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(共31张PPT)
2026年湖南省中考数学 复习提升
- 第二章 图形与几何
2.1　图形的性质
2.1.4　圆的有关性质
达标训练
基础检测
典例精讲
1.(2025 重庆)如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，则∠C的度数是(　　)
A.40°　　
B.50°　　
C.80°　　
D.100°
第1题图
B
2.(2024 宜宾)如图，AB是⊙O的直径.若∠CDB＝60°，则∠ABC的度数为(　　)
A.30°　　
B.45°　　
C.60°　　
D.90°
第2题图
A
3.(2024 凉山)数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40 cm，CD＝10 cm，则圆形工件的半径为(　　)
A.50 cm　　
B.35 cm　　
C.25 cm　　
D.20 cm
第3题图
C　
4.(2024 北京)如图，⊙O的直径AB平分弦CD(不是直径).若∠D＝35°，则∠C的度数为　　　.
第4题图
55°
5.(2024 安徽)如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA＝FE.
(1)求证：CD⊥AB.
略
(2)设FM⊥AB，垂足为M，若OM＝OE＝1，求AC的长.
4
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基础检测
典例精讲
第二章 图形与几何
2.1　图形的性质
2.1.4　圆的有关性质
【例1】 (1)(2025 长沙)如图，AC，BC为⊙O的弦，连接OA，OB，OC.若∠AOB＝40°，∠OCA＝30°，则∠BCO的度数为(　　)
A.40°　　
B.45°　　
C.50°　　
D.55°
第(1)题图
C
(2)如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B.若∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为(　　)
A.110°　　
B.120°　　
C.125°　　
D.130°
第(2)题图
C
(3)(2025 新疆)如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为(　　)
A.30°　　
B.45°　　
C.60°　　
D.75°
C
(4)(2025 青海)如图，AB是⊙O的直径，∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是(　　)
A.80°　　
B.50°　　
C.40°　　
D.25°
B
【例2】 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC.
(1)求证：∠AOB＝2∠BOC.
(2)若AB＝4，BC＝，求⊙O的半径.
【例3】 如图，线段AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点M，其延长线交⊙O于点C，连接BC，∠ABC＝120°，D为⊙O上一点且的中点为M，连接AD，CD.
(1)求∠ACB的度数.
30°
(2)四边形ABCD是否是菱形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由.
四边形ABCD是菱形.理由略
(3)若AC＝6，求的长.
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第二章 图形与几何
2.1　图形的性质
2.1.4　圆的有关性质
一、选择题
1.如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10 cm.水的最深处到水面AB的距离为4 cm，则水面AB的宽度为(　　)
A.8 cm　
B.12 cm
C.16 cm　　
D.4 cm
C
2.如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为(　　)
A.　　
B.2　　
C.1　　
D.2
第2题图
B
3.(2025 东营)如图，四边形ABCD内接于⊙O.若∠BOD＝130°，则∠ECD的度数是(　　)
A.50°　　
B.55°
C.65°　　
D.70°
第3题图
C
4.(2025 山西)如图，AB为⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD.若＝，则∠D的度数为(　　)
A.30°　　
B.45°　　
C.60°　　
D.75°
B
5.(2024 湖北)如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且∠CAB＝50°.①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交AB，BC于点D，E.②分
别以DE为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点P.③作射线BP.
则∠ABP的度数为(　　)
A.30°　　
B.25°　　
C.20°　　
D.15°
C
二、填空题
6.如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器　　台.
第6题图
4
7.(2025 广安)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，⊙O的半径为6，则BD的长为　　　　.
第7题图
6
8.《九章算术》是我国古代数学著作，其中《方田》章给出计算弧田面
积所用公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)是由圆弧和其所
对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差.在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则cos∠OAB的值为　　.　
三、解答题
9.(2025 吉林)图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图.
(1)在图①中找一个格点D(点D不与点C重合)，画出∠ADB，使∠ADB＝∠ACB.　
图①
略
图②
(2)在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC＋∠ABC＝180°.
图②
10.(2025 安徽)如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB＋2∠ABC＝180°.
(1)求证：OC∥AD.
证明：∵∠AOC＝2∠ABC，∠DAB＋2∠ABC＝180°，
∴∠DAB＋∠AOC＝180°，∴OC∥AD.
(2)若AD＝2，BC＝2，求AB的长.
解：如图，连接BD，交OC于点E.由题意知，
∠ADB＝90°，O是AB的中点.
∵OC∥AD，∴OC⊥BD.
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE＝AD＝1.
设半圆的半径为r，则CE＝r－1.
由勾股定理知OB2－OE2＝BE2＝BC2－CE2，
即r2－1＝2－2，解得r1＝3，r2＝－2(舍去).
∴AB＝2r＝6.
11.(2025 上海)如图，已知AB，CD为⊙O中的两条弦，连接OA，OB，分别交弦CD于点E，F，且CE＝DF.
(1)求证：AB∥CD.
证明：如答图①，连接OC，OD.
∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.
在△OCE和△ODF中，
∴△OCE≌△ODF(SAS)，
∴OE＝OF.
答图①
∵OA＝OB，∴＝.
又∵∠EOF＝∠AOB，∴△OEF∽△OAB，
∴∠OEF＝∠OAB，∴AB∥CD.
答图①
(2)如果＝，求证：AB2＝BF OB.
证明：如答图②，连接OD，BD.
∵＝，∴∠AOB＝∠BOD，AB＝BD.
又∵OA＝OB＝OD，∴△AOB≌△BOD，∴∠OBD＝∠OAB.
由(1)可得AB∥CD，∴∠OFE＝∠OBA.
答图②
又∵∠OFE＝∠BFD，∴∠OBA＝∠BFD，∴△OAB∽△DBF，
∴＝，∴AB DF＝OB BF.
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠DFB＝∠DBF，
∴BD＝DF，∴DF＝AB，∴AB2＝OB BF.
答图②
12.(2024 浙江)如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连接EF，使∠AFE＝∠ADC.
(1)若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数.
30°
(2)求证：①EF∥BC；
略
②EF＝BD.(共26张PPT)
2026年湖南省中考数学 复习提升
- 第二章 图形与几何
2.1　图形的性质
2.1.2　三角形
第2课时　等腰三角形、等边三角形
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1.(2024 辽宁)如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为(　　)
A.30°　　
B.45°　　
C.60°　　
D.120°
第1题图
C
2.(2025 贵州)如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠ABC＝60°，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E，则EC的长为(　　)
A.5　　
B.4　　
C.3　　
D.2
第2题图
D
3.(2025 扬州)在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是(　　)
A.∠ADB＝∠ADC　　　
B.∠B＝∠C
C.BD＝CD　　
D.AD平分∠BAC
B
4.如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是　　.
