,∠1=∠2.求证:AE∥DF.

【例3】 下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法,选择其中一种,完成证明.
三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°. 已知:如图,△ABC. 求证:∠A+∠B+∠C=180°.  方法一 证明:如图,过点A作DE∥BC. 方法二
证明:如图,过点C作CD∥AB.


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第二章 图形与几何
2.1 图形的性质
2.1.1 点、线、面、角、相交线与平行线
一、选择题
1.(2024 广西)如图,2时整,钟表的时针和分针所成的锐角为(  )
A.20°  
B.40°  
C.60°  
D.80°
C
2.(2024 广东)如图,一把直尺、两个含30°角的三角尺拼接在一起,则∠ACE的度数为(  )
A.120°  
B.90°  
C.60°  
D.30°
C
3.(2025 扬州)如图,平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后,折射光线BE,DF交于主光轴上一点G.若∠ABE=130°,∠CDF=150°,则∠EGF的度数是(  )
A.60°  
B.70°
C.80°  
D.90°
第3题图
C
4.(2025 绥化)如图,AD是∠EAC的平分线,AD∥BC,∠B=38°,则∠C的度数是(  )
A.16°  
B.30°
C.38°  
D.76°
第4题图
C
5.在同一平面内,设a,b,c是三条互相平行的直线,已知a与b的距离为4 cm,b与c的距离为1 cm,则a与c的距离为(  )
A.1 cm   B.3 cm
C.5 cm或3 cm   D.1 cm或3 cm
C
6.(2025 长沙)如图,AB∥CD,直线EF与直线AB,CD分别交于点E,F,直线EG与直线CD交于点G.若∠1=70°,∠2=50°,则∠GEF的度数为(  )
A.50°  
B.60°
C.65°  
D.70°
第6题图
B
7.(2024 苏州)如图,AB∥CD,若∠1=65°,∠2=120°,则∠3的度数为(  )
A.45°  
B.55°  
C.60°  
D.65°
第7题图
B
8.某同学的作业如下框,其中※处填的依据是(  )
A.两直线平行,内错角相等 B.内错角相等,两直线平行
C.两直线平行,同位角相等 D.两直线平行,同旁内角互补
如图,已知直线l1,l2,l3,l4.
若∠1=∠2,
则∠3=∠4.
请完成下面的说理过程.
解:已知∠1=∠2,
根据(内错角相等,两直线平行),得l1∥l2.
再根据(※),得∠3=∠4.
C
二、填空题
9.计算:50°-15°30′=    .
10.(2025 湖南)如图,一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向,若第一次转弯时∠CAB=145°,则∠ABD的度数为    . 
34°30′
145°
11.如图,BD是∠ABC的平分线,P是BD上的一点.PE⊥BA于点E,PE=4 cm.延长EP交BC于点F,BF=10 cm,则△BPF的面积为______cm2.
20
12.已知三条不同的直线a,b,c在同一平面内,有下列四个命题:
①如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c;
②如果b∥a,c∥a,那么b∥c;
③如果b⊥a,c⊥a,那么b⊥c;
④如果b⊥a,c⊥a,那么b∥c.
其中为真命题的是    .(填写所有真命题的序号)
①②④
13.如图,分别过△ABC的顶点A,B作AD∥BE.若∠CAD=25°,∠EBC=80°,则∠ACB的度数为    .
75°
14.(1)如图,已知AC∥DF,AB∥DE.求证:∠A=∠D.

(2)求证:一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,则这两个角相等或互补.
15.(2024 自贡)如图,在△ABC中,DE∥BC,∠EDF=∠C.
(1)求证:∠BDF=∠A.

(2)若∠A=45°,DF平分∠BDE,请直接写出△ABC的形状.
等腰直角三角形
16.将一副三角板拼成如图所示图形,过点C作CF平分∠DCE交DE于
点F.
(1)求证:CF∥AB.

(2)求∠DFC的度数.
105°(共29张PPT)
2026年湖南省中考数学 复习提升
- 第二章 图形与几何
2.1 图形的性质
2.1.3 四边形与多边形
第1课时 多边形与平行四边形
达标训练
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典例精讲
1.(2024 云南)一个七边形的内角和等于(  )
A.540°   B.900°
C.980°   D.1 080°
B
2.(2025 山西)如图,在 ABCD中,点O是对角线AC的中点,点E是边AD的中点,连接OE.下列两条线段的数量关系中一定成立的是(  )
A.OE=AD  
B.OE=BC
C.OE=AB  
D.OE=AC
C
3.(2025 兰州)图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案,图②是其局部放大示意图,由正六边形、正方形和正三角形构成,它的轮廓为正十二边形,则图②中∠ABC的大小是(  )
A.90°  
B.120°  
C.135°  
D.150°
图①     图②
D
4.(2025 吉林)如图,正五边形ABCDE的边AB,DC的延长线交于点F,则∠F的大小为  .
36°
5.(2024 湖南)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上,    .请从“①∠B=∠AED.②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再解决下列问题:
(1)求证:四边形BCDE为平行四边形.
(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长.
6
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第二章 图形与几何
2.1 图形的性质
2.1.3 四边形与多边形
第1课时 多边形与平行四边形
【例1】 (1)(2024 长春)在剪纸活动中,小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形,其中正五边形的一条边与矩形的边重合,如图所示,则∠α的大小为(  )
A.54°  
B.60°  
C.70°  
D.72°
D
(2)(2024 德阳)已知正六边形ABCDEF的面积为6,则正六边形的边长为(  )
A.1   B.  
C.2   D.4
C
(3)(2024 眉山)如图,在 ABCD中,点O是BD的中点,EF过点O.下列结论:①AB∥DC;②EO=ED.③∠A=∠C.④S四边形ABOE=S四边形CDOF.其中正确结论的个数为(  )
A.1个  
B.2个  
C.3个  
D.4个
C
【例2】 (2024 浙江)尺规作图问题:
如图①,点E是 ABCD边AD上一点(不包含A,D),连接CE.用尺规作AF∥CE,F是边BC上一点.
小明:如图②,以C为圆心,AE长为半径作弧,交BC于点F,连接AF,则AF∥CE.
图①     图②
小丽:以点A为圆心,CE长为半径作弧,交BC于点F,连接AF,则AF∥CE.
小明:小丽,你的作法有问题.
小丽:哦……我明白了!
(1)证明:AF∥CE.
图①    图②

(2)指出小丽作法中存在的问题.

【例3】 (2024 江西)【追本溯源】
题(1)来自于课本中的习题,请你完成解答,提炼方法并完成题(2).
(1)如图①,在△ABC中,BD平分∠ABC,交AC于点D,过点D作BC的平行线,交AB于点E,请判断△BDE的形状,并说明理由.
图①
△BDE是等腰三角形.理由略
【方法应用】
(2)如图②,在 ABCD中,BE平分∠ABC,交边AD于点E,过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F,交BC于点G.
①图中一定是等腰三角形的有(  )
A.3个  
B.4个  
C.5个  
D.6个
图②
B
②已知AB=3,BC=5,求CF的长.
2
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第二章 图形与几何
2.1 图形的性质
2.1.3 四边形与多边形
第1课时 多边形与平行四边形
一、选择题
1.(2024 遂宁)佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术,得到了一个内角和为1 080°的正多边形图案,这个正多边形的每个外角为(  )
A.36°   B.40°  
C.45°  D.60°
C
2.(2024 山东)如图,已知AB,BC,CD是正n边形的三条边,在同一平面内,以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN.若∠ABN=120°,则n的值为(  )
A.12  
B.10  
C.8  
D.6
第2题图
A
3.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,BC边的中点,点F在DE的延长线上.添加一个条件,使得四边形ADFC为平行四边形,则这个条件可以是(  )
A.∠B=∠F  
B.DE=EF
C.AC=CF  
D.AD=CF
第3题图
B
4.如图,在正六边形ABCDEF中,AC=2,则正六边形的边长是(  )
A.1 
B.  
C.  
D.2
第4题图
D
5.(2025 广东)如图,点D,E,F分别是△ABC各边上的中点,∠A=70°,则∠EDF的度数为(  )
A.20°  
B.40°
C.70°  
D.110°
第5题图
C
6.(2025 湖北)如图,平行四边形ABCD的对角线交点在原点.若A(12),则点C的坐标是(  )
A.  
B.
C.  
D.
第6题图
C
7.如图,在 ABCD中,AC,BD相交于点O,点E是OA的中点,连接BE并延长交AD于点F.已知S△AEF=4,有下列结论:①=;②S△BCE=36;③S△ABE=12;④△AFE∽△ACD.其中正确的是(  )
A.①②③④  
B.①④
C.②③④  
D.①②③
第7题图
D
二、填空题
8.(2025 长沙)如图,五边形ABCDE中,∠B=120°,∠C=110°,∠D=105°,则∠A+∠E=    .
第8题图
205°
9.(2024 广州)如图,在 ABCD中,BC=2,点E在DA的延长线上,BE=3.若BA平分∠EBC,则DE=  .
第9题图
5
10.(2025 齐齐哈尔)如图,在 ABCD中,BC=2AB=8,连接AC,分别以点A,C为圆心,大于AC的长为半径作弧,两弧交于点E,F,作直线EF,交AD于点M,交BC于点N,若点N恰为BC的中点,则AC的长为     .
4
11.如图,在 ABCD中,O为BD的中点,EF过点O且分别交AB,CD于点E,F.若AE=10,则CF的长为   .
10
三、解答题
12.(2024 泸州)如图,在 ABCD中,E,F是对角线BD上的点,且DE=BF.求证:∠1=∠2.

13.(2025 河南)如图,四边形ABCD是平行四边形,以BC为直径的圆交AD于点E.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O(保留作图痕迹,不写作法).
(2)若点E是AD的中点,连接OA,CE.求证:四边形AOCE是平行四边形.

14.(2024 武汉)如图,在 ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,AF=CE.
(1)求证:△ABE≌△CDF.

(2)连接EF.请添加一个与线段相关的条件,使四边形ABEF是平行四边形.(不需要说明理由)
AF=BE(答案不唯一)(共25张PPT)
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- 第二章 图形与几何
2.1 图形的性质
2.1.7 尺规作图、格点作图、命题、推理
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1.(2024 河北)观察图中尺规作图的痕迹,可得线段BD一定是△ABC
的(  )
A.角平分线  
B.高线
C.中位线  
D.中线
第1题图
B
2.(2024 天津)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=40°,以点A为圆心,适当长为半径画弧,交AB于点E,交AC于点F.再分别以点E,F
为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧(所在圆的半径相等)在∠BAC的
内部相交于点P.画射线AP,与BC相交于点D,则∠ADC的大小为(  )
A.60°  
B.65°  
C.70°  
D.75°
第2题图
B
3.(2024 湖南)下列命题中,正确的是(  )
A.两点之间,线段最短
B.菱形的对角线相等
C.正五边形的外角和为720°
D.直角三角形是轴对称图形
4.(2024 无锡)命题“若a>b,则a-3<b-3”是   命题.(填“真”或“假”)
A 

5.(2024 广西)如图,在△ABC中,∠A=45°,AC>BC.
(1)尺规作图:作线段AB的垂直平分线l,分别交AB,AC于点D,E.(要求:保留作图痕迹,不写作法,标明字母)

4
(2)在(1)所作的图中,连接BE,若AB=8,求BE的长.
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第二章 图形与几何
2.1 图形的性质
2.1.7 尺规作图、格点作图、命题、推理
【例1】 (1)下列命题是真命题的是(  )
A.矩形的对角线互相垂直
B.在同一平面内,若a⊥b,b⊥c,则a∥c
C.若ac2>bc2,则a<b
D.梯形的对角线相等
(2)(2025 北京)能说明命题“若a2>4b2,则a>2b”是假命题的一组实数a,b的值为a=     ,b= .
B
答案不唯一,如:-3
1
(3)学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动.已知某木艺艺术品加工完成共需A,B,C,D,E,F,G七道工序,加工要求如下:
①工序C,D须在工序A完成后进行,工序E须在工序B,D都完成后进行,工序F须在工序C,D都完成后进行;
②一道工序只能由一名学生完成,此工序完成后该学生才能进行其他
工序;
③各道工序所需时间如下表所示.
  