3
5.(2024 无锡)如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，DE.
求证：
(1)△ABE≌△DCE.
略
(2)∠EAD＝∠EDA.
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第二章 图形与几何
2.1　图形的性质
2.1.2　三角形
第2课时　等腰三角形、等边三角形
【例1】 (1)如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD∥BC.若∠1＝65°，则∠BAC的大小为(　　)
A.45°　　
B.50°　　
C.60°　　
D.65°
第(1)题图
B
(2)如图，AB＝10，BC＝8，∠A＝∠ACD，则△BCD的周长是(　　)
A.18　　
B.20　　
C.26　　
D.28
第(2)题图
A
(3)(2025 广西)如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2，BD＝CD＝，则AD＝　　　　 .　
－1
【例2】 (2024 威海)【感悟】
如图①，在△ABE中，点C，D在边BE上，AB＝AE，BC＝DE.求证：∠BAC＝∠EAD.　
图①
略
【应用】
(1)如图②，用直尺和圆规在直线BC上取点D，点E(点D在点E的左侧)，使得∠EAD＝∠BAC，且DE＝BC(不写作法，保留作图痕迹).
图②
(2)如图③，用直尺和圆规在直线AC上取一点D，在直线BC上取一点E，使得∠CDE＝∠BAC，且DE＝AB(不写作法，保留作图痕迹).
图③
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第二章 图形与几何
2.1　图形的性质
2.1.2　三角形
第2课时　等腰三角形、等边三角形
一、选择题
1.(2024 雅安)如图，⊙O的周长为8 π，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则△OAB的面积为(　　)
A.4　　
B.4　　
C.6　　
D.6
B
2.(2024 云南)已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为(　　)
A.　　 B.2　　
C.3　　 D.
3.(2024 赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程x2－10x＋21＝0的两个根，则这个三角形的周长为(　　)
A.17或13　　 B.13或21
C.17　　 D.13
C
C
4.(2025 达州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为(　　)
A.21　　
B.14　　
C.13　　
D.9
C
5.(2025 北京)如图，∠MON＝100°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B.若分别以点A，B为圆心，AB
长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为(　　)
A.80°　　
B.100°
C.110°　　
D.120°
第5题图
B
6.(2024 福建)小明用两个全等的等腰三角形设计了一个形似“蝴蝶”的平面图案.如图，其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF.下列推断错误的是(　　)
A.OB⊥OD　　
B.∠BOC＝∠AOB
C.OE＝OF　　
D.∠BOC＋∠AOD＝180°
第6题图
B
二、填空题
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，AD＝5，CD＝3，则△ABC的面积为　　.　
第7题图
15
8.如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°.将△ABC沿着射线BC的方向平移2个单位后，得到△A′B′C′.连接A′C，则△A′B′C的周长为　　.
第8题图
12
9.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠C＝2∠B，AC＝5，CD＝3，则AB的长为　　.
8
10.(2025 长春)图①、图②、图③均是4×3的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC，使△ABC的顶点均在格点上.
(1)在图①中，△ABC是面积最大的等腰三角形.
图①
略
图②
图③
(2)在图②中，△ABC是面积最大的直角三角形.
(3)在图③中，△ABC是面积最大的等腰直角三角形.
11.(2024 常州)如图，B，E，C，F是直线l上的四点，AC，DE相交于点G，AB＝DF，AC＝DE，BC＝EF.
(1)求证：△GEC是等腰三角形.
略
(2)连接AD，则AD与l的位置关系是　　　　.　
AD∥l
12.(2025 长沙)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交CA于点M，交CB于点N，再分别以点M，N
为圆心，大于MN的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB
于点D.
(1)求∠BCD的度数.
36°
(2)若BC＝2.5，求AD的长.
2.5
13.(2025 福建)如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点A，BE交CD于点G.
(1)求∠DCE的大小.
60°
(2)求证：△CEG是等边三角形.
略(共30张PPT)
2026年湖南省中考数学 复习提升
- 第二章 图形与几何
2.1　图形的性质
2.1.1　点、线、面、角、相交线与平行线
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1.(2025 甘肃)如图①，三根木条a，b，c相交成∠1＝80°，∠2＝110°，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图②所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转(　　)
A.30°　　
B.40°
C.60°　　
D.80°
图① 图②
A
2.如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是(　　)
A.∠2＝∠4　　
B.∠1＋∠4＝180°
C.∠5＝∠4　　
D.∠1＝∠3
第2题图
D
3.(2025 河北)榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式.如图是
某个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC＝70°，则∠BAD的度数
为(　　)
A.70°　　
B.100°
C.110°　
D.130°
第3题图
C
4.如图，点O在直线AB上，OC⊥OD.若∠AOC＝120°，则∠BOD的大小为(　　)
A.30°　　
B.40°　　
C.50°　　
D.60°
A
5.某小区大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE.若∠BCD＝150°，求∠ABC的度数.
120°
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典例精讲
第二章 图形与几何
2.1　图形的性质
2.1.1　点、线、面、角、相交线与平行线
【例1】 (1)如图，点P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D.若PD＝2，则点P到边OA的距离是(　　)
A.2　　
B.3　
C.　　
D.4
A
(2)(2025 兰州)如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高.春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角β为54°.若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角α的度数是(　　)
A.26°　　
B.30°　　
C.36°　　
D.54°
C
(3)已知直线m∥n，将一个含45°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D.若∠1＝25°，则∠2的度数为(　　)
A.60°　　
B.65°　　
C.70°　　
D.75°
C
(4)如图，∠1＝∠2＝65°，∠3＝35°，则下列结论错误的是(　　)
A.AB∥CD
B.∠B＝30°
C.∠C＋∠2＝∠4
D.CG＞FG
C
(5)下列计算正确的是(　　)
A.15°2′－11°4′＝3°8′
B.15°8′＋11°4′＝27°2′
C.15°32′＋7°42′＝23°14′
D.15°12′－11°55′＝3°57′
C
【例2】 (2025 江西)如图，已知点C在AE上，AB∥CD，∠1＝∠2.求证：AE∥DF.
略
【例3】 下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°. 已知：如图，△ABC. 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.　 方法一 证明：如图，过点A作DE∥BC. 方法二
证明：如图，过点C作CD∥AB.