在不考虑其他因素的前提下,若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工,则需要  min.若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工,则最少需要
  min.
工序 A B C D E F G
所需时间/min 9 9 7 9 7 10 2
53
28
【例2】 △ABC的顶点都在正方形网格格点(图中网格线的交点)上,每个小正方形边长为1.请借助网格和无刻度直尺按要求作图.
(1)在图①中,作出△ABC的中线CD.
图①

图②
(2)在图②中,作出△ABC的重心,记为点O.
【例3】 (2024 广东)如图,在△ABC中,∠C=90°.
(1)实践与操作:用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D.(保留作图痕迹,不要求写作法)

(2)应用与证明:在(1)的条件下,以点D为圆心,DC长为半径作⊙D.求证:AB与⊙D相切.
证明:如图,作DE⊥AB于点E.
∵AD是∠CAB的平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,∴DE=DC.
∵DE是⊙D的半径,DE⊥AB,
∴AB与⊙D相切.
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第二章 图形与几何
2.1 图形的性质
2.1.7 尺规作图、格点作图、命题、推理
一、选择题
1.(2025 成都)下列命题中,假命题是(  )
A.矩形的对角线相等
B.菱形的对角线互相垂直
C.正方形的对角线相等且互相垂直
D.平行四边形的对角线相等
D 
2.判断命题“若a>b,则a c2>b c2”是假命题,只需要举出一个反例,反例中的c可以是(  )
A.2   B.0
C.   D.-5
B
3.(2025 吉林)如图,在△ABC中,∠B=45°,∠A>∠ACB>∠B.尺规作图操作如下:①以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交边BA,BC于点M,N.②以点C为圆心,BN长为半径画弧,交边CB于点N′.再以点N′为圆心,MN长为半径画弧,与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M′.③过点M′画射线CM′交边AB于点D.下列结论错误的为(  )
A.∠B=∠DCB  
B.∠BDC=90°
C.DB=DC  
D.AD+DC=BC
第3题图
D
4.(2025 内蒙古)如图,直线AB∥CD,点E,F分别在直线AB,CD上,连接EF,以点E为圆心,适当长为半径画弧.交射线EA于点M,交EF于点N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧(两弧半径相等),两弧在∠AEF的内部相交于点H,画射线EH交CD于点G.若∠AEF=80°,则∠EGF的度数为(  )
A.100°  
B.80°
C.50°  
D.40°
第4题图
D
二、填空题
5.下表是某市本年度GDP前十强的区县排行榜,变化情况表示该区县相对于上一年度名次变化的情况,“↑”表示上升,“↓”表示下降,“—”则表示名次没有变化.已知每个区县的名次变化都不超过两位,上一年度排在第6,7,8名的区县依次是     .
名次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
区县 A B C D E F G H I J
变化情况 ↑ — ↓ — ↑ ↓ ↑ ↑ ↓ —
E,I,G
6.(2024 湖南)如图,在锐角三角形ABC中,AD是边BC上的高,在BA,BC上分别截取线段BE,BF,使BE=BF.分别以点E,F为圆心,大于
EF的长为半径画弧,在∠ABC内,两弧交于点P,作射线BP,交AD于
点M,过点M作MN⊥AB于点N.若MN=2,AD=4MD,则AM=  .
第6题图
6
7.(2024 山东)如图,已知∠MAN,以点A为圆心,以适当长为半径作
弧,分别与AM,AN相交于点B,C.分别以B,C为圆心,以大于BC的
长为半径作弧,两弧在∠MAN内部相交于点P,作射线AP.分别以A,B
为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点D,E,作直线DE分
别与AB,AP相交于点F,Q.若AB=4,∠PQE=67.5°,则F到AN的距离为  . 
第7题图
三、解答题
8.(2024 河南)如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,BE∥DC交AC的延长线于点E.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM,使∠ECM=∠A,且射线CM交BE于点F.(保留作图痕迹,不写作法)
如图所示.
(2)证明(1)中得到的四边形CDBF是菱形.
由(1)得∠ECF=∠A,∴CF∥AB.∵BE∥DC,∴四边形CDBF是平行四边形.∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,∴CD=BD.故四边形CDBF是菱形.
9.(2024 武汉)如图是由小正方形组成的3×4网格,每个小正方形的顶点叫作格点.△ABC三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务,每个任务的画线不得超过三条.
(1)在图①中,画射线AD交BC于点D,使AD平分△ABC的面积.
图①
略 
(2)在(1)的基础上,在射线AD上画点E,使∠ECB=∠ACB.
图②
(3)在图②中,先画点F,使点A绕点F顺时针旋转90°到点C,再画射线AF交BC于点G.
图②
(4)在(3)的基础上,将线段AB绕点G旋转180°,画对应线段MN(点A与点M对应,点B与点N对应).
10.如图,已知∠APB,点M是PB上的一个定点.
(1)尺规作图:请在图①中作⊙O,使得⊙O与射线PB相切于点M,同时与PA相切,切点记为N.
图①

图②
(2)在(1)的条件下,若∠APB=60°,PM=3,则所作的⊙O中,与PM,PN所围成图形的面积是    .
图②
3-π(共30张PPT)
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- 第二章 图形与几何
2.1 图形的性质
2.1.3 四边形与多边形
第2课时 矩形、菱形、正方形
1.如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O, E为AB的中点.若菱形ABCD的周长为32,则OE的长为(  )
A.3
B.4
C.5
D.6
B
2.(2024 成都)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是(  )
A.AB=AD  
B.AC⊥BD
C.AC=BD  
D.∠ACB=∠ACD
第2题图
C
3.(2025 青海)如图,在菱形ABCD中,BD=6,E,F分别为AB,BC的中点,且EF=2,则菱形ABCD的面积为   .
第3题图
12
4.如图,点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点,PE⊥AD于点E,PE=3,则点P到直线AB的距离为  .
第4题图
3
5.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,从①AB=AD,②AC=BD,③∠ABC=∠ADC中选择一个作为条件,补充后使四边形ABCD成为菱形,则其选择是  (限填序号).
第5题图

6.(2025 青海)如图,在△ABC中,点O,D分别是边AB,BC的中点,过点A作AE∥BC交DO的延长线于点E,连接AD,BE.
(1)求证:四边形AEBD是平行四边形.

(2)若AB=AC,试判断四边形AEBD的形状,并证明.
当AB=AC时,四边形AEBD是矩形.理由略
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第二章 图形与几何
2.1 图形的性质
2.1.3 四边形与多边形
第2课时 矩形、菱形、正方形
【例1】 (1)菱形ABCD的一条对角线长为6,边AB的长为方程y2-7y+10=0的一个根,则菱形ABCD的周长为(  )
A.8   B.20
C.8或20   D.10
B
(2)如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图.大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH拼成,连接EG并延长交BC于点M.若AB=,EF=1,则GM的长为(  )
A.  
B.  
C.  
D.
D
【例2】 (2024 贵州)如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AD∥BC,∠ABC=90°.有下列条件:
①AB∥CD;②AD=BC.
(1)请从以上①②中任选1个作为条件,求证:四边形ABCD是矩形.

(2)在(1)的条件下,若AB=3,AC=5,求四边形ABCD的面积.
12
【例3】 如图,四边形ABCD为正方形,点E是BC的中点,将正方形ABCD沿AE折叠,得到点B的对应点为点F,延长EF交线段DC于点P,若AB=6,求DP的长.
2
【例4】 (2025 广东)如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,过点A,C分别作AE∥DC,CE∥AB,AE与CE相交于点E.现有以下命题:
命题1:若连接BE交CA于点F,则S△CFB=2S△CEF.
命题2:若连接ED,则ED⊥AC.
命题3:若连接ED,则ED=BC.
任选两个命题,先判断真假,再证明或举反例.
命题1是真命题,证明略
命题2是真命题,证明略
命题3是真命题,证明略
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第二章 图形与几何
2.1 图形的性质
2.1.3 四边形与多边形
第2课时 矩形、菱形、正方形
一、选择题
1.四个内角相等,四条边也相等的四边形是(  )
A.矩形   B.菱形
C.正方形   D.平行四边形
C
2.(2025 辽宁)如图,在矩形ABCD中,点E在边AD上,BE=BC,连接CE,若AB=3,AE=4,则CE的长为(  )
A.1  
B.5
C.2  
D.
第2题图
D
3.(2024 甘肃)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ABD=60°,AB=2,则AC的长为(  )
A.6  
B.5  
C.4  
D.3
第3题图
C
4.(2024 吉林)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-4,0),点C的坐标为(0,2).以OA,OC为边作矩形OABC.若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°,得到矩形OA′B′C′,则点B′的坐标为(  )
A.(-4,-2)  
B.(-4,2)
C.(2,4)  
D.(4,2)
C
5.(2025 深圳)如图,将正方形ABCD沿EF折叠,使得点A与对角线的交点O重合,EF为折痕,则的值为(  )
A.  
B.
C.  
D.
D
6.(2024 眉山)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E在DC上,把△ADE沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,则cos∠CEF的值为(  )
A.  
B.  
C.  
D.
第6题图
A
7.(2024 武汉)如图,小美同学按如下步骤作四边形ABCD:①画∠MAN.②以点A为圆心,1个单位长为半径画弧,分别交AM,AN于点B,D.③分别以点B,D为圆心,1个单位长为半径画弧,两弧交于点C.④连接BC,CD,BD.若∠A=44°,则∠CBD的大小是(  )
A.64°  
B.66°  
C.68°  
D.70°
第7题图
C
二、填空题
8.如图,在菱形ABCD中,∠B=50°,点E在CD上.若AE=AC,则∠BAE的度数为   .
第8题图
115°
9.准备一张矩形纸片,按如图操作:将△ABE沿BE翻折,使点A落在对角线BD上的M点;将△CDF沿DF翻折,使点C落在对角线BD上的N点.
若四边形BFDE是菱形,AB=2,则菱形BFDE的面积是   .
第9题图
10.(2025 威海)如图,小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开,得到一个立方体的表面展开图.若正方形硬纸板的边长为12 cm,则折成立方体的
棱长为   cm.
三、解答题
11.(2025 浙江)【问题背景】
如图所示,某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分),点E在对角线BD上.
【数学理解】
(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成,请写出△ABE≌△CBE的证明过程.
(2)若裁剪过程中满足DE=DA,求∠BAE的度数.

22.5°
12.(2025 云南)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,O是AC的中点,延长BO至点D,使OD=OB,连接AD, CD.记AB=a, BC=b,△AOB的周长为l1,△BOC的周长为l2,四边形ABCD的周长为l3.
(1)求证:四边形ABCD是矩形.

(2)若l2-l1=2, l3=28,求AC的长.
10
13.如图,在 ABCD中,DB=DA,点F是AB的中点.连接DF并延长,交CB的延长线于点E,连接AE.
(1)求证:四边形AEBD是菱形.
(2)若DC=,tan∠DCB=3,求菱形AEBD的面积.

15
14.(2024 甘肃)【模型建立】
(1)如图①,已知△ABE和△BCD,AB⊥BC,AB=BC,CD⊥BD,AE⊥BD.用等式写出线段AE,DE,CD的数量关系,并说明理由.
图①
DE+CD=AE.理由略
【模型应用】
(2)如图②,在正方形ABCD中,点E,F分别在对角线BD和边CD上,AE⊥EF,AE=EF.用等式写出线段BE,AD,DF的数量关系,并说明
理由.
图②
AD=BE+DF.理由略
【模型迁移】
(3)如图③,在正方形ABCD中,点E在对角线BD上,点F在边CD的延长线上,AE⊥EF,AE=EF.用等式写出线段BE,AD,DF的数量关系,并说明理由.
图③
AD=BE-DF.理由略(共24张PPT)
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- 第二章 图形与几何
2.1 图形的性质
2.1.5 圆的有关位置关系
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1.(2024 福建)如图,已知点A,B在⊙O上,∠AOB=72°,直线MN与⊙O相切,切点为C,且C为的中点,则∠ACM的度数为(  )
A.18°  
B.30°  
C.36°  
D.72°
第1题图
A
2.如图,已知△ABC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,与AC相切于点A,连接OD.若∠AOD=82°,则∠C的度数为(  )
A.100°  
B.82°
C.49°  
D.56°
第2题图
C
3.如图,AB是⊙O的直径,过⊙O上一点D作⊙O的切线DC,交AB的延长线于点C.若∠A=22.5°,⊙O的半径为4,则CD的长为(  )
A.4  
B.4
C.4-4  
D.1
A
4.(2025 湖南)如图,△ABC的顶点A,C在⊙O上,圆心O在边AB上,∠ACB=120°,BC与⊙O相切于点C,连接OC.
(1)求∠ACO的度数.
30°
(2)求证:AC=BC.