略
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第二章 图形与几何
2.1　图形的性质
2.1.1　点、线、面、角、相交线与平行线
一、选择题
1.(2024 广西)如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为(　　)
A.20°　　
B.40°　　
C.60°　　
D.80°
C
2.(2024 广东)如图，一把直尺、两个含30°角的三角尺拼接在一起，则∠ACE的度数为(　　)
A.120°　　
B.90°　　
C.60°　　
D.30°
C
3.(2025 扬州)如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G.若∠ABE＝130°，∠CDF＝150°，则∠EGF的度数是(　　)
A.60°　　
B.70°
C.80°　　
D.90°
第3题图
C
4.(2025 绥化)如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝38°，则∠C的度数是(　　)
A.16°　　
B.30°
C.38°　　
D.76°
第4题图
C
5.在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4 cm，b与c的距离为1 cm，则a与c的距离为(　　)
A.1 cm　　 B.3 cm
C.5 cm或3 cm　　 D.1 cm或3 cm
C
6.(2025 长沙)如图，AB∥CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点E，F，直线EG与直线CD交于点G.若∠1＝70°，∠2＝50°，则∠GEF的度数为(　　)
A.50°　　
B.60°
C.65°　　
D.70°
第6题图
B
7.(2024 苏州)如图，AB∥CD，若∠1＝65°，∠2＝120°，则∠3的度数为(　　)
A.45°　　
B.55°　　
C.60°　　
D.65°
第7题图
B
8.某同学的作业如下框，其中※处填的依据是(　　)
A.两直线平行，内错角相等 B.内错角相等，两直线平行
C.两直线平行，同位角相等 D.两直线平行，同旁内角互补
如图，已知直线l1，l2，l3，l4.
若∠1＝∠2，
则∠3＝∠4.
请完成下面的说理过程.
解：已知∠1＝∠2，
根据(内错角相等，两直线平行)，得l1∥l2.
再根据(※)，得∠3＝∠4.
C
二、填空题
9.计算：50°－15°30′＝　　　　.
10.(2025 湖南)如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时∠CAB＝145°，则∠ABD的度数为　　　　.　
34°30′
145°
11.如图，BD是∠ABC的平分线，P是BD上的一点.PE⊥BA于点E，PE＝4 cm.延长EP交BC于点F，BF＝10 cm，则△BPF的面积为______cm2.
20
12.已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，有下列四个命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.
其中为真命题的是　　　　.(填写所有真命题的序号)
①②④
13.如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE.若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠ACB的度数为　　　　.
75°
14.(1)如图，已知AC∥DF，AB∥DE.求证：∠A＝∠D.
略
(2)求证：一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等或互补.
15.(2024 自贡)如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C.
(1)求证：∠BDF＝∠A.
略
(2)若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状.
等腰直角三角形
16.将一副三角板拼成如图所示图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于
点F.
(1)求证：CF∥AB.
略
(2)求∠DFC的度数.
105°(共29张PPT)
2026年湖南省中考数学 复习提升
- 第二章 图形与几何
2.1　图形的性质
2.1.3　四边形与多边形
第1课时　多边形与平行四边形
达标训练
基础检测
典例精讲
1.(2024 云南)一个七边形的内角和等于(　　)
A.540°　　 B.900°
C.980°　　 D.1 080°
B
2.(2025 山西)如图，在 ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连接OE.下列两条线段的数量关系中一定成立的是(　　)
A.OE＝AD　　
B.OE＝BC
C.OE＝AB　　
D.OE＝AC
C
3.(2025 兰州)图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正六边形、正方形和正三角形构成，它的轮廓为正十二边形，则图②中∠ABC的大小是(　　)
A.90°　　
B.120°　　
C.135°　　
D.150°
图①　 　　 图②
D
4.(2025 吉林)如图，正五边形ABCDE的边AB，DC的延长线交于点F，则∠F的大小为　　.
36°
5.(2024 湖南)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上，　　　　.请从“①∠B＝∠AED.②AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上(填序号)，再解决下列问题：
(1)求证：四边形BCDE为平行四边形.
(2)若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段AE的长.
6
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第二章 图形与几何
2.1　图形的性质
2.1.3　四边形与多边形
第1课时　多边形与平行四边形
【例1】 (1)(2024 长春)在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则∠α的大小为(　　)
A.54°　　
B.60°　　
C.70°　　
D.72°
D
(2)(2024 德阳)已知正六边形ABCDEF的面积为6，则正六边形的边长为(　　)
A.1　　 B.　　
C.2　　 D.4
C
(3)(2024 眉山)如图，在 ABCD中，点O是BD的中点，EF过点O.下列结论：①AB∥DC；②EO＝ED.③∠A＝∠C.④S四边形ABOE＝S四边形CDOF.其中正确结论的个数为(　　)
A.1个　　
B.2个　　
C.3个　　
D.4个
C
【例2】 (2024 浙江)尺规作图问题：
如图①，点E是 ABCD边AD上一点(不包含A，D)，连接CE.用尺规作AF∥CE，F是边BC上一点.
小明：如图②，以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE.
图①　 　　 图②
小丽：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE.
小明：小丽，你的作法有问题.
小丽：哦……我明白了！
(1)证明：AF∥CE.
图①　 　　图②
略
(2)指出小丽作法中存在的问题.
略
【例3】 (2024 江西)【追本溯源】
题(1)来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题(2).
(1)如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由.
图①
△BDE是等腰三角形.理由略
【方法应用】
(2)如图②，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F，交BC于点G.
①图中一定是等腰三角形的有(　　)
A.3个　　
B.4个　　
C.5个　　
D.6个
图②
B
②已知AB＝3，BC＝5，求CF的长.
2
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第二章 图形与几何
2.1　图形的性质
2.1.3　四边形与多边形
第1课时　多边形与平行四边形
一、选择题
1.(2024 遂宁)佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为1 080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为(　　)
A.36°　　 B.40°　　
C.45°　 D.60°
C
2.(2024 山东)如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN.若∠ABN＝120°，则n的值为(　　)
A.12　　
B.10　　
C.8　　
D.6
第2题图
A
3.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC边的中点，点F在DE的延长线上.添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是(　　)
A.∠B＝∠F　　
B.DE＝EF
C.AC＝CF　　
D.AD＝CF
第3题图
B
4.如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝2，则正六边形的边长是(　　)
A.1　
B.　　
C.　　
D.2
第4题图
D
5.(2025 广东)如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF的度数为(　　)
A.20°　　
B.40°
C.70°　　
D.110°
第5题图
C
6.(2025 湖北)如图，平行四边形ABCD的对角线交点在原点.若A(12)，则点C的坐标是(　　)
A.　　
B.
C.　　
D.
第6题图
C
7.如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F.已知S△AEF＝4，有下列结论：①＝；②S△BCE＝36；③S△ABE＝12；④△AFE∽△ACD.其中正确的是(　　)
A.①②③④　　
B.①④
C.②③④　　
D.①②③
第7题图
D
二、填空题
8.(2025 长沙)如图，五边形ABCDE中，∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°，则∠A＋∠E＝　　　　.