5.(2025 青海)如图,线段AB经过圆心O,交⊙O于点A,C,AD为⊙O的弦,连接BD,∠A=∠B=30°.
(1)求证:直线BD是⊙O的切线.

(2)已知BC=2,求的长(结果保留π).
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第二章 图形与几何
2.1 图形的性质
2.1.5 圆的有关位置关系
【例1】 如图,AB为⊙O的直径,DA和⊙O相交于点F,AC平分∠DAB,点C在⊙O上,且CD⊥DA,AC交BF于点P.
(1)求证:CD是⊙O的切线.

(2)求证:AC PC=BC2.

(3)已知BC2=3FP DC,求的值.
【例2】 尺规作图是起源于古希腊的数学课题,是指用没有刻度的直尺和圆规作图.无刻度直尺在作图时只可用来画直线、射线或线段.请根据以上材料按要求进行作图.
(1)如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,请用无刻度直尺与圆规在BC边上作出一点O,使得⊙O过点C且与AB相切.(保留作图痕迹,不需说明作图步骤)
图①

(2)如图②,在正方形网格中,每个小正方形的顶点叫作格点,A,B,C,D是网格中的四个格点,且∠ACB=90°.作图:请在图②中仅用无刻度直尺作出一点O,使得⊙O过点C且与AB相切于点D.(保留作图痕迹,不需说明作图步骤)
图②

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第二章 图形与几何
2.1 图形的性质
2.1.5 圆的有关位置关系
一、选择题
1.如图,AB是⊙O的直径,过点D的切线与AB的延长线相交于点C,且∠C=3∠A,则∠A的度数为(  )
A.18°  
B.36°
C.54°  
D.60°
第1题图
A
2.如图,在平面直角坐标系中,以原点O为圆心、为半径画⊙O,把直线l:y=-x平移后成为⊙O的切线,下列平移方法正确的是(  )
A.向下平移2个单位长度
B.向上平移1.5个单位长度
C.向左平移1个单位长度
D.向右平移1.5个单位长度
第2题图
A
3.如图,AB是⊙O的直径,过AB的延长线上的点C作⊙O的切线,切点为P,点D是⊙O上一点,连接BD,DP.若∠BDP=25°,则∠C的度数为(  )
A.50°  
B.45°  
C.40°  
D.35°
第3题图
C
4.(2025 福建)如图,PA与⊙O相切于点A,PO的延长线交⊙O于点C,AB∥PC,且交⊙O于点B.若∠P=30°,则∠BCP的大小为(  )
A.30°  
B.45°  
C.60°  
D.75°
第4题图
C
5.如图所示,△ABC的内切圆⊙O分别与AB,BC,AC相切于点D,E,F,且AD=6,BE=4,CF=8,则△ABC的周长为(  )
A.36  
B.38  
C.40  
D.42
第5题图
A
6.(2025 山东)在中国古代文化中,玉璧寓意宇宙的广阔与秩序,也经常被视为君子修身齐家的象征.如图是某玉璧的平面示意图,由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2,则图中阴影部分的面积是(  )
A.π  
B.2π  
C.3π  
D.4π
第6题图
D
二、填空题
7.(2024 包头)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,点O在四边形ABCD内部,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P,连接OA,OB.若∠AOB=140°,∠BCP=35°,则∠ADC的度数为    .
第7题图
105°
8.《九章算术》中记载:“今有勾八步,股一十五步.问
勾中容圆,径几何.”译文:现在有一个直角三角形,短
直角边的长为8步,长直角边的长为15步.问这个直角三
角形内切圆的直径是多少.书中给出的算法译文如下:如
图,根据短直角边的长和长直角边的长,求得斜边的长.
用直角三角形三条边的长相加作为除数,用两条直角边的长相乘的积再乘2作为被除数,计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径.根据以上方法,求得该直径等于  步.(注:“步”为长度单位)
第8题图
6
9.如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图,凹槽ABCD是矩形.当餐盘正立且紧靠支架于点A,D时,恰好与BC边相切,则此餐盘的半径等于  cm.
第9题图
10
10.(2024 泰安)如图,AB是⊙O的直径,AH是⊙O的切线,点C为⊙O上任意一点,点D为的中点,连接BD交AC于点E,延长BD与AH相交于
点F.若DF=1,tan B=,则AE的长为  .
第10题图
三、解答题
11.(2024 无锡)如图,AB是⊙O的直径,△ACD内接于⊙O,=,AB,CD的延长线相交于点E,且DE=AD.
(1)求证:△CAD∽△CEA.

(2)求∠ADC的度数.
45°
12.(2025 苏州)如图,在四边形ABCD中,BD=CD,∠C=∠BAD,以AB为直径的⊙O经过点D,且与边CD交于点E,连接AE,BE.
(1)求证:BC为⊙O的切线.

(2)若AB=,sin∠AED=,求BE的长.
13.(2025 成都)如图,点C在以AB为直径的半圆O上,连接AC,BC,过点C作半圆O的切线,交AB的延长线于点D,在上取点E,使=,连接BE,交AC于点F.
(1)求证:BE∥CD.

半径为2 EF=
(2)若sin D=,BD=1,求半圆O的半径及EF的长.(共27张PPT)
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- 第二章 图形与几何
2.1 图形的性质
2.1.6 圆的有关计算
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1.(2024 安徽)若扇形AOB的半径为6,∠AOB=120°,则的长为(  )
A.2π   B.3π  
C.4π   D.6π
2.(2024 云南)某校九年级学生参加社会实践,学习编织圆锥形工艺品.若这种圆锥的母线长为40 cm,底面圆的半径为30 cm,则该圆锥的侧面积为(  )
A.700π cm2   B.900π cm2
C.1 200π cm2   D.1 600π cm2
C
C
3.(2024 甘孜)如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,OA=1,则AB的长为(  )
A.2  
B.  
C.1  
D.
C
4.(2025 广安)如图,圆锥的侧面展开图是一个圆心角为90°的扇形.若圆锥的母线长为5,则该圆锥的底面圆的半径为(  )
A.  
B.  
C.  
D.5
A
5.(2024 青海)如图,直线AB经过点C,且OA=OB,CA=CB.
(1)求证:直线AB是⊙O的切线.