第8题图
205°
9.(2024 广州)如图，在 ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线上，BE＝3.若BA平分∠EBC，则DE＝　　.
第9题图
5
10.(2025 齐齐哈尔)如图，在 ABCD中，BC＝2AB＝8，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线EF，交AD于点M，交BC于点N，若点N恰为BC的中点，则AC的长为　　　　 .
4
11.如图，在 ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F.若AE＝10，则CF的长为　 　.
10
三、解答题
12.(2024 泸州)如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且DE＝BF.求证：∠1＝∠2.
略
13.(2025 河南)如图，四边形ABCD是平行四边形，以BC为直径的圆交AD于点E.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O(保留作图痕迹，不写作法).
(2)若点E是AD的中点，连接OA，CE.求证：四边形AOCE是平行四边形.
略
14.(2024 武汉)如图，在 ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF＝CE.
(1)求证：△ABE≌△CDF.
略
(2)连接EF.请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形.(不需要说明理由)
AF＝BE(答案不唯一)(共25张PPT)
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- 第二章 图形与几何
2.1　图形的性质
2.1.7　尺规作图、格点作图、命题、推理
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1.(2024 河北)观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC
的(　　)
A.角平分线　　
B.高线
C.中位线　　
D.中线
第1题图
B
2.(2024 天津)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F.再分别以点E，F
为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧(所在圆的半径相等)在∠BAC的
内部相交于点P.画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC的大小为(　　)
A.60°　　
B.65°　　
C.70°　　
D.75°
第2题图
B
3.(2024 湖南)下列命题中，正确的是(　　)
A.两点之间，线段最短
B.菱形的对角线相等
C.正五边形的外角和为720°
D.直角三角形是轴对称图形
4.(2024 无锡)命题“若a＞b，则a－3＜b－3”是　　　命题.(填“真”或“假”)
A　
假
5.(2024 广西)如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＞BC.
(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，分别交AB，AC于点D，E.(要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母)
略
4
(2)在(1)所作的图中，连接BE，若AB＝8，求BE的长.
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第二章 图形与几何
2.1　图形的性质
2.1.7　尺规作图、格点作图、命题、推理
【例1】 (1)下列命题是真命题的是(　　)
A.矩形的对角线互相垂直
B.在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c
C.若ac2＞bc2，则a＜b
D.梯形的对角线相等
(2)(2025 北京)能说明命题“若a2＞4b2，则a＞2b”是假命题的一组实数a，b的值为a＝　　 　　，b＝　.
B
答案不唯一，如：－3
1
(3)学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动.已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他
工序；
③各道工序所需时间如下表所示.
　　
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要　　min.若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要
　　min.
工序 A B C D E F G
所需时间/min 9 9 7 9 7 10 2
53
28
【例2】 △ABC的顶点都在正方形网格格点(图中网格线的交点)上，每个小正方形边长为1.请借助网格和无刻度直尺按要求作图.
(1)在图①中，作出△ABC的中线CD.
图①
略
图②
(2)在图②中，作出△ABC的重心，记为点O.
【例3】 (2024 广东)如图，在△ABC中，∠C＝90°.
(1)实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D.(保留作图痕迹，不要求写作法)
略
(2)应用与证明：在(1)的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D.求证：AB与⊙D相切.
证明：如图，作DE⊥AB于点E.
∵AD是∠CAB的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC.
∵DE是⊙D的半径，DE⊥AB，
∴AB与⊙D相切.
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第二章 图形与几何
2.1　图形的性质
2.1.7　尺规作图、格点作图、命题、推理
一、选择题
1.(2025 成都)下列命题中，假命题是(　　)
A.矩形的对角线相等
B.菱形的对角线互相垂直
C.正方形的对角线相等且互相垂直
D.平行四边形的对角线相等
D　
2.判断命题“若a＞b，则a c2＞b c2”是假命题，只需要举出一个反例，反例中的c可以是(　　)
A.2　　 B.0
C.　　 D.－5
B
3.(2025 吉林)如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＞∠ACB＞∠B.尺规作图操作如下：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N.②以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N′.再以点N′为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M′.③过点M′画射线CM′交边AB于点D.下列结论错误的为(　　)
A.∠B＝∠DCB　　
B.∠BDC＝90°
C.DB＝DC　　
D.AD＋DC＝BC
第3题图
D
4.(2025 内蒙古)如图，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，连接EF，以点E为圆心，适当长为半径画弧.交射线EA于点M，交EF于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧(两弧半径相等)，两弧在∠AEF的内部相交于点H，画射线EH交CD于点G.若∠AEF＝80°，则∠EGF的度数为(　　)
A.100°　　
B.80°
C.50°　　
D.40°
第4题图
D
二、填空题
5.下表是某市本年度GDP前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对于上一年度名次变化的情况，“↑”表示上升，“↓”表示下降，“—”则表示名次没有变化.已知每个区县的名次变化都不超过两位，上一年度排在第6，7，8名的区县依次是　　 　　.
名次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
区县 A B C D E F G H I J
变化情况 ↑ — ↓ — ↑ ↓ ↑ ↑ ↓ —
E，I，G
6.(2024 湖南)如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE＝BF.分别以点E，F为圆心，大于
EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于
点M，过点M作MN⊥AB于点N.若MN＝2，AD＝4MD，则AM＝　　.
第6题图
6
7.(2024 山东)如图，已知∠MAN，以点A为圆心，以适当长为半径作
弧，分别与AM，AN相交于点B，C.分别以B，C为圆心，以大于BC的
长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线AP.分别以A，B
为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分
别与AB，AP相交于点F，Q.若AB＝4，∠PQE＝67.5°，则F到AN的距离为　　.　
第7题图
三、解答题
8.(2024 河南)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，BE∥DC交AC的延长线于点E.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM，使∠ECM＝∠A，且射线CM交BE于点F.(保留作图痕迹，不写作法)
如图所示.
(2)证明(1)中得到的四边形CDBF是菱形.
由(1)得∠ECF＝∠A，∴CF∥AB.∵BE∥DC，∴四边形CDBF是平行四边形.∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴CD＝BD.故四边形CDBF是菱形.
9.(2024 武汉)如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫作格点.△ABC三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条.
(1)在图①中，画射线AD交BC于点D，使AD平分△ABC的面积.
图①
略　
(2)在(1)的基础上，在射线AD上画点E，使∠ECB＝∠ACB.
图②
(3)在图②中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转90°到点C，再画射线AF交BC于点G.
图②
(4)在(3)的基础上，将线段AB绕点G旋转180°，画对应线段MN(点A与点M对应，点B与点N对应).
10.如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点.
(1)尺规作图：请在图①中作⊙O，使得⊙O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N.
图①
略
图②
(2)在(1)的条件下，若∠APB＝60°，PM＝3，则所作的⊙O中，与PM，PN所围成图形的面积是　　　　.
图②
3－π(共30张PPT)
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2.1　图形的性质
2.1.3　四边形与多边形
第2课时　矩形、菱形、正方形
1.如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， E为AB的中点.若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为(　　)
A.3
B.4
C.5
D.6
B
2.(2024 成都)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是(　　)
A.AB＝AD　　
B.AC⊥BD
C.AC＝BD　　
D.∠ACB＝∠ACD
第2题图
C
3.(2025 青海)如图，在菱形ABCD中，BD＝6，E，F分别为AB，BC的中点，且EF＝2，则菱形ABCD的面积为　　　.
第3题图
12
4.如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3，则点P到直线AB的距离为　　.
第4题图
3
5.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是　　(限填序号).
第5题图
①
6.(2025 青海)如图，在△ABC中，点O，D分别是边AB，BC的中点，过点A作AE∥BC交DO的延长线于点E，连接AD，BE.
(1)求证：四边形AEBD是平行四边形.
略
(2)若AB＝AC，试判断四边形AEBD的形状，并证明.
当AB＝AC时，四边形AEBD是矩形.理由略
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2.1　图形的性质
2.1.3　四边形与多边形
第2课时　矩形、菱形、正方形
【例1】 (1)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程y2－7y＋10＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为(　　)
A.8　　 B.20
C.8或20　　 D.10
B
(2)如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图.大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH拼成，连接EG并延长交BC于点M.若AB＝，EF＝1，则GM的长为(　　)
A. 　
B. 　
C. 　
D.
D
【例2】 (2024 贵州)如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，∠ABC＝90°.有下列条件：
①AB∥CD；②AD＝BC.
(1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形.
略
(2)在(1)的条件下，若AB＝3，AC＝5，求四边形ABCD的面积.
12
【例3】 如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB＝6，求DP的长.
2
【例4】 (2025 广东)如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点A，C分别作AE∥DC，CE∥AB，AE与CE相交于点E.现有以下命题：
命题1：若连接BE交CA于点F，则S△CFB＝2S△CEF.
命题2：若连接ED，则ED⊥AC.
命题3：若连接ED，则ED＝BC.
任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例.
命题1是真命题，证明略
命题2是真命题，证明略
命题3是真命题，证明略
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第二章 图形与几何
2.1　图形的性质
2.1.3　四边形与多边形
第2课时　矩形、菱形、正方形
一、选择题
1.四个内角相等，四条边也相等的四边形是(　　)
A.矩形　　 B.菱形
C.正方形　　 D.平行四边形
C
2.(2025 辽宁)如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，BE＝BC，连接CE，若AB＝3，AE＝4，则CE的长为(　　)
A.1　　
B.5
C.2　　
D.
第2题图
D
3.(2024 甘肃)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为(　　)
A.6　　
B.5　　
C.4　　
D.3
第3题图
C
4.(2024 吉林)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－4，0)，点C的坐标为(0，2).以OA，OC为边作矩形OABC.若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为(　　)
A.(－4，－2)　　
B.(－4，2)
C.(2，4)　　
D.(4，2)
C
5.(2025 深圳)如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点O重合，EF为折痕，则的值为(　　)
A.　　
B.
C.　　
D.
D
6.(2024 眉山)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在DC上，把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则cos∠CEF的值为(　　)
A.　　
B.　　
C.　　
D.
第6题图
A
7.(2024 武汉)如图，小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN.②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D.③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C.④连接BC，CD，BD.若∠A＝44°，则∠CBD的大小是(　　)
A.64°　　
B.66°　　
C.68°　　
D.70°
第7题图
C
二、填空题
8.如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上.若AE＝AC，则∠BAE的度数为　　　.
第8题图
115°
9.准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点.
若四边形BFDE是菱形，AB＝2，则菱形BFDE的面积是　　　.
第9题图
10.(2025 威海)如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图.若正方形硬纸板的边长为12 cm，则折成立方体的
棱长为　　　cm.
三、解答题
11.(2025 浙江)【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点E在对角线BD上.
【数学理解】
(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程.
(2)若裁剪过程中满足DE＝DA，求∠BAE的度数.
略
22.5°
12.(2025 云南)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AC的中点，延长BO至点D，使OD＝OB，连接AD， CD.记AB＝a， BC＝b，△AOB的周长为l1，△BOC的周长为l2，四边形ABCD的周长为l3.
(1)求证：四边形ABCD是矩形.
略
(2)若l2－l1＝2， l3＝28，求AC的长.
10
13.如图，在 ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点.连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE.
(1)求证：四边形AEBD是菱形.
(2)若DC＝，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的面积.
略
15
14.(2024 甘肃)【模型建立】
(1)如图①，已知△ABE和△BCD，AB⊥BC，AB＝BC，CD⊥BD，AE⊥BD.用等式写出线段AE，DE，CD的数量关系，并说明理由.
图①
DE＋CD＝AE.理由略
【模型应用】
(2)如图②，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，AE⊥EF，AE＝EF.用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明
理由.
图②
AD＝BE＋DF.理由略
【模型迁移】
(3)如图③，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AE⊥EF，AE＝EF.用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由.
图③
AD＝BE－DF.理由略(共24张PPT)
2026年湖南省中考数学 复习提升
- 第二章 图形与几何
2.1　图形的性质
2.1.5　圆的有关位置关系
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1.(2024 福建)如图，已知点A，B在⊙O上，∠AOB＝72°，直线MN与⊙O相切，切点为C，且C为的中点，则∠ACM的度数为(　　)
A.18°　　
B.30°　　
C.36°　　
D.72°
第1题图
A
2.如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD.若∠AOD＝82°，则∠C的度数为(　　)
A.100°　　
B.82°
C.49°　　
D.56°
第2题图
C
3.如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上一点D作⊙O的切线DC，交AB的延长线于点C.若∠A＝22.5°，⊙O的半径为4，则CD的长为(　　)
A.4　　
B.4
C.4－4　　
D.1
A
4.(2025 湖南)如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，圆心O在边AB上，∠ACB＝120°，BC与⊙O相切于点C，连接OC.
(1)求∠ACO的度数.
30°
(2)求证：AC＝BC.
略
5.(2025 青海)如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，AD为⊙O的弦，连接BD，∠A＝∠B＝30°.
(1)求证：直线BD是⊙O的切线.
略
(2)已知BC＝2，求的长(结果保留π).
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第二章 图形与几何
2.1　图形的性质
2.1.5　圆的有关位置关系
【例1】 如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F，AC平分∠DAB，点C在⊙O上，且CD⊥DA，AC交BF于点P.