(2)若圆的半径为4,∠B=30°,求阴影部分的面积.
8-
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第二章 图形与几何
2.1 图形的性质
2.1.6 圆的有关计算
【例1】 (1)(2024 扬州)若用半径为10 cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥底面圆的半径为  cm.
(2)如图,扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O,且圆心角∠O=100°.若OA=120 cm,OB=60 cm,则阴影部分的面积是    cm2.(结果用π表示)
5
3 000π
【例2】 (2024 广东)综合与实践.
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图①所示.
①一张直径为10 cm的圆形滤纸;
②一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗.
图①
【实践操作】
步骤1:取一张滤纸.
步骤2:按如图②所示步骤折叠好滤纸.
步骤3:将其中一层撑开,围成圆锥形.
步骤4:将围成圆锥形的滤纸放入如图①所示漏斗中.
图①
图②
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)?用你所学的数学知识说明.
能.理由略 
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时,求滤纸围成圆锥形的体积.(结果保留π)
π cm3
图①
图②
【例3】 (2024 山东)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠DAB=60°,AB=BC=2AD=2.以点A为圆心,以AD为半径作交AB于点E,以点B为圆心,以BE为半径作交BC于点F,连接FD交于另一点G,连接CG.
(1)求证:CG为所在圆的切线.

(2)求图中阴影部分面积.(结果保留π)

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第二章 图形与几何
2.1 图形的性质
2.1.6 圆的有关计算
一、选择题
1.(2024 贵州)如图,在扇形纸扇中,若∠AOB=150°,OA=24,则的长为(  )
A.30 π  
B.25 π  
C.20 π  
D.10 π
C
2.(2025 湖南)如图,北京市某处A位于北纬40°(即∠AOC=40°),东经116°,三沙市海域某处B位于北纬15°(即∠BOC=15°),东经116°.设地球的半径约为R km,则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为(  )
A.πR km  
B.πR km
C.πR km  
D.πR km
C
3.(2025 浙江)如图,在Rt△ABC中,∠A=35°,CD是斜边AB上的中线,以点C为圆心,CD长为半径作弧,与AB的另一个交点为点E.若AB=2,则的长为(  )
A.π  
B.π
C.π  
D.π
第3题图
B
4.(2025 山西)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别以点B,C为圆心BC的长为半径画弧,与BA,CA的延长线分别交于点D,E.若BC=4,则图中阴影部分的面积为(  )
A.2π-4  
B.4π-4
C.8π-8  
D.4π-8
第4题图
D
二、填空题
5.(2025 苏州)“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮,共设有28个回转式太空舱全景轿厢,其示意图如图所示.该摩天轮高128 m(即最高点离水面平台MN的距离),圆心O到MN的距离为68 m,摩天轮匀速旋转一圈用时30 min.某轿厢从点A出发,10 min后到达点B,此过程中,该轿厢所经过的路径(即)长度为    m.(结果保留π)
40π 
6.(2024 吉林)某新建学校因场地限制,要合理规划体育场地,小明绘制的铅球场地设计图如图所示.该场地由⊙O和扇形OBC组成,OB,OC分别与⊙O交于点A,D.OA=1 m,OB=10 m,∠AOD=40°,则阴影部分的面积为    m2.(结果保留π)
第6题图
11π
7.(2024 呼伦贝尔)为了促进城乡协调发展,实现共同富裕,某乡镇计划修建公路.如图,与是公路弯道的外、内边线,它们有共同的圆心O,所对的圆心角都是72°,点A,C,O在同一条直线上,公路弯道外侧边线比内侧边线多36 m,则公路宽AC的长是    m.(π取3.14,计算结果精确到0.1)
第7题图
28.7
8.(2025 德阳)等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形,它在我们的日常生活中应用比较广泛,例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等.如图,分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心,以边长为半径画弧,得到的封闭图形就是等宽曲线(图中阴影部分),如果AB=1,那么这个等宽曲线的周长是  .
π
9.如图,一块扇形铁皮的弧长为12π m,要把它做成一个圆锥形容器(接缝忽略不计),则这个圆锥形容器的底面半径为  m.
6
10.(2025 河南)我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时,创立了“割圆术”.如图是研究“割圆术”时的一个图形,所在圆的圆心为点O,四边形ABCD为矩形,边CD与⊙O相切于点E,连接BE,∠ABE=15°,连接OE交AB于点F.若AB=4,则图中阴影部分的面积为      .
π-2
三、解答题
11.(2025 广西)绣球是广西民族文化的特色载体.如图,设计某种绣球叶瓣时,可以先在图纸上建立平面直角坐标系,再分别以原点O,O′为圆心、以5为半径作圆,两圆相交于A,B两点,其公共部分构成叶瓣①(阴影部分),同理得到叶瓣②.
(1)写出A,B两点的坐标.
A(0,5) B(5,0) 
(2)求叶瓣①的周长.(结果保留π)