(1)求证：CD是⊙O的切线.
略
(2)求证：AC PC＝BC2.
略
(3)已知BC2＝3FP DC，求的值.
【例2】 尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图.无刻度直尺在作图时只可用来画直线、射线或线段.请根据以上材料按要求进行作图.
(1)如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，请用无刻度直尺与圆规在BC边上作出一点O，使得⊙O过点C且与AB相切.(保留作图痕迹，不需说明作图步骤)
图①
略
(2)如图②，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，A，B，C，D是网格中的四个格点，且∠ACB＝90°.作图：请在图②中仅用无刻度直尺作出一点O，使得⊙O过点C且与AB相切于点D.(保留作图痕迹，不需说明作图步骤)
图②
略
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第二章 图形与几何
2.1　图形的性质
2.1.5　圆的有关位置关系
一、选择题
1.如图，AB是⊙O的直径，过点D的切线与AB的延长线相交于点C，且∠C＝3∠A，则∠A的度数为(　　)
A.18°　　
B.36°
C.54°　　
D.60°
第1题图
A
2.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心、为半径画⊙O，把直线l：y＝－x平移后成为⊙O的切线，下列平移方法正确的是(　　)
A.向下平移2个单位长度
B.向上平移1.5个单位长度
C.向左平移1个单位长度
D.向右平移1.5个单位长度
第2题图
A
3.如图，AB是⊙O的直径，过AB的延长线上的点C作⊙O的切线，切点为P，点D是⊙O上一点，连接BD，DP.若∠BDP＝25°，则∠C的度数为(　　)
A.50°　　
B.45°　　
C.40°　　
D.35°
第3题图
C
4.(2025 福建)如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C，AB∥PC，且交⊙O于点B.若∠P＝30°，则∠BCP的大小为(　　)
A.30°　　
B.45°　　
C.60°　　
D.75°
第4题图
C
5.如图所示，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝6，BE＝4，CF＝8，则△ABC的周长为(　　)
A.36　　
B.38　　
C.40　　
D.42
第5题图
A
6.(2025 山东)在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征.如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是(　　)
A.π　　
B.2π　　
C.3π　　
D.4π
第6题图
D
二、填空题
7.(2024 包头)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，连接OA，OB.若∠AOB＝140°，∠BCP＝35°，则∠ADC的度数为　　　　.
第7题图
105°
8.《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步.问
勾中容圆，径几何.”译文：现在有一个直角三角形，短
直角边的长为8步，长直角边的长为15步.问这个直角三
角形内切圆的直径是多少.书中给出的算法译文如下：如
图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长.
用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边的长相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径.根据以上方法，求得该直径等于　　步.(注：“步”为长度单位)
第8题图
6
9.如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形.当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于　　cm.
第9题图
10
10.(2024 泰安)如图，AB是⊙O的直径，AH是⊙O的切线，点C为⊙O上任意一点，点D为的中点，连接BD交AC于点E，延长BD与AH相交于
点F.若DF＝1，tan B＝，则AE的长为　　.
第10题图
三、解答题
11.(2024 无锡)如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，＝，AB，CD的延长线相交于点E，且DE＝AD.
(1)求证：△CAD∽△CEA.
略
(2)求∠ADC的度数.
45°
12.(2025 苏州)如图，在四边形ABCD中，BD＝CD，∠C＝∠BAD，以AB为直径的⊙O经过点D，且与边CD交于点E，连接AE，BE.
(1)求证：BC为⊙O的切线.
略
(2)若AB＝，sin∠AED＝，求BE的长.
13.(2025 成都)如图，点C在以AB为直径的半圆O上，连接AC，BC，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，在上取点E，使＝，连接BE，交AC于点F.
(1)求证：BE∥CD.
略
半径为2　EF＝
(2)若sin D＝，BD＝1，求半圆O的半径及EF的长.(共27张PPT)
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- 第二章 图形与几何
2.1　图形的性质
2.1.6　圆的有关计算
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1.(2024 安徽)若扇形AOB的半径为6，∠AOB＝120°，则的长为(　　)
A.2π　　 B.3π　　
C.4π　　 D.6π
2.(2024 云南)某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥形工艺品.若这种圆锥的母线长为40 cm，底面圆的半径为30 cm，则该圆锥的侧面积为(　　)
A.700π cm2　　 B.900π cm2
C.1 200π cm2　　 D.1 600π cm2
C
C
3.(2024 甘孜)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，OA＝1，则AB的长为(　　)
A.2　　
B.　　
C.1　　
D.
C
4.(2025 广安)如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为90°的扇形.若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为(　　)
A.　　
B.　　
C.　　
D.5
A
5.(2024 青海)如图，直线AB经过点C，且OA＝OB，CA＝CB.
(1)求证：直线AB是⊙O的切线.
略
(2)若圆的半径为4，∠B＝30°，求阴影部分的面积.
8－
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第二章 图形与几何
2.1　图形的性质
2.1.6　圆的有关计算
【例1】 (1)(2024 扬州)若用半径为10 cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为　 cm.
(2)如图，扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角∠O＝100°.若OA＝120 cm，OB＝60 cm，则阴影部分的面积是　　　　cm2.(结果用π表示)
5
3 000π
【例2】 (2024 广东)综合与实践.
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图①所示.
①一张直径为10 cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗.
图①
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸.
步骤2：按如图②所示步骤折叠好滤纸.
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形.
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图①所示漏斗中.
图①
图②
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)？用你所学的数学知识说明.
能.理由略　
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.(结果保留π)
π cm3
图①
图②
【例3】 (2024 山东)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝60°，AB＝BC＝2AD＝2.以点A为圆心，以AD为半径作交AB于点E，以点B为圆心，以BE为半径作交BC于点F，连接FD交于另一点G，连接CG.
(1)求证：CG为所在圆的切线.