(3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到.
叶瓣②还可以由叶瓣①绕点B逆时针旋转90°得到(答案不唯一) 
12.(2024 辽宁)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,点D在上,=,E在BA的延长线上,∠CEA=∠CAD. 
(1)如图①,求证:CE是⊙O的切线.
图① 
证明:如答图①,连接CO.
∵OC=OB,∴∠1=∠2,
∴∠3=∠1+∠2=2∠2.
答图①
图②
∵=,∴∠4=∠2.
∵AB为直径,∴∠ACB=90°,
∴∠CAD+∠4+∠2=90°,即∠CAD+2∠2=90°.
∵∠CEA=∠CAD,∴∠CEA+2∠2=90°,∴∠CEA+∠3=90°,
∴∠ECO=90°,∴OC⊥CE,∴CE是⊙O的切线.
答图①
(2)如图②,若∠CEA=2∠DAB,OA=8,求的长.
图②
解:如答图②,连接CO,DO.
由(1)得∠3=2∠2=2∠4.
∵∠CEA=2∠DAB,∴∠CEA=∠3.
∵∠ECO=90°,∴∠3=∠CEA==45°,
∴∠4=22.5°.∴∠DOB=2∠4=45°,∴长为=2π.
答图②(共33张PPT)
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- 第二章 图形与几何
2.1 图形的性质
2.1.2 三角形
第3课时 直角三角形
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1.一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示,已知∠ACB=90°,点D为边AB的中点,则CD=(  )
A.3.5 cm  
B.3 cm
C.4.5 cm  
D.6 cm
B
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB的中点,过点D作DE⊥BC,垂足为点E,连接CD.若CD=5,BC=8,则DE=(  )
A.2.5  
B.3  
C.4  
D.5
B
3.(2024 青海)如图,在Rt△ABC中,D是AC的中点,∠BDC=60°,AC=6,则BC的长是(  )
A.3  
B.6  
C.  
D.3
第3题图
A
4.(2025 连云港)如图,长为3 m的梯子靠在墙上,梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m,则梯子顶端的高度h为   m.
第4题图
2.4
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)尺规作图:过点C作斜边AB边上的高CD,垂足为D.(不写作法,只保留作图痕迹).

(2)在(1)的条件下,若∠A=30°,BC=6,求BD的长.
3
6.如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,点M为边AB的中点,点E在线段AM上,EF⊥AC于点F,连接CM,CE.已知∠A=50°,∠ACE=30°.
(1)求证:CE=CM.

(2)若AB=4,求线段FC的长.
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第二章 图形与几何
2.1 图形的性质
2.1.2 三角形
第3课时 直角三角形
【例1】 (1)满足下列条件时,△ABC不是直角三角形的是(  )
A.AB=,BC=4,AC=5
B.AB∶BC∶AC=3∶4∶5
C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
D.+(tan B- )2=0
C
(2)(2024 呼伦贝尔)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以点A为圆心,适当长为半径画弧分别交AB,AC于点M和点N,再分别以点
M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长
交BC于点D.若△ACD的面积为8,则△ABD的面积是(  )
A.8   
B.16   
C.12   
D.24
B
【例2】 如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D是BC的中点,将△ABD沿AD翻折得到△AED,连接CE,则线段CE的长为   .
【例3】 【问题呈现】
△CAB和△CDE都是直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,CB=mCA,CE=mCD,连接AD,BE,探究AD,BE的位置关系.
(1)如图①,当m=1时,直接写出AD,BE的位置关系:     .
BE⊥AD
(2)如图②,当m≠1时,(1)中的结论是否成立?若成立,给出证明;若不成立,说明理由.
成立.理由略 
【拓展应用】
(3)当m=,AB=4,DE=4时,将△CDE绕点C旋转,使A,D,E三点恰好在同一直线上,求BE的长.
6或4
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第二章 图形与几何
2.1 图形的性质
2.1.2 三角形
第3课时 直角三角形
一、选择题
1.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E,连接AE.已知∠BAE=10°,则∠C的度数为(  )
A.30°  
B.40°  
C.50°  
D.60°
B
2.(2024 浙江)如图,正方形ABCD由四个全等的直角三角形(△ABE,△BCF,△CDG,△DAH)和中间一个小正方形EFGH组成,连接DE.若AE=4,BE=3,则DE=(  )
A.5  
B.2  
C.  
D.4
第2题图
C
3.(2025 德阳)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处,使EF恰好过边AB的中点D,连接CD.若CD=1,则GE=(  )
A.3 
B.2  
C.1  
D.
第3题图
B
4.(2025 陕西)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°,CD为AB边上的中线,DE⊥AC,则图中与∠A互余的角共有(  )
A.2个  
B.3个
C.4个  
D.5个
第4题图 
C
5.(2024 安徽)如图,在Rt△ABC中,AC=BC=2,点D在AB的延长线上,且CD=AB,则BD的长是(  )
A.-  
B.-
C.2-2  
D.2-
第5题图
B
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,BE⊥CD,交CD的延长线于点E.若AC=2,BC=2,则BE的长为(  )
A.  
B.
C.  
D.
A
7.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°.一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合,且两条直角边分别经过点A和点B.将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角,当三角尺的两直角边与AB,AC分别交于点E,F时,下列结论中错误的是(  )
A.AE+AF=AC
B.∠BEO+∠OFC=180°
C.OE+OF=BC
D.S四边形AEOF=S△ABC
C
二、填空题
8.(2025 广安)如图,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=4,D是BC边上的一个动点,连接AD,则AD的最小值为   .
2
9.如图,在3×3的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都
在格点上.若BD是△ABC的高,则BD的长为    .
10.(2024 兰州)如图,四边形ABCD为正方形,△ADE为等边三角形,EF⊥AB于点F,若AD=4,则EF=  .
第10题图
2
11.(2024 常州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=4,D是边AC的中点,E是边BC上一点,连接BD,DE.将△CDE沿DE翻折,点C落在BD上的点F处,则CE=  .
第11题图
12.如图①,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D是AB上一点,且AD=2,过点D作DE∥BC交AC于点E,将△ADE绕A点顺时针
旋转到图②的位置,则图②中的值为  .
三、解答题
13.如图,已知四边形ABCD,∠D=∠C=90°,P是DC边上的一点,∠BPA=90°,PB=PA.
(1)求证:△BCP≌△PDA.