略
(2)求图中阴影部分面积.(结果保留π)
－
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第二章 图形与几何
2.1　图形的性质
2.1.6　圆的有关计算
一、选择题
1.(2024 贵州)如图，在扇形纸扇中，若∠AOB＝150°，OA＝24，则的长为(　　)
A.30 π　　
B.25 π　　
C.20 π　　
D.10 π
C
2.(2025 湖南)如图，北京市某处A位于北纬40°(即∠AOC＝40°)，东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°(即∠BOC＝15°)，东经116°.设地球的半径约为R km，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为(　　)
A.πR km　　
B.πR km
C.πR km　　
D.πR km
C
3.(2025 浙江)如图，在Rt△ABC中，∠A＝35°，CD是斜边AB上的中线，以点C为圆心，CD长为半径作弧，与AB的另一个交点为点E.若AB＝2，则的长为(　　)
A.π　　
B.π
C.π　　
D.π
第3题图
B
4.(2025 山西)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别以点B，C为圆心BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E.若BC＝4，则图中阴影部分的面积为(　　)
A.2π－4　　
B.4π－4
C.8π－8　　
D.4π－8
第4题图
D
二、填空题
5.(2025 苏州)“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示.该摩天轮高128 m(即最高点离水面平台MN的距离)，圆心O到MN的距离为68 m，摩天轮匀速旋转一圈用时30 min.某轿厢从点A出发，10 min后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径(即)长度为　　　　m.(结果保留π)
40π　
6.(2024 吉林)某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示.该场地由⊙O和扇形OBC组成，OB，OC分别与⊙O交于点A，D.OA＝1 m，OB＝10 m，∠AOD＝40°，则阴影部分的面积为　　　　m2.(结果保留π)
第6题图
11π
7.(2024 呼伦贝尔)为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路.如图，与是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是72°，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36 m，则公路宽AC的长是　　　　m.(π取3.14，计算结果精确到0.1)
第7题图
28.7
8.(2025 德阳)等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线(图中阴影部分)，如果AB＝1，那么这个等宽曲线的周长是　　.
π
9.如图，一块扇形铁皮的弧长为12π m，要把它做成一个圆锥形容器(接缝忽略不计)，则这个圆锥形容器的底面半径为　　m.
6
10.(2025 河南)我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”.如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于点E，连接BE，∠ABE＝15°，连接OE交AB于点F.若AB＝4，则图中阴影部分的面积为　　　　　 .
π－2
三、解答题
11.(2025 广西)绣球是广西民族文化的特色载体.如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点O，O′为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A，B两点，其公共部分构成叶瓣①(阴影部分)，同理得到叶瓣②.
(1)写出A，B两点的坐标.
A(0，5)　B(5，0)　
(2)求叶瓣①的周长.(结果保留π)
5π
(3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到.
叶瓣②还可以由叶瓣①绕点B逆时针旋转90°得到(答案不唯一)　
12.(2024 辽宁)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在上，＝，E在BA的延长线上，∠CEA＝∠CAD.　
(1)如图①，求证：CE是⊙O的切线.
图①　
证明：如答图①，连接CO.
∵OC＝OB，∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠1＋∠2＝2∠2.
答图①
图②
∵＝，∴∠4＝∠2.
∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠CAD＋∠4＋∠2＝90°，即∠CAD＋2∠2＝90°.
∵∠CEA＝∠CAD，∴∠CEA＋2∠2＝90°，∴∠CEA＋∠3＝90°，
∴∠ECO＝90°，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线.
答图①
(2)如图②，若∠CEA＝2∠DAB，OA＝8，求的长.
图②
解：如答图②，连接CO，DO.
由(1)得∠3＝2∠2＝2∠4.
∵∠CEA＝2∠DAB，∴∠CEA＝∠3.
∵∠ECO＝90°，∴∠3＝∠CEA＝＝45°，
∴∠4＝22.5°.∴∠DOB＝2∠4＝45°，∴长为＝2π.
答图②(共33张PPT)
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- 第二章 图形与几何
2.1　图形的性质
2.1.2　三角形
第3课时　直角三角形
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1.一技术人员用刻度尺(单位：cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，则CD＝(　　)
A.3.5 cm　　
B.3 cm
C.4.5 cm　　
D.6 cm
B
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，连接CD.若CD＝5，BC＝8，则DE＝(　　)
A.2.5　　
B.3　　
C.4　　
D.5
B
3.(2024 青海)如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC＝60°，AC＝6，则BC的长是(　　)
A.3　　
B.6　　
C.　　
D.3
第3题图
A
4.(2025 连云港)如图，长为3 m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m，则梯子顶端的高度h为　　　m.
第4题图
2.4
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)尺规作图：过点C作斜边AB边上的高CD，垂足为D.(不写作法，只保留作图痕迹).
略
(2)在(1)的条件下，若∠A＝30°，BC＝6，求BD的长.
3
6.如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE.已知∠A＝50°，∠ACE＝30°.
(1)求证：CE＝CM.
略
(2)若AB＝4，求线段FC的长.
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第二章 图形与几何
2.1　图形的性质
2.1.2　三角形
第3课时　直角三角形
【例1】 (1)满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是(　　)
A.AB＝，BC＝4，AC＝5
B.AB∶BC∶AC＝3∶4∶5
C.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
D.＋(tan B－ )2＝0
C
(2)(2024 呼伦贝尔)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点
M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长
交BC于点D.若△ACD的面积为8，则△ABD的面积是(　　)
A.8　　　
B.16　　　
C.12　　　
D.24
B
【例2】 如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连接CE，则线段CE的长为　　 .
【例3】 【问题呈现】
△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CB＝mCA，CE＝mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系.
(1)如图①，当m＝1时，直接写出AD，BE的位置关系：　　　　　.
BE⊥AD
(2)如图②，当m≠1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.
成立.理由略　
【拓展应用】
(3)当m＝，AB＝4，DE＝4时，将△CDE绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求BE的长.
6或4
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第二章 图形与几何
2.1　图形的性质
2.1.2　三角形
第3课时　直角三角形
一、选择题
1.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，连接AE.已知∠BAE＝10°，则∠C的度数为(　　)
A.30°　　
B.40°　　
C.50°　　
D.60°
B
2.(2024 浙江)如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形(△ABE，△BCF，△CDG，△DAH)和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE.若AE＝4，BE＝3，则DE＝(　　)
A.5　　
B.2　　
C.　　
D.4
第2题图
C
3.(2025 德阳)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD.若CD＝1，则GE＝(　　)
A.3　
B.2　　
C.1　　
D.
第3题图
B
4.(2025 陕西)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有(　　)
A.2个　　
B.3个
C.4个　　
D.5个
第4题图　
C
5.(2024 安徽)如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点D在AB的延长线上，且CD＝AB，则BD的长是(　　)
A.－　　
B.－
C.2－2　　
D.2－
第5题图
B
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE⊥CD，交CD的延长线于点E.若AC＝2，BC＝2，则BE的长为(　　)
A.　　
B.
C.　　
D.
A
7.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°.一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B.将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，下列结论中错误的是(　　)
A.AE＋AF＝AC
B.∠BEO＋∠OFC＝180°
C.OE＋OF＝BC
D.S四边形AEOF＝S△ABC
C
二、填空题
8.(2025 广安)如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D是BC边上的一个动点，连接AD，则AD的最小值为　　　.
2
9.如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都
在格点上.若BD是△ABC的高，则BD的长为　　　　.
10.(2024 兰州)如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD＝4，则EF＝　　.
第10题图
2
11.(2024 常州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，D是边AC的中点，E是边BC上一点，连接BD，DE.将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，则CE＝　 .
第11题图
12.如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，且AD＝2，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△ADE绕A点顺时针
旋转到图②的位置，则图②中的值为　　.
三、解答题
13.如图，已知四边形ABCD，∠D＝∠C＝90°，P是DC边上的一点，∠BPA＝90°，PB＝PA.
(1)求证：△BCP≌△PDA.
略
(2)若△BPA的面积为8，CB＝2，求∠PAD的大小.
30°
14.(2024 长沙)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，AC＝
2，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M
和N，作直线MN分别交AB，BC于点D，E，连接CD，AE.
(1)求CD的长.
(2)求△ACE的周长.
6
15.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点.将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F.若AB＝6，BC＝4，求FD的长.
4
16.(2025 苏州)综合与实践：
小明同学用一副三角板进行自主探究.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB.在△CDE中，∠DCE＝90°，∠E＝30°，AB＝CE＝12 cm.
图① 　图②
【观察感知】
(1)如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，AB，DE交于点F，求∠AFD的度数和线段AD的长.(结果保留根号)
图① 　
∠AFD＝15°，AD＝(6－4)cm
【探索发现】
(2)在图①的基础上，保持△CDE不动，把△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边DE上(如图②).
①求线段AD的长.(结果保留根号)
图① 图②
(6＋2) cm
②判断AB与DE的位置关系，并说明理由.
AB⊥DE.理由略(共26张PPT)
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2.1　图形的性质
2.1.2　三角形
第1课时　三角形及全等三角形
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1.(2025 连云港)下列长度(单位：cm)的3根小木棒能搭成三角形的是(　　)
A.1，2，3　　 B.2，3，4
C.3，5，8　　 D.4，5，10
B
2.一张三角形纸片如图所示，已知∠B＋∠C＝α，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记∠1＋∠2＝β，则下列选项正确的是(　　)
A.α＝β
B.α＞β
C.α＜β
D.无法比较α和β的大小
A
3.(2025 山西)如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO＝CO，BO＝DO.测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离.图中△AOB与△COD全等的依据是(　　)
A.SSS　　
B.SAS　　
C.ASA　　
D.HL
第3题图
B
4.如图，△CBA≌△CBD，若∠D＝75°，∠ACB＝65°，则∠ABD的度数为(　　)
A.40°　　
B.60°　　
C.80°　　
D.140°
第4题图
C
5.(2024 乐山)如图，已知AB平分∠CAD，AC＝AD.求证：∠C＝∠D.
略
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第二章 图形与几何
2.1　图形的性质
2.1.2　三角形
第1课时　三角形及全等三角形
【例1】 (1)若一个三角形的两边长分别为3 cm，6 cm，则它的第三边的长可能是(　　)
A.2 cm　　 B.3 cm　　
C.6 cm　　 D.9 cm
C
(2)如图，点D，E分别在线段BC，AC上，连接AD，BE.若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，则∠1的大小为(　　)
A.60°　　
B.70°　　
C.75°　　
D.85°
第(2)题图　
B
(3)如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件：___________
　，使得△ABC≌△DEC.
第(3)题图　
AB＝DE(答
案不唯一)
【例2】 (2025 河北)如图.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD.
(1)求证：△ABC≌△AFD.
略
(2)若BE＝FE，求证：AC⊥BD.
【例3】 (2024 盐城)如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，AE∥BF，AE＝BF.若　　　　，则AB＝CD.
　　
请从①CE∥DF；②CE＝DF；③∠E＝∠F这3个选项中选择一个作为条件(写序号)，使结论成立，并说明理由.
理由略
①或③.
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典例精讲
第二章 图形与几何
2.1　图形的性质
2.1.2　三角形
第1课时　三角形及全等三角形
一、选择题
1.一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是(　　)
A.锐角三角形　　 B.直角三角形
C.钝角三角形　　 D.等腰直角三角形
B
2.如图，若△ACE≌△DBF，∠A＝67°，∠F＝48°，则∠ACE的度数为(　　)
A.76°　　
B.67°　　
C.65°　　
D.56°
第2题图
C
3.如图，将△ABC折叠，使点A，B重合，折痕为DE.连接BE.
甲：能够比较∠A与∠ABC的大小
乙：能够比较AC与BC的长短
下列判断正确的是(　　)
A.甲、乙的说法都正确
B.甲、乙的说法都不正确
C.甲的说法正确，乙的说法不正确
D.甲的说法不正确，乙的说法正确
第3题图
A
4.(2024 烟台)某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如图所示，其中射线OP为∠AOB的平分线的有(　　)
A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个
D
5.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是(　　)
A.1　　
B.2　　
C.3　　
D.4
第5题图
C
6.如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是(　　)
A.4.5　　
B.5　　
C.5.5　　
D.6
第6题图
A
二、填空题
7.如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN.点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D.若BC＝4，则CD的长为　　　　 .
2
8.(2025 河北)平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为n.若n为整数，则n的值可以为　　 　　.(写出一个即可)
9.(2024 牡丹江)如图，在△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D，E，F三点共线，请添加一个条件　 　　　，使得AE＝CE.(只添一种情况即可)
第9题图
2(答案不唯一)
DE＝EF或AD＝CF
10.如图，已知△ABC≌△AEF，有下列结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC.其中正确的是　 　　　.(填
序号)
第10题图
①③④
11.(2025 湖南)已知a，b，c是△ABC的三条边长，记t＝k＋k，其中k为整数.
(1)若三角形为等边三角形，则t＝　　　.
(2)下列结论正确的是　　　　(写出所有正确的结论)
①若k＝2，t＝1，则△ABC为直角三角形
②若k＝1，a＝b＋2，c＝1，则5＜t＜11
③若k＝1，t≤，a，b，c为三个连续整数，且a＜b＜c，则满足条件的
△ABC的个数为7.
2
①②
三、解答题
12.如图，点C，E，B，F在一条直线上，∠A＝∠D.有以下三个条件：①AC∥DF，②CE＝BF，③AB＝DE.从中选择两个作为条件________　　　　(填序号)，另一个作为结论，构成一个正确的命题，并加以证明.
略　
13.(2025 苏州)如图，C是线段AB的中点，∠A＝∠ECB，CD∥BE.
(1)求证：△DAC≌△ECB.
略
(2)连接DE，若AB＝16，求DE的长.
8
14.已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点.
(1)如图①，若点E，F分别为AB，AC上的点，
且DE⊥DF.求证：BE＝AF.
(2)若点E，F分别为AB，CA延长线上的点，
且DE⊥DF，那么BE＝AF吗？请利用图②
说明理由.
略
BE＝AF.理由略

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