(2)若△BPA的面积为8,CB=2,求∠PAD的大小.
30°
14.(2024 长沙)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2,AC=
2,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧分别交于点M
和N,作直线MN分别交AB,BC于点D,E,连接CD,AE.
(1)求CD的长.
(2)求△ACE的周长.
6
15.如图,矩形ABCD中,E是AD的中点.将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于点F.若AB=6,BC=4,求FD的长.
4
16.(2025 苏州)综合与实践:
小明同学用一副三角板进行自主探究.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB.在△CDE中,∠DCE=90°,∠E=30°,AB=CE=12 cm.
图①  图②
【观察感知】
(1)如图①,将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合,AB,DE交于点F,求∠AFD的度数和线段AD的长.(结果保留根号)
图①  
∠AFD=15°,AD=(6-4)cm
【探索发现】
(2)在图①的基础上,保持△CDE不动,把△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度,使得点A落在边DE上(如图②).
①求线段AD的长.(结果保留根号)
图① 图②
(6+2) cm
②判断AB与DE的位置关系,并说明理由.
AB⊥DE.理由略(共26张PPT)
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- 第二章 图形与几何
2.1 图形的性质
2.1.2 三角形
第1课时 三角形及全等三角形
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1.(2025 连云港)下列长度(单位:cm)的3根小木棒能搭成三角形的是(  )
A.1,2,3   B.2,3,4
C.3,5,8   D.4,5,10
B
2.一张三角形纸片如图所示,已知∠B+∠C=α,若沿着虚线剪掉阴影部分纸片,记∠1+∠2=β,则下列选项正确的是(  )
A.α=β
B.α>β
C.α<β
D.无法比较α和β的大小
A
3.(2025 山西)如图,小谊将两根长度不等的木条AC,BD的中点连在一起,记中点为O,即AO=CO,BO=DO.测得C,D两点之间的距离后,利用全等三角形的性质,可得花瓶内壁上A,B两点之间的距离.图中△AOB与△COD全等的依据是(  )
A.SSS  
B.SAS  
C.ASA  
D.HL
第3题图
B
4.如图,△CBA≌△CBD,若∠D=75°,∠ACB=65°,则∠ABD的度数为(  )
A.40°  
B.60°  
C.80°  
D.140°
第4题图
C
5.(2024 乐山)如图,已知AB平分∠CAD,AC=AD.求证:∠C=∠D.

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第二章 图形与几何
2.1 图形的性质
2.1.2 三角形
第1课时 三角形及全等三角形
【例1】 (1)若一个三角形的两边长分别为3 cm,6 cm,则它的第三边的长可能是(  )
A.2 cm   B.3 cm  
C.6 cm   D.9 cm
C
(2)如图,点D,E分别在线段BC,AC上,连接AD,BE.若∠A=35°,∠B=25°,∠C=50°,则∠1的大小为(  )
A.60°  
B.70°  
C.75°  
D.85°
第(2)题图 
B
(3)如图,AC=DC,BC=EC,请你添加一个适当的条件:___________
 ,使得△ABC≌△DEC.
第(3)题图 
AB=DE(答
案不唯一)
【例2】 (2025 河北)如图.四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,AC=AD,∠ACB=∠ADB,点F在ED上,∠BAF=∠EAD.
(1)求证:△ABC≌△AFD.

(2)若BE=FE,求证:AC⊥BD.
【例3】 (2024 盐城)如图,已知点A,B,C,D在同一条直线上,AE∥BF,AE=BF.若    ,则AB=CD.
  
请从①CE∥DF;②CE=DF;③∠E=∠F这3个选项中选择一个作为条件(写序号),使结论成立,并说明理由.
理由略
①或③.
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第二章 图形与几何
2.1 图形的性质
2.1.2 三角形
第1课时 三角形及全等三角形
一、选择题
1.一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3,则这个三角形一定是(  )
A.锐角三角形   B.直角三角形
C.钝角三角形   D.等腰直角三角形
B
2.如图,若△ACE≌△DBF,∠A=67°,∠F=48°,则∠ACE的度数为(  )
A.76°  
B.67°  
C.65°  
D.56°
第2题图
C
3.如图,将△ABC折叠,使点A,B重合,折痕为DE.连接BE.
甲:能够比较∠A与∠ABC的大小
乙:能够比较AC与BC的长短
下列判断正确的是(  )
A.甲、乙的说法都正确
B.甲、乙的说法都不正确
C.甲的说法正确,乙的说法不正确
D.甲的说法不正确,乙的说法正确
第3题图
A
4.(2024 烟台)某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动,各组展示作图痕迹如图所示,其中射线OP为∠AOB的平分线的有(  )
A.1个   B.2个   C.3个   D.4个
D
5.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,BE=CF,则图中与∠AEB相等的角的个数是(  )
A.1  
B.2  
C.3  
D.4
第5题图
C
6.如图,△ABC的面积是12,点D,E,F,G分别是BC,AD,BE,CE的中点,则△AFG的面积是(  )
A.4.5  
B.5  
C.5.5  
D.6
第6题图
A
二、填空题
7.如图,在△ABC中,M,N分别是AB和AC的中点,连接MN.点E是CN的中点,连接ME并延长,交BC的延长线于点D.若BC=4,则CD的长为     .
2
8.(2025 河北)平行四边形的一组邻边长分别为3,4,一条对角线长为n.若n为整数,则n的值可以为     .(写出一个即可)
9.(2024 牡丹江)如图,在△ABC中,D是AB上一点,CF∥AB,D,E,F三点共线,请添加一个条件     ,使得AE=CE.(只添一种情况即可)
第9题图
2(答案不唯一)
DE=EF或AD=CF
10.如图,已知△ABC≌△AEF,有下列结论:①AC=AF;②∠FAB=∠EAB;③EF=BC;④∠EAB=∠FAC.其中正确的是     .(填
序号)
第10题图
①③④
11.(2025 湖南)已知a,b,c是△ABC的三条边长,记t=k+k,其中k为整数.
(1)若三角形为等边三角形,则t=   .
(2)下列结论正确的是    (写出所有正确的结论)
①若k=2,t=1,则△ABC为直角三角形
②若k=1,a=b+2,c=1,则5<t<11
③若k=1,t≤,a,b,c为三个连续整数,且a<b<c,则满足条件的
△ABC的个数为7.
2
①②
三、解答题
12.如图,点C,E,B,F在一条直线上,∠A=∠D.有以下三个条件:①AC∥DF,②CE=BF,③AB=DE.从中选择两个作为条件________    (填序号),另一个作为结论,构成一个正确的命题,并加以证明.
略 
13.(2025 苏州)如图,C是线段AB的中点,∠A=∠ECB,CD∥BE.
(1)求证:△DAC≌△ECB.

(2)连接DE,若AB=16,求DE的长.
8
14.已知,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D为BC的中点.
(1)如图①,若点E,F分别为AB,AC上的点,
且DE⊥DF.求证:BE=AF.
(2)若点E,F分别为AB,CA延长线上的点,
且DE⊥DF,那么BE=AF吗?请利用图②
说明理由.

BE=AF.理由略

